假期必刷9 函数模型及其应用-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　　　假期必刷９　函数模型及其应用　　　　　　　　　　　　　 １．指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　 y＝ax (a＞１) y＝logax (a＞１) y＝xn (n＞０) 在(０,＋∞) 上的增减性 单调　　 单调　　 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大 逐渐表现为 与　　平行 随x的增大 逐渐表现为 与　　平行 随 n 值 变 化 而 各 有 不同 值的比较 存在一个x０,当x＞x０ 时,有logax＜xn ＜ax ２．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a,b为常 数,a≠０) 二次函数模型 f (x)＝ax２＋bx＋c(a,b,c 为常数,a≠０) 与指数函数相 关的模型 f(x)＝bax＋c(a,b,c为常 数,a＞０且a≠１,b≠０) 与对数函数相 关的模型 f(x)＝blogax＋c(a,b,c 为常数,a＞０且a≠１, b≠０) 与幂函数相关 的模型 f(x)＝axn＋b(a,b,n 为 常数,a≠０) ３．解函数应用题的一般步骤 根据收集到的数据的特点,建立函数模型, 解决实际问题．基本过程:收集数据→画散 点图→选择函数模型→求函数模型→检 验→符合实际,用函数模型解释实际问题; 不符合实际,则重新选择函数模型,直到符 合实际为止． １．厦门市实行“阶梯水价”,具体收费标准如表 所示 不超过１２m３ 的部分 ３元/m３ 超过１２m３ 不超过１８m３ 的部分 ６元/m３ 超过１８m３ 的部分 ９元/m３ 若小曾同学用水量为１６m３,则应交水费 (单位:元) (　　) A．４８ B．６０ C．７２ D．８０ ２．“每天进步一点点”可以用数学来诠释,假如 你今天的数学水平是１,以后每天比前一天 增加千分之五,则经过y天之后,你的数学 水平x与y 之间的函数关系式是 (　　) A．y＝log０．９５x B．y＝log０．９９５x C．y＝log１．００５x D．y＝log１．０５x ３．在某种新型材料的研制中,实验人员获得了 下列一组实验数据,现准备用下列四个函数 中的一个近似地表示这些数据的规律,其中 最接近的一个是 (　　) x １．９９２ ３ ４ ５．１５ ６．１２６ y １．５１７ ４．０４１８ ７．５ １２ １８．０１ A．y＝２x－２ B．y＝１２ (x２－１) C．y＝log２x D．y＝２x ４．据统计,第x年某湿地公园越冬的白鹭数量 y(只)近似满足y＝klog３(x＋１),观测发现 第２年有越冬白鹭１０００只,估计第５年有 越冬白鹭(ln２≈０．７,ln３≈１．１) A．１５３０只 B．１６３６只 C．１８３０只 D．１９３０只 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１ ５．著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家,他 曾言:勤学如春起之苗,不见其增,日有所 长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏． 今天,我们可以用数学观点来对这句话重新 诠释,我们可以把“不见其增”量化为每天的 “进步率”都是１％,一年后是１．０１３６５;而把 “不见其损”量化为每天的“落后率”都是 １％,一年后是０．９９３６５．可以计算得到,一年 后的“进步”是“落后”的１．０１ ３６５ ０．９９３６５ ≈１４８１倍． 那么,如果每天的“进步率”和“落后率”都是 ２０％,要使“进步”是“落后”的１００００倍,大 约需要经过(lg２≈０．３０１,lg３≈０．４７７) (　　) A．１７天 B．１９天 C．２３天 D．２５天 ６．(多选)(２０２５􀅰郴 州高二模拟)甲同 学家 到 乙 同 学 家 的途 中 有 一 座 公 园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公 园的距离都是２km．如图所示表示甲同学 从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与 时间x(min)的关系,下列结论正确的是 (　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了６０min B．甲同学从家到公园的时间是３０min C．甲同学从家到公园的速度比从公园到乙 同学家的速度快 D．当０≤x≤３０时,y与x 的关系式为y＝ １ １５x ７．(多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声 压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp＝ ２０×lgpp０ ,其中常数p０(p０＞０)是听觉下限 阈值,p是实际声压．下表为不同声源的声 压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 １０ ６０~９０ 混合动力汽车 １０ ５０~６０ 电动汽车 １０ ４０ 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动 汽车１０m 处测得实际声压分别为p１,p２, p３,则 (　　) A．p１≥p２ B．p２＞１０p３ C．p３＝１００p０ D．p１≤１００p２ ８．(２０２５􀅰广州市天河区联考)“好酒也怕巷子 深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消 费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收 入R 与广告费A 之间满足关系R＝a A(a 为常数),广告效应为D＝a A－A．那么精 明的商人为了取得最大的广告效应,投入的 广告费应为　　　　(用常数a表示)． ９．已知某种果蔬的有效保鲜时间y(单位:小 时)与储藏温度(单位:℃)近似满足函数关 系y＝eax＋b(a,b为常数,e为自然对数底 数),若该果蔬在７℃的保鲜时间为２１６小 时,在２８℃的有效保鲜时间为８小时,那么 在１４℃时,该果蔬的有效保鲜时间大约为 　　　　小时． １０．某工厂生产某种产品的固定成本为２０００ 万元,并且每生产一单位产品,成本增加 １０万元．又知总收入 K 是单位产品数Q 的函数,K(Q)＝４０Q－ １２０Q ２,则总利润 L(Q)的最大值是　　　　万元． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１ １１．某公司试销某种“北京冬奥会”纪念品,每 件按３０元销售,可获利５０％,设每件纪念 品的成本为a元． (１)试求a的值; (２)公司在试销过程中进行了市场调查,发 现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足 关系y＝－１０x＋８００．设每天销售利润为 W(元),求每天销售利润W(元)与每件销 售价x(元)之间的函数解析式;当每件售 价为多少时,每天获得的利润最大? 最大 利润是多少? １２．(２０２５􀅰广东江门高二质检)近年来,“共享 单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大 的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城 市共投资２４０万元．根据行业规定,每个城市 至少要投资８０万元,由前期市场调研可知: 甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P＝ ４ ２a－６,乙城市收益Q 与投入a(单位:万 元)满足Q＝ １ ４a＋２ ,８０≤a≤１２０, ３２,１２０＜a≤１６０, ì î í ï ï ïï 设甲城市 的投入为x(单位:万元),两个城市的总收 益为f(x)(单位:万元)． (１)当投资甲城市１２８万元时,求此时公司 的总收益; (２)试问:如何安排甲、乙两个城市的投资, 才能使公司总收益最大? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１ 三0022 所以(x3-3)(x4一3)=x4-3(x十4）+9=(18一3） 5.C[经过x天后.“进步”与”落后”的比上2≥10000，所 -45=-x3+18.x9-45, 0.8 因为y=一x号十183一45在(3,6)上单调递增， 以（侵）广≥1000，两边取以10为底的对数得x·lg号≥ 所以0<y<27, 4,又lg2≈0.301.lg3≈0.477，所以x·(1g3-lg2)= 即(x3-3)(x4一3)的取值范围是(0,27). 答案：1(0,27) 0.47-0.301)=0176>≥4，解得≥17627， 14.解：(1)2,3为方程x2+bx十c=0的两根， 所以大约经过23天后，“进步”是“落后”的10000倍.] 6.BD[在A中，甲在公园休急的时间是10min, 6-2十3b= 1c=2×3. 所以只走了50min,A错误： (2)由(1)知f(x)=x2-5.x+6, 由题中图象知，B正确： 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时 所以g(x)=x2+(m-5).x十6， 间长，而距离相等，所以甲从家到公国的速度比从公园到 g(1)>0, 依题意 82)<0,解得-号<m<0, 乙同学家的速度慢，C错误； g(4)>0, 当0区x≤30时，设y=krk≠0)，则2=30k,解得k=言： 故实数m的取值范国是（合0 D正确.门 7.ACD[由题意可知：Lp∈[60,90]，Lp∈[50,60]， 15.解：(1)利用解析式直接求解得 Lp,=40, g[f(1)]=g(-3)=-3+1 =-2. 对于选项A:可得L-Ln=20X1e会-20X1g月 (2)令f(x)=t,则原方程化为 g(1)=a,易知方程f(x)=1在=0 =20x1s号 t∈(-∞，1)上有2个不同 的解， 因为Ln≥L测L。-l=20X器>≥0，即1e0, 则原方程有4个解等价于函效y=g(1)(t<1)与y= 所以2>≥1且1p2>0,可得1≥p2,故A正确： 的图象有2个不同的交点，作出函数y=g(t)(1<1)的图 象，如图，由图象可知，当1<a<号时，画数y=g1<) 时于造项B:可得L%-b=20X1s号-20Xk号 与y=a有2个不同的交点，即所求实数a的取值范围 =20x1e号 是[) 因为Ln-Lg=L-40≥10，则20×1g2>≥10. 假期必刷9 中器学分 思维整合室 1.递增递增y轴x轴 所以>且p2p3>0,可得p2≥而pg 技能提升台 当且仅当Le=50时，等号成立，故B错误： 1.B[因为小曾同学用水量为16m3,则不超过12m3的部 对于选项C:因为L=20Xg2=40,即1g但=2， 分的水费为12×3=36（元），显然没有超过18m3,则超过 Po 12m3不超过18m3的部分的水费为(16-12)×6= 可得=100，即p3=100p,故C正确： Po 24(元).所以应交水费为36十24=60（元）.] 2.C[由题意得x=(1+5%)y=1.005,化为对数函数得 对于选项D:由选项A可知：山，一n=20Xg号 y=log1.005x.] 3.B[由题中表格可知函数在(0，十∞)上是增函数，且y 且h-1n≤090-50=40，则20Xg<40. 的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 即lg2≤2，可得≤100，且p1,p:>0,所以p1≤ 符合.] p2 4.B[,第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满 100p2,故D正确.] 足y=klog3(x+1), 8.解析：令1=√A(t≥0)，则A=2, 且当x=2时，y=1000, .1000=k1og33,解得k=1000, 1 .当x=5时，y=1000×log6=1000×(1og3+1oga2) 六当1=之0，即A-:时D取得最大值。 =100×+h3)≈163a.] 答案：0 91 快乐假期 (e2a+b=216① 9.解析：由题意得： ,①÷②得e-21m=27, 假期必刷10 e28a+b=8② 思维整合室 故a=-3,则eh3+=216,6=n3+3n2. 12会签导数瞬时变化率了 故y=e号+4n3+3n2,故当x=14时y=e2h3+a2 y'1x-, m 。1im (x0十△x)-f(xa) =72. △x 答案：72 2.斜率y-f(xo)=f(xo)(x-ro) 10.解折：1(Q)=40QQ2-10Q-200=-Q+30Q 3.0 ar-1 cos r-sin x a'ln a et 1 1 -2000=六Q-30)2+250,当Q=300时，L(Q) 4.(x)±g'(x)(x)g(x)+f(x)g'(x) 的最大值为2500万元. f(x)g(x)-f(x)g'(x） [g(r)]2 答案：2500 5.ya'·ur 11.解：(1)按30元销售，可获利50%， 技能提升台 .u(1+50%)=30,解得a=20. (2):销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系 1,C[由导数的定义可知，f(x)=lim+△)-fz y=-10.x+800, =x2.J 则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足 W=(-10x+800)(x-20) 2B[由位移：与时间1之间的关系为0)=2十1，根据 =-10x2+1000x-16000 平均变化率的计算公式，可得在1≤1≤4这段时间内，该 =-10(x-50)2+9000, 故当x=50时，W取最大值9000， 物体的平均速度为=4)一s(1)一=9 4-1 m/s.] 即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利 3.A[由题意知∫(x)=-2sin2.x十2e2r.] 涧是9000元. 4.D[(cosx)'=-sinx,故A错误；(2r+x2)'=2r1n2+ 12.解：(1)当x=128,即甲城市投资128万元时，乙城市投 资112万元， 2红，故B错误：(snx一c0s}=co5,故C错误： 所以/128)=4×V2X1酒-6+片×12+2=8（万元》. （oe=2bg,此D正填.】 因此，此时公司的总收益为88万元 5.B[函数f(x)的导数f(x)=2x+2f(1),令x=1,得 (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240一x) (1)=2+2f(1),即f(1)=-2,故f(.x)=x2-4x+3 万元， =(x-2)2-1,所以f(0)=f(4)=3.] 依题意得T≥80， 6.B[由题意知f(1)+f(1)=2×1-1+2=3.] 1240-x≥80. 解之得80≤x≤160， 7.B[因为y=nx,所以y=子又周为切线的斜率为1， 当80≤x<120,即120<240-x≤160时， 所以y-上=1，解得x=1y=0,所以切线方程为y=工 f(x)=4√2x-6+32 -1,因为y=(x+a)2,所以y=2x+2a=1,解得x= =4√2x+26<26+16√15； 当120≤x≤160，即80≤240-x≤120时， 名-@：代入切线方程得y=一号-a… fx)=4v2-6+}240-x)+2 再将（合-a,--a）代入y=(x十a2,解得a=一子.] =-r+4v2E+56. 8.ABD[(3r)'=3ln3,A正确：(x21nx)/=(.x2)1nx+ x2(lnx)'=2xlnx+x,B正确：(sin xcos)/=(sinx) 令t=w,则t[2√30,4√10. cosx+sinx(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x,D正确：因 所以y=-2+4a+56=--8②2+8， 为(}=n一os兰.C错误.] T? 当1=8√2，即x=128时，y取最大值88. 9.BCD[由图知了(2)>f(3)>0,故A错误，B正确. 因为88-(26+16√15)=2×(31-8√15)>0， 故f(x)的最大值为88. 设A(2,2).B(3.3),则f3)-j2)=3）2 3-2 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时， =kB,由图知f(3)<kB<(2),即f(3)<f(3) 总收益最大，且最大收益为88万元. f(2)<f(2),故C.D正确.] 92