假期必刷8 函数与方程-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　　　假期必刷８　函数与方程　　　　　　　　　　　　　 １．函数的零点 (１)函数零点的概念 对于函数y＝f(x),把使f(x)＝０的实数 x叫做函数y＝f(x)的零点． (２)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝０有实数根⇔函数y＝f(x)的 图象与x 轴有交点 ⇔ 函数y＝f(x)有 零点． (３)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)满足:①在区间[a,b]上 的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)􀅰 f(b)＜０;则函数y＝f(x)在(a,b)上存在 零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝０,这 个c也就是方程f(x)＝０的根． ２．二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)􀅰f(b)＜０ 的函数y＝f(x),通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区间一分为二使区间的两个 端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单 调函数,则f(x)至多有一个零点． ２．由函数y＝f(x)(图象是连续 不断的)在闭区间[a,b]上有 零点不一定能推出f(a)􀅰f(b)＜０,如图所 示,所以f(a)􀅰f(b)＜０是y＝f(x)在闭 区间[a,b]上有零点的充分不必要条件． ３．周 期 函 数 如 果 有 零 点,则 必 有 无 穷 多 个 零点． １．若x０ 是方程２x＝１２－３x的解,则x０∈(　　) A．(０,１) B．(１,２) C．(２,３) D．(３,４) ２．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋１)＋x－１ 在区间[０,１]上的零点,要求精确度为０．０１ 时,所需二分区间的次数最少为 (　　) A．５　　　B．６　　　C．７　　　D．８ ３．已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有 如下对应值表: x １ ２ ３ ４ ５ f(x) －４ －２ １ ４ ７ 在下列区间中,函数f(x)必有零点的区 间为 (　　) A．(１,２) B．(２,３) C．(３,４) D．(４,５) ４．设函数f(x)＝x＋log２x－m,若函数f(x) 在 １ ４ ,８ æ è ç ö ø ÷上存在零点,则m 的取值范围是 (　　) A．－７４ ,５ æ è ç ö ø ÷ B．－７４ ,１１ æ è ç ö ø ÷ C．９４ ,５ æ è ç ö ø ÷ D．９４ ,１１ æ è ç ö ø ÷ ５．(２０２５􀅰淮南一中高二质检)函数f(x)＝ log２x＋x－２的零点所在的区间为 (　　) A．(０,１) B．(１,２) C．(２,３) D．(３,４) ６．(２０２５􀅰郑州二中高二期中)函数f(x)＝ x２＋x－２,x≤０, －１＋lnx,x＞０{ 的零点个数为 (　　) A．３ B．２ C．７ D．０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１ ７．若函数f(x)＝x２－ax＋１在区间 １２ ,３ æ è ç ö ø ÷上 有零点,则实数a的取值范围是 (　　) A．(２,＋∞) B．[２,＋∞) C．２,５２ é ë êê ö ø ÷ D．２,１０３ é ë êê ö ø ÷ ８．(多选)下列说法中正确的是 (　　) A．函数f(x)＝x＋１的零点为(－１,０) B．函数f(x)＝x＋１的零点为－１ C．函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与 x轴的交点 D．函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与 x轴的交点的横坐标 ９．(多选)函数f(x)＝２x－２x－a 的一个零点在 区间(１,２)内,则实数a的可能取值是 (　　) A．０ B．１ C．２ D．３ １０．(多选)(２０２５􀅰长沙质检)已知m 为常数, 函数f(x)＝ x＋２ x＋１ ,x≤０, |lnx|,x＞０, ì î í ï ï ïï g(x)＝mx＋２, 若函数y＝f(x)－g(x)恰有四个零点,则 实数m 的值可以是 (　　) A．－２ B．－１ C．１ e３ D．１ e２ １１．(２０２５􀅰石家庄高二联考)若函数f(x)＝ x３＋ax２＋bx＋c是奇函数,且有三个不同 的零点,写出一个符合条件的函数:f(x) ＝　　　　． １２．函数f(x)＝ x,x≤２ log２(x－２),x＞２{ ,则函数 y＝f(f(x))的所有零点之和为　　　　． １３．(２０２５􀅰石家庄高二期末)已知函数f(x) ＝ |log３x|,０＜x＜３, sinπ６x ,３≤x≤１５, ì î í ï ï ïï 若存在实数x１,x２, x３,x４,满足x１＜x２＜x３＜x４,且f(x１)＝ f(x２)＝f(x３)＝f(x４),则x１x２＝　　　　, (x３－３)(x４－３)的取值范围是　　　　． １４．函数f(x)＝x２＋bx＋c的两个零点为２,３． (１)求b,c的值; (２)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点 分别在区间(１,２),(２,４)内,求实数 m 的 取值范围． １５．已知函数f(x)＝－x２－２x, g(x)＝ x＋１４x ,x＞０, x＋１,x≤０． ì î í ï ï ïï (１)求g[f(１)]的值; (２)若方程g[f(x)]－a＝０有４个实数 根,求实数a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６１ 假期必刷８ 技能提升台 １．C　[因为函数f(x)＝２x＋３x－１２在定义上单调递增, 又f(２)＝２２＋６－１２＝－２＜０,f(３)＝２３＋９－１２＝５＞０, 所以函数f(x)的零点所在区间是(２,３),即x０∈(２,３)．] ２．C　[开区间(０,１)的长度等于１,每经过一次操作,区间 长度变 为 原 来 的 一 半,经 过n 次 操 作 后,区 间 长 度 变 为１ ２n , ∵用二分法求函数f(x)＝ln(x＋１)＋x－１在区间(０,１) 上的 近 似 解,要 求 精 确 度 为 ０．０１,∴ １ ２n ≤０．０１,解 得n≥７．] ３．B　[由所给的函数值的表格可以看出,x＝２与x＝３这两 个数字对应的函数值的符号不同,即f(２)􀅰f(３)＜０,所 以函数在(２,３)内必有零点．] ４．B　[函数f(x)＝x＋log２x－m 在 １ ４ ,８( ) 上递增, 则函数f(x)在 １４ ,８( ) 上存在零点, 需 f １４( )＝ １ ４＋log２ １ ４－m＜０ f(８)＝８＋log２８－m＞０ { ,解得－７４＜m＜１１．] ５．B　[函数f(x)在(０,＋∞)上单调递增, 则f(x)＝０在(０,＋∞)上只有一个根, 且f(１)＝－１,f(２)＝１,则f(１)f(２)＜０, 故f(x)的零点所在的区间为(１,２)．] ６．B　[由 x≤０, x２＋x－２＝０{ 或 x＞０, －１＋lnx＝０,{ 解得x＝－２或x＝e,故f(x)有２个零点．] ７．D　[由题意知方程ax＝x２＋１在 １２ ,３( ) 上有实数解,即 a＝x＋１x 在 １ ２ ,３( ) 上有解,设t＝x＋１x,x∈ １ ２ ,３( ),则 t的 取 值 范 围 是 ２,１０３[ )．所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ２,１０３[ )．] ８．BD　[根据函数零点的定义,可知f(x)＝x＋１的零点为 －１．函数y＝f(x)的零点,即函数y＝f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标,因此B,D正确,A,C错误．] ９．BC　[因为函数y＝２x、y＝－２x 在(０,＋∞)上单调递增, 所以函数f(x)＝２x－２x－a 在(０,＋∞)上单调递增,由 函数f(x)＝２x－ ２x －a 的 一 个 零 点 在 区 间(１,２)内, 得f(１)×f(２)＝(２－２－a)(４－１－a)＝(－a)×(３－a) ＜０,解得０＜a＜３．] １０．AC　[由题意,函数f(x)＝ x＋２ x＋１ ,x≤０, |lnx|,x＞０,{ g(x)＝mx＋２． 故x＝０时,可得f(０)＝２,g(０)＝２, 故x＝０是函数y＝f(x)－g(x)的一个零点; 当x≠０时,将f(x)－g(x)＝０转化为m＝h(x), 其中h(x)＝ － １x＋１ ,x＜０, －lnx＋２x ,０＜x≤１, lnx－２ x ,x＞１, ì î í ï ï ï ï ï ï 要使得函数y＝f(x)－g(x)在(－∞,０)∪(０,＋∞)上 有三个零点, 只需y＝m 和y＝h(x)的图象有三个不同的交点, 作出函数y＝h(x)的大致图象,如图所示． 结合图象,可得－e＜m＜－１或m＝１ e３ ,结合选项,实数 m 的值可以是－２和１ e３ ．] １１．解析:f(x)＝x３＋ax２＋bx＋c为奇函数, 故a＝c＝０,f(x)＝x３＋bx＝x(x２＋b)有三个不同零点, ∴b＜０,∴f(x)＝x３－x满足题意． 答案:x３－x(答案不唯一) １２．解析:令t＝f(x),由f(t)＝０, 得 t≤２ t＝０{ 或 t＞２ log２(t－２)＝０{ ,所 以t＝０ 或t＝３,当t＝ f(x)＝０ 时,x＝０ 或 x＝３,当t＝f(x)＝３ 时,则 x≤２ x＝３{ 或 x＞２ log２(x－２)＝３{ ,解 得 x＝１０,所 以 函 数y＝ f(f(x))的所有零点之和为０＋３＋１０＝１３． 答案:１３ １３．解析:作出函数f(x)＝ |log３x|,０＜x＜３, sinπ６x ,３≤x≤１５{ 的图象,如 图所示, 因为f(x１)＝f(x２)＝f(x３)＝f(x４), x１＜x２＜x３＜x４, 所以由图可知,－log３x１＝log３x２, x３＋x４ ２ ＝９ , 且３＜x３＜６,即x１x２＝１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０９ 所以(x３－３)(x４－３)＝x３x４－３(x３＋x４)＋９＝x３(１８－x３) －４５＝－x２３＋１８x３－４５, 因为y＝－x２３＋１８x３－４５在(３,６)上单调递增, 所以０＜y＜２７, 即(x３－３)(x４－３)的取值范围是(０,２７)． 答案:１　(０,２７) １４．解:(１)２,３为方程x２＋bx＋c＝０的两根, ∴ －b＝２＋３, c＝２×３．{ ∴ b＝－５, c＝６．{ (２)由(１)知f(x)＝x２－５x＋６, 所以g(x)＝x２＋(m－５)x＋６, 依题意 g(１)＞０, g(２)＜０, g(４)＞０, { 解得－１２＜m＜０, 故实数m 的取值范围是 －１２ ,０( )． １５．解:(１)利用解析式直接求解得 g[f(１)]＝g(－３)＝－３＋１ ＝－２． (２)令f(x)＝t,则原方程化为 g(t)＝a,易知方程f(x)＝t在 t∈(－∞,１)上 有 ２ 个 不 同 的解, 则原方程有４个解等价于函数y＝g(t)(t＜１)与y＝a 的图象有２个不同的交点,作出函数y＝g(t)(t＜１)的图 象,如图,由图象可知,当１≤a＜５４ 时,函数y＝g(t)(t＜１) 与y＝a有２个不同的交点,即所求实数a的取值范围 是 １,５４[ )． 假期必刷９ 思维整合室 １．递增　递增　y轴　x轴 技能提升台 １．B　[因为小曾同学用水量为１６m３,则不超过１２m３ 的部 分的水费为１２×３＝３６(元),显然没有超过１８m３,则超过 １２m３不 超 过 １８ m３ 的 部 分 的 水 费 为 (１６－１２)×６＝ ２４(元),所以应交水费为３６＋２４＝６０(元)．] ２．C　[由题意得x＝(１＋５‰)y＝１．００５y,化为对数函数得 y＝log１．００５x．] ３．B　[由题中表格可知函数在(０,＋∞)上是增函数,且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快,分析选项可知 B 符合．] ４．B　[∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满 足y＝klog３(x＋１), 且当x＝２时,y＝１０００, ∴１０００＝klog３３,解得k＝１０００, ∴当x＝５时,y＝１０００×log３６＝１０００×(log３３＋log３２) ＝１０００× １＋ln２ln３( )≈１６３６．] ５．C　[经过x天后,“进步”与“落后”的比１．２ x ０．８x ≥１００００,所 以 ３ ２( ) x ≥１００００,两边取以１０为底的对数得x􀅰lg３２≥ ４,又lg２≈０．３０１,lg３≈０．４７７,所以x􀅰(lg３－lg２)＝ x(０．４７７－０．３０１)＝０．１７６x≥４,解得x≥ ４０．１７６≈２２．７３ , 所以大约经过２３天后,“进步”是“落后”的１００００倍．] ６．BD　[在 A中,甲在公园休息的时间是１０min, 所以只走了５０min,A错误; 由题中图象知,B正确; 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时 间长,而距离相等,所以甲从家到公园的速度比从公园到 乙同学家的速度慢,C错误; 当０≤x≤３０时,设y＝kx(k≠０),则２＝３０k,解得k＝１１５ , D正确．] ７．ACD　[由题意可知:Lp１∈[６０,９０],Lp２∈[５０,６０], Lp３＝４０, 对于选项 A:可得Lp１－Lp２＝２０×lg p１ p０ －２０×lg p２ p０ ＝２０×lg p１ p２ , 因为Lp１≥Lp２,则Lp１－Lp２＝２０×lg p１ p２ ≥０,即lg p１ p２ ≥０, 所以p１ p２ ≥１且p１,p２＞０,可得p１≥p２,故 A正确; 对于选项B:可得Lp２－Lp３＝２０×lg p２ p０ －２０×lg p３ p０ ＝２０×lg p２ p３ , 因为Lp２－Lp３＝Lp２－４０≥１０,则２０×lg p２ p３ ≥１０, 即lg p２ p３ ≥１２ , 所以p２ p３ ≥ １０且p２,p３＞０,可得p２≥ １０p３, 当且仅当Lp２＝５０时,等号成立,故B错误; 对于选项C:因为Lp３＝２０×lg p３ p０ ＝４０,即lg p３ p０ ＝２, 可得p３ p０ ＝１００,即p３＝１００p０,故C正确; 对于选项 D:由选项 A可知:Lp１－Lp２＝２０×lg p１ p２ , 且Lp１－Lp２≤９０－５０＝４０,则２０×lg p１ p２ ≤４０, 即lg p１ p２ ≤２,可 得p１p２ ≤１００,且 p１,p２＞０,所 以 p１≤ １００p２,故 D正确．] ８．解析:令t＝ A(t≥０),则A＝t２, ∴D＝at－t２＝－ t－１２a( ) ２ ＋１４a ２, ∴当t＝１２a ,即A＝１４a ２ 时,D 取得最大值． 答案:１ ４a ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９