假期必刷6 二次函数，幂函数、指数函数与对数函数-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　　假期必刷６　二次函数、幂函数、指数函数与对数函数　　　　　　　　　　　　　 １．二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)＝　　　　　　　　． 顶点式:f(x)＝a(x－m)２＋n(a≠０),顶点 坐标为　　　　． 零点式:f(x)＝a(x－x１)(x－x２)(a≠０), x１,x２ 为f(x)的零点． ２．幂函数 (１)幂函数的定义 一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中x 是自变量,α是常数． (２)幂函数的性质 ①当α＞０时,幂函数的图象都过点(１,１) 和(０,０),且在(０,＋∞)上单调递增; ②当α＜０时,幂函数的图象都过点(１,１), 且在(０,＋∞)上单调递减． ３．对数的性质、运算性质与换底公式 (１)对数的性质:①alogaN ＝　　;②loga b＝b (a＞０,且a≠１)． (２)对数的运算性质 如果a＞０且a≠１,M＞０,N＞０,那么 ①loga(MN)＝ 　; ②loga M N＝　　　　　　　　 ; ③logaMn＝　　　　　　(n∈R)． (３)换底公式:logab＝　　　　　　　　　　 (a＞０,且a≠１,b＞０,c＞０,且c≠１)． ４．指数函数和对数函数及其性质 (１)概念: ①函数y＝logax(a＞０,且a≠１)叫做对数函 数,其中x是自变量,定义域是(０,＋∞)． ②函数y＝ax(a＞０,且a≠１)叫做指数函 数,其中指数x是自变量,定义域是R． (２)指数函数和对数函数的图象与性质 指数函数 对数函数 a＞１ ０＜a＜１ a＞１ ０＜a＜１ 图象 定义域 R 定义域:　　　　 值域 　　　　 值域:　　　　 性质 过定点　　　,即x ＝０时,y＝１ 当x＝１时,y＝０,即 过定点　　　 在(－∞, ＋∞)上 是 　 　 　　　 在(－∞, ＋∞)上 是 　 　 　　 在(０,＋∞) 上 是 　 　　　 在(０,＋∞) 上是　　 　　　 ５．反函数 指数函数y＝ax(a＞０,且a≠１)与对数函数 y＝logax(a＞０,且a≠１)互为反函数,它们 的图象关于直线y＝x对称．它们的定义域 和值域正好互换． １．化简a􀅰 －１a＝ (　　) A．－a　　　　　　B．－ －a C．－ a D．a 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１ ２．设a,b,c都是正数,且３a＝４b＝６c,那么下列 关系正确的是 (　　) A．a＋２b＝c B．ac＋bc＝２ab C．１a＋ １ ２b＝ １ c D． １ a＋ １ b＝ ２ b ３．若幂函数y＝x－１,y＝xm 与y＝xn 在第一象限内的 图象如图所示,则 (　　) A．－１＜m＜０＜n＜１ B．－１＜n＜０＜m＜２ C．－１＜m＜０＜n＜２ D．－１＜n＜０＜m＜１ ４．指数函数y＝ax(a＞０,且a≠１)的反函数图 象过点(４,２),则a＝ (　　) A．３ B．２ C．９ D．４ ５．(２０２４􀅰天津卷)若a＝４．２－０．３,b＝４．２０．３,c ＝log４．２０．２,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a ６．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝ －x２－２ax－a,x＜０ ex＋ln(x＋１),x≥０{ 在R上单调递增,则a 的取值范围是 (　　) A．(－∞,０] B．[－１,０] C．[－１,１] D．[０,＋∞) ７．已知y＝４x－３􀅰２x＋３的值域为[１,７],则 x的取值范围是 (　　) A．[２,４] B．(－∞,０) C．(０,１)∪[２,４] D．(－∞,０]∪[１,２] ８．(多选)下列各式正确的是 (　　) A． loga６ loga３ ＝loga２ B．lg２＋lg５＝１ C．(lnx)２＝２lnx D．lg ５ x３＝３５lgx ９．(多选)已知函数f(x)＝xα 的图象经过点 (４,２),则下列命题正确的有 (　　) A．函数f(x)为增函数 B．函数f(x)为偶函数 C．若x＞１,则f(x)＞１ D．若 ０＜x１ ＜x２,则 f(x１)＋f(x２) ２ ＜ f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷ １０．(多选)已知函数f(x)＝２－x－２x,有下列 四个结论,其中正确的结论是 (　　) A．f(０)＝０ B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增 D．对任意的实数a,方程 f(x)－a＝０ 都有解 １１．函数f(x)＝log２ x􀅰log２(２x)的最小值 为　　　　． １２．(２０２４􀅰全国甲卷(理))已知a＞１且 １log８a － １loga４ ＝－５２ ,则a＝　　　　． １３．(２０２５􀅰八省联考)已知函数f(x)＝ax(a ＞０,a≠１),若f(ln２)f(ln４)＝８,则a＝ 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１ －a＋４≥１在[１,２]上恒成立,即a≤x ２＋３ x＋１ 在[１,２]上恒 成立,x ２＋３ x＋１＝ (x＋１－１)２＋３ x＋１ ＝x＋１＋ ４ x＋１－２ ,令x＋ １＝t,t∈[２,３],设h(t)＝t＋４t －２ ,h′(t)＝１－ ４ t２ ＝ t２－４ t２ ≥０,则h(t)在[２,３]上单调递增,所以h(t)min＝ h(２)＝２,所以a≤２． 答案:(－∞,２] 假期必刷６ 思维整合室 １．ax２＋bx＋c(a≠０)　(m,n) ２．(１)y＝xα ３．(１)N　(２)logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM (３) logcb logca ４．(２)(０,＋∞)　(０,＋∞)　R　(０,１)　(１,０)　增函数 减函数　增函数　减函数 技能提升台 １．B　[因为 －１a 有意义,所以a＜０,所以a＝－ a２, 所以a􀅰 －１a＝－ a ２× －１a＝－ a ２× －１a( ) ＝－ －a．] ２．C　[由３a＝４b＝６c＝k,得a＝log３k,b＝log４k,c＝log６k, １ a＝logk３ ,１ b ＝logk４ ,１ c ＝logk６ ,则 １ ２b＝ １ ２logk４＝ logk２,根据logk３＋logk２＝logk６可知, １ a＋ １ ２b＝ １ c． ] ３．D　[当α＞０时,y＝xα 在(０,＋∞)上单调递增, 且０＜α＜１时,图象上凸, 所以０＜m＜１; 当α＜０时,y＝xα 在(０,＋∞)上为单调递减, 不妨令x＝２,根据题图可得２－１＜２n, 所以－１＜n＜０．] ４．B　[指数函数y＝ax(a＞０,且a≠１)的反函数图象过点 (４,２),指数函数图象过点(２,４),可得４＝a２,解得a＝２．] ５．B　[因为y＝４．２x 在R上递增,且－０．３＜０＜０．３,所以０＜ ４．２－０．３＜４．２０＜４．２０．３, 所以０＜４．２－０．３＜１＜４．２０．３,即０＜a＜１＜b, 因为y＝log４．２x在(０,＋∞)上递增,且０＜０．２＜１, 所以log４．２０．２＜log４．２１＝０,即c＜０, 所以b＞a＞c．] ６．B　[由题意知f(x)在 R上单调递增,令h(x)＝－x２－ ２ax－a,则h(x)的对称轴必大于等于０,否则与题意不 符,即－a≥０⇒a≤０,排除 C、D 项;又因为当x＝０时, f(x)＝１,所以当x＝０时,h(x)≤１⇒－x２－２ax－a≤１, 代入x＝０,得－a≤１⇒a≥－１,所以－１≤a≤０,故a的取 值范围是[－１,０]．故选择:B．] ７．D　[∵y＝４x－３􀅰２x＋３的值域为[１,７], ∴１≤４x－３􀅰２x＋３≤７,且２x＞０, ∴０＜２x≤１或２≤２x≤４, ∴x≤０或１≤x≤２．] ８．BD　 [A 选 项,由 换 底 公 式,可 得 loga６ loga３ ＝log３６＝１＋ log３２,故 A错误;B选项,lg２＋lg５＝lg(２×５)＝１,故 B 正确;C选项,(lnx)２＝lnx×lnx≠２lnx,故 C错误;D 选项,lg ５ x３＝lgx ３ ５ ＝３５lgx ,故 D正确．] ９．ACD　[将点(４,２)代入函数f(x)＝xα,得２＝４α,则α＝ １ ２ ,所以f(x)＝x １ ２ ．显然f(x)在定义域[０,＋∞)上为增 函数,A正确;f(x)的定义域为[０,＋∞),所以f(x)不具 有奇偶性,B不正确;当x＞１时,x＞１,即f(x)＞１,C正确; 当０＜x１＜x２ 时, f(x１)＋f(x２) ２[ ] ２ － f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷[ ] ２ ＝ x１＋ x２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ － x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ x１＋x２＋２ x１x２ ４ － x１＋x２ ２ ＝ ２ x１x２－x１－x２ ４ ＝－ ( x１－ x２)２ ４ ＜０ , 即f (x１)＋f(x２) ２ ＜f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷成立,D正确．] １０．ABD　[f(x)＝２－x－２x,则f(０)＝１２０ －２０＝０,故 A 正 确;f(－x)＝２x－２－x＝－f(x),所以f(x)是奇函数, 故B正确;f(x)＝１２x －２x 在 R上是减函数,故 C错误; 当x→－∞时,f(x)→＋∞;当x→＋∞时,f(x)→－∞, 即f(x)的值域是(－∞,＋∞),它又是 R上的减函数, 因此对任意实数a,f(x)＝a都有解,故 D正确．] １１．解析:依 题 意 得 f(x)＝ １２log２x 􀅰 (２＋２log２x)＝ (log２x)２＋log２x＝ log２x＋ １ ２( ) ２ －１４≥－ １ ４ , 当log２x＝－ １ ２ ,即x＝ ２２ 时等号成立, 所以函数f(x)的最小值为－１４． 答案:－１４ １２．解析:因为 １log８a － １loga４ ＝ ３log２a －１２log２a＝－ ５ ２ ,所以 (log２a＋１)(log２a－６)＝０,而a＞１,故log２a＝６,a＝６４． 答案:６４ １３．解析:由f(ln２)f(ln４)＝８,可得aln２􀅰aln４＝８, 即aln２＋ln４＝a３ln２＝８,也即(aln２)３＝２３, ∵a＞０且a≠１,∴aln２＝２, 两边取对数得:ln２􀅰lna＝ln２,解得a＝e． 答案:e 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８８