假期必刷5 函数的基本性质-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

　　　　　　　　　　假期必刷５　函数的基本性质　　　　　　　　　　　　　 １．函数的单调性 单调递增 单调递减 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内某个区间D 上 的任意两个自变量的值x１,x２ 当x１＜x２ 时,都有 f(x１)＜f(x２),那 么 就 说 函 数 f(x)在 区 间 D 上是单调递增 当x１＜x２ 时,都 有f(x１)＞f(x２), 那 么 就 说 函 数 f(x)在区间D 上 是单调递减 图象 描述 自左向右看图 象是上升的 自左向右看图 象是下降的 ２．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I,如果 存在实数 M 满足 条件 (１)对于任意x∈I, 都有f(x)≤M; (２)存 在 x０ ∈I, 使得f(x０)＝M (３)对于任意x ∈I,都有f(x) ≥M; (４)存在x０∈I, 使得f(x０)＝M 结论 M 是f(x)的 最 大值 M 是f(x)的最 小值 ３．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 设函数f(x)的定义域为I,如果 ∀x∈I,都有－x∈I 且　　 　 　,那 么函数f(x)就 叫做偶函数 且　　　　,那 么函数f(x)就 叫做奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 ４．函数的周期性 (１)周期函数:对于函数y＝f(x),如果存在一 个非零常数T,使得当x取定义域内的任 何值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么就称 函数y＝f(x)为周期函数,称T 为这个函 数的周期． (２)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有 周期中存在一个最小的正数,那么这个最 小正数就叫做f(x)的　　　　正周期． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．复合函数y＝f[g(x)]的 单 调 性 与y＝ f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记:“同 增异减”． ２．函数周期性常用结论 若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝ １f(x) 或f(x＋a)＝－ １f(x) ,则T＝２a(a＞０)． ３．函数图象的对称性 (１)若函数y＝f(x＋a)是偶函数,则函数y ＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (２)若函数y＝f(x＋b)是奇函数,则函数y＝ f(x)的图象关于点(b,０)中心对称． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(３)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则 y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b２ 对称; 特 别 地,当 a＝b 时,即 f(a＋x)＝ f(a－x)或f(x)＝f(２a－x)时,则y＝ f(x)的图象关于直线x＝a对称． (４)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(２a－x)＝２b, 则y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称．特 别地,当b＝０时,即f(a＋x)＋f(a－x) ＝０或f(x)＋f(２a－x)＝０时,则y＝ f(x)的图象关于点(a,０)对称． １．下列函数在区间(０,４)上单调递增的是 (　　) A．y＝２０２５－２０２４x B．y＝２x２＋３ C．y＝－(x－２)２ D．y＝x２－８x－６ ２．(２０２４􀅰天津卷)下列函数是偶函数的是 (　　) A．f(x)＝e x－x２ x２＋１ B．f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ C．f(x)＝e x－x x＋１ D．f (x)＝sinx＋４x e|x| ３．已知f(x)＝ xe x eax－１ 是偶函数,则a＝ (　　) A．－２　　B．－１　　C．１　　D．２ ４．函数y＝log１２ (－x ２＋x＋６)的单调递增区 间为 (　　) A．１２ ,３ æ è ç ö ø ÷ B．－２,１２ æ è ç ö ø ÷ C．(－２,３) D．１２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ ５．已知函数f(x)＝ (a－２)x,x≥２ １ ２ æ è ç ö ø ÷ x －１,x＜２ ì î í ï ï ïï 满足对任 意的x１,x２(x１≠x２)都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜０ 成立,则实数a的取值范围为 (　　) A．(－∞,－２) B．－∞,１３８ æ è ç ù û úú C．[－∞,２] D．１３８ ,２é ë êê ö ø ÷ ６．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞,０)上单 调递减,且f(１)＝０,则满足xf(x－１)≤０的x 的取值范围是 (　　) A．(－∞,－２]∪[０,＋∞) B．(－∞,－２]∪[１,＋∞) C．(－∞,１]∪[２,＋∞) D．(－∞,０]∪[２,＋∞) ７．已知实数a＞０,b＞０,且满足(a－１)３＋(b－ １)３≥３(２－a－b)恒成立,则a２＋b２ 的最小 值为 (　　) A．２ B．１ C．１４ D．４ ８．(多选)定义f(x)＝[x](其中[x]表示不小 于x的最小整数)为“向上取整函数”．例如 [－１．１]＝－１,[２．１]＝３,[４]＝４．以下描述 正确的是 (　　) A．若f(x)＝２０２５,则x∈(２０２４,２０２５] B．若[x]２－５[x]＋６≤０,则x∈(１,３] C．f(x)＝[x]是R上的奇函数 D．若f(x)＝f(y),则|x－y|＜１ ９．已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥０ 时,f(x)＝２x＋m,则f(－３)＝　　　　． １０．函数y＝f(x)是定义在[－２,２]上的减函 数,且f(a＋１)＜f(２a),则实数a的取值 范围是　　　　． １１．已知函数f(x)＝ x x２＋１ ,x＜a, －x２＋４x＋１２ ,x≥a, ì î í ï ïï ï ï ①若f(x)的最大值为a２ ,则a的一个取值 为　　　　． ②记函数f(x)的最大值为g(a),则g(a) 的值域为　　　　． １２．若函数f(x)与g(x)对于任意x１,x２∈ [c,d],都有f(x１)􀅰g(x２)≥m,则称函数 f(x)与g(x)是区间[c,d]上的“m 阶依附 函数”．已知函数f(x)＝３x－１与g(x)＝ x２－ax－a＋４是区间[１,２]上的“２阶依附 函数”,则实数a的取值范围是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０１ ７．C　[当a＞０时,－a＜０, 由f(a)＞f(－a),得log２a＞log１２a, 所以２log２a＞０,解得a＞１; 当a＜０时,－a＞０,由f(a)＞f(－a), 得log１２ (－a)＞log２(－a), 所以２log２(－a)＜０,可得０＜－a＜１, 即－１＜a＜０． 综上,实数a的取值范围是(－１,０)∪(１,＋∞)．] ８．A　[由题意可得 y＝f(x)＝ １ ２x ,０≤x＜１, ３ ４－ x ４ ,１≤x＜２, ５ ４－ １ ２x ,２≤x≤５２． ì î í ï ï ï ï ï ï 画出函数f(x)的大致图象．] ９．CD　[图象A关于x轴对称,x＞０时,每一个x对应２个 y,图象B中x０ 对应２个y,所以 A,B均不是函数图象; 图象C,D可以是函数图象．] １０．BCD　[结合表格可知,当x＝１时,f(１)＝２, 则f(f(１))＝f(２)＝３≠１－１＝０,当x＝２时,f(２)＝３, f(f(２))＝f(３)＝４≠２－１;当 x＝３ 时,f(３)＝４, f(f(３))＝f(４)＝２＝３－１,此时满足题意;当x＝４时, f(４)＝２,f(f(４))＝f(２)＝３＝４－１,此时满足题意;当 x＝５时,f(５)＝３,f(f(５))＝f(３)＝４＝５－１,此时满足 题意．] １１．AC　[同一函数满足①定义域相同;②对应关系相同, 只有 A、C满足．] １２．ACD　[x≠０时,设g(x)＝|x|＋ ４|x| ,g(x)在(０,２]上 单调 递 减,在 [－２,０)上 单 调 递 增,且 f(x)＝１－ ４ |x|＋ ４|x| ,∴f(x)在(０,２]上单调递减,０≤f(x)＜１; f(x)在[－２,０)上单调递增,０≤f(x)＜１,且f(０)＝１, ∴f(x)在[０,２],[－２,０],[－１,２]上的值域为[０,１],a, b中 至 少 一 个 取 －２ 或 ２,∴ 整 数 对 (a,b)可 以 是 (－２,０),(０,２),(－１,２)．] １３．解析:f(３)＝ ３． 答案:３ １４．解析:由f(f(a))＝４得f(a)＝０或f(a)＝－２, 而f(a)＝０无解,所以a＝ln２． 答案:ln２ １５．解析:当x≤０时,x＋１≤１, f(x)＜f(x＋１)⇔x２－１＜(x＋１)２－１, 解得－１２＜x≤０ ; 当０＜x≤１时,x＋１＞１, 此时f(x)＝x２－１≤０, f(x＋１)＝log２(x＋１)＞０, ∴０＜x≤１时,恒有f(x)＜f(x＋１); 当x＞１时,f(x)＜f(x＋１)⇔log２x＜log２(x＋１)恒 成立, 综上 可 知,不 等 式 f (x)＜f (x ＋ １)的 解 集 为 －１２ ,＋∞( )． 答案: －１２ ,＋∞( ) １６．解析:①若函数f(x)的定义域为 R,则有 m＞０且Δ＝ (m－２)２－４m(m－１)≤０,解得m≥２ ３３ ,所以实数m 的 取值范围是 ２ ３ ３ ,＋∞[ öø÷． ②当 m ＝０ 时,f(x)＝ mx２－ m－２( )x＋m－１＝ ２x－１,值域是[０,＋∞),满足条件;令g(x)＝mx２－ m－２( )x＋m－１, g(x)≥０( ) ,当m＜０时,g(x)的图 象开口向下,故f(x)的值域不会是[０,＋∞),不满足条 件;当m＞０时,g(x)的图象开口向上,只需mx２－ m－２( )x ＋m－１＝０的Δ≥０,即(m－２)２－４m(m－１)≥０,解得－２ ３３ ≤m≤２ ３３ ,又m＞０,所以０＜m≤２ ３３ ,综上,０≤m≤２ ３３ , ∴实数m的取值范围是 ０,２ ３３[ ]． 答案:２ ３ ３ ,＋∞[ öø÷　 ０, ２ ３ ３[ ] 假期必刷５ 思维整合室 ３．f(－x)＝f(x)　f(－x)＝－f(x) ４．(２)最小 技能提升台 １．B　[对于 A,y＝２０２５－２０２４x在R上单调递减,故 A错 误;对于B,易知y＝２x２＋３开口向上,对称轴为x＝０,所 以y＝２x２＋３在区间(０,４)上单调递增,故 B正确;对于 C,y＝ － (x－２)２ 开 口 向 下,对 称 轴 为 x＝２,所 以 y＝－(x－２)２在(－∞,２)上单调递增,在(２,＋∞)上单 调递减,故C错误;对于D,y＝x２－８x－６开口向上,对称 轴为x＝４,所以y＝x２－８x－６在(－∞,４]上单调递减, 故 D错误．] ２．B　对 A,设f(x)＝e x－x２ x２＋１ ,函数定义域为 R,但f(－１) ＝e －１－１ ２ ,f(１)＝e－１２ ,则f(－１)≠f(１),故 A 错误;对 B,f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ ,函 数 定 义 域 为 R,且 f(－x)＝ cos(－x)＋(－x)２ (－x)２＋１ ＝cosx＋x ２ x２＋１ ＝f(x),则f(x)为偶函 数,故B正确;对C,设h(x)＝e x－x x＋１ ,函数定义域为{x|x≠ －１},不关于原点对称,则h(x)不是偶函数,故 C错误; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６８ 对 D,设φ(x)＝ sinx＋４x e|x| ,函数定义域为 R,因为φ(－x) ＝sin (－x)＋４(－x) e|－x| ＝－sinx＋４x ex ＝－φ(x),则φ(x) 为奇函数,φ(x)不是偶函数,故 D错误． ３．D　[∵f(x)＝ xe x eax－１ 的定义域为{x|x≠０},又f(x)为偶 函数,∴f(－x)＝f(x),∴－xe －x e－ax－１ ＝ xe x eax－１ , ∴xe ax－x eax－１ ＝ xe x eax－１ ,∴ax－x＝x,∴a＝２．] ４．A　[由－x２＋x＋６＞０,得－２＜x＜３,故函数的定义域 为(－２,３),令t＝－x２＋x＋６,则y＝log１２t,易知其为减 函数．由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝ －x２＋x＋６在(－２,３)上的单调递减区间．利用二次函数的 性质可得t＝－x２＋x＋６在定义域(－２,３)上的单调递减 区间为 １ ２ ,３( ),故原函数的单调递增区间为 １２,３( )．] ５．B　[∵对任意的x１,x２(x１≠x２)都有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜０ 成立,f(x)在R上单调递减, ∴ a－２＜０ １ ２( ) ２ －１≥２(a－２){ ,解得a≤１３８,即实数a的取值范 围为 －∞,１３８( ]．] ６．C　[因为定义在 R上的奇函数f(x)在(－∞,０)上单调 递减,且f(１)＝０,所以f(x)在(０,＋∞)上单调递减,且 f(－１)＝０,所 以 当(－∞,－１)∪(０,１),f(x)＞０,当 (－１,０)∪(１,＋∞),f(x)＜０,所以若xf(x－１)≤０,则 x＜０ x－１≤－１{ 或 ０≤x＜１ －１≤x－１＜０{ 或 x＞１ x－１≥１{ 或 x＝０ 或 x＝１,解得x≤１或x≥２,所以x的取值范围是(－∞,１] ∪[２,＋∞)．] ７．A　[依题意,(a－１)３＋(b－１)３≥３(２－a－b)＝３(１－a) ＋３(１－b),即 (a－１)３＋３(a－１)≥ － [(b－１)３＋ ３(b－１)]＝(１－b)３＋３(１－b),设f(x)＝x３＋３x,f(x)是 奇函数且f(x)在R上递增,所以f(a－１)≥f(１－b), 即a－１≥１－b,a＋b≥２, 由基本不等式得a２＋b２≥ (a＋b)２ ２ ≥ ２２ ２＝２ ,当且仅当a＝ b＝１时等号成立,所以a２＋b２ 的最小值为２．] ８．ABD　[由[x]表示不小于x的最小整数,则有[x]≥x且 [x]－１＜x,即[x]－１＜x≤[x],A 项,f(x)＝[x]＝ ２０２５,则２０２５＝[x]≥x,２０２４＝[x]－１＜x,即２０２４＜x ≤２０２５,则x∈(２０２４,２０２５],故 A 正确;B项,令t＝ [x],则t２－５t＋６≤０,解得２≤t≤３,又[x]为整数,则t＝ ２,或t＝３,当t＝２时,即[x]＝２,则１＜x≤２;当t＝３时, 即[x]＝３,则２＜x≤３,故１＜x≤３,则x∈(１,３],故B正 确;C项,f(x)＝[x],则f(０．５)＝１,f(－０．５)＝０≠ －f(０．５),则f(x)＝[x]不是 R上的奇函数,故 C错误; D项,[y]－１＜y≤[y],若f(x)＝f(y),则[x]＝[y],即 [x]－１＜y≤[x],则－[x]≤－y＜１－[x],又[x]－１＜x≤ [x],由不等式的性质,－１＜x－y＜１,则|x－y|＜１,故 D 正确．] ９．解析:因为f(x)为R上的奇函数, 所以f(０)＝０, 即f(０)＝２０＋m＝０,解得m＝－１, 故f(x)＝２x－１(x≥０), 则f(－３)＝－f(３)＝－(２３－１)＝－７． 答案:－７ １０．解析:由条件知 －２≤a＋１≤２, －２≤２a≤２, a＋１＞２a, ì î í ïï ï 解得－１≤a＜１,即实数a的取值范围是[－１,１)． 答案:[－１,１) １１．解析:由解析式可知G(x)＝ x x２＋１ 是定义域为 R的奇函 数,且当x＞０时,G(x)＝ x x２＋１ ＝ １ x＋１x ≤ １ ２ x􀅰１x ＝ １ ２ ,当且仅当x＝１时等号成立; h(x)＝－x２＋４x＋１２＝－ (x －２)２＋９２ ,两函数如图所示: 由图可知,当a≤２ 时,f(x) 的最大值为h(x)＝９２ , 当２＜a＜４时,f(x)的最大值为h(x)在区间[a,４]的最 大值,即为h(a),１２＜h (a)＜９２ , 当a≥４时,f(x)的最大值为G(x)max＝ １ ２ ; ①若满足f(x)max＝ a ２ ,当a≤２时,f(x)＝９２⇒a＝９ , 不符题意; 当２＜a＜４时,f(x)max＝h(a)＝－a２＋４a＋ １ ２＝ a ２ ,解 得a＝７＋ ５７４ 或a＝７－ ５７４ (舍去) 当a≥４时,f(x)max＝ １ ２⇒a＝１ ,不符题意; ②综上所述,根据函数图象可知函数f(x)的最大值为 g(a)∈ １２ ,９ ２[ ]． 答案:①７＋ ５７４ 　② １ ２ ,９ ２[ ] １２．解析:因为函数f(x)＝３x－１与g(x)＝x２－ax－a＋４ 是区间[１,２]上 的 “２ 阶 依 附 函 数”,所 以 f(x)min􀅰 g(x)min≥２在[１,２]上恒成立,又f(x)＝３x－１在[１,２] 上单调递增,则f(x)min＝f(１)＝２,所以g(x)＝x２－ax 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７８ －a＋４≥１在[１,２]上恒成立,即a≤x ２＋３ x＋１ 在[１,２]上恒 成立,x ２＋３ x＋１＝ (x＋１－１)２＋３ x＋１ ＝x＋１＋ ４ x＋１－２ ,令x＋ １＝t,t∈[２,３],设h(t)＝t＋４t －２ ,h′(t)＝１－ ４ t２ ＝ t２－４ t２ ≥０,则h(t)在[２,３]上单调递增,所以h(t)min＝ h(２)＝２,所以a≤２． 答案:(－∞,２] 假期必刷６ 思维整合室 １．ax２＋bx＋c(a≠０)　(m,n) ２．(１)y＝xα ３．(１)N　(２)logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM (３) logcb logca ４．(２)(０,＋∞)　(０,＋∞)　R　(０,１)　(１,０)　增函数 减函数　增函数　减函数 技能提升台 １．B　[因为 －１a 有意义,所以a＜０,所以a＝－ a２, 所以a􀅰 －１a＝－ a ２× －１a＝－ a ２× －１a( ) ＝－ －a．] ２．C　[由３a＝４b＝６c＝k,得a＝log３k,b＝log４k,c＝log６k, １ a＝logk３ ,１ b ＝logk４ ,１ c ＝logk６ ,则 １ ２b＝ １ ２logk４＝ logk２,根据logk３＋logk２＝logk６可知, １ a＋ １ ２b＝ １ c． ] ３．D　[当α＞０时,y＝xα 在(０,＋∞)上单调递增, 且０＜α＜１时,图象上凸, 所以０＜m＜１; 当α＜０时,y＝xα 在(０,＋∞)上为单调递减, 不妨令x＝２,根据题图可得２－１＜２n, 所以－１＜n＜０．] ４．B　[指数函数y＝ax(a＞０,且a≠１)的反函数图象过点 (４,２),指数函数图象过点(２,４),可得４＝a２,解得a＝２．] ５．B　[因为y＝４．２x 在R上递增,且－０．３＜０＜０．３,所以０＜ ４．２－０．３＜４．２０＜４．２０．３, 所以０＜４．２－０．３＜１＜４．２０．３,即０＜a＜１＜b, 因为y＝log４．２x在(０,＋∞)上递增,且０＜０．２＜１, 所以log４．２０．２＜log４．２１＝０,即c＜０, 所以b＞a＞c．] ６．B　[由题意知f(x)在 R上单调递增,令h(x)＝－x２－ ２ax－a,则h(x)的对称轴必大于等于０,否则与题意不 符,即－a≥０⇒a≤０,排除 C、D 项;又因为当x＝０时, f(x)＝１,所以当x＝０时,h(x)≤１⇒－x２－２ax－a≤１, 代入x＝０,得－a≤１⇒a≥－１,所以－１≤a≤０,故a的取 值范围是[－１,０]．故选择:B．] ７．D　[∵y＝４x－３􀅰２x＋３的值域为[１,７], ∴１≤４x－３􀅰２x＋３≤７,且２x＞０, ∴０＜２x≤１或２≤２x≤４, ∴x≤０或１≤x≤２．] ８．BD　 [A 选 项,由 换 底 公 式,可 得 loga６ loga３ ＝log３６＝１＋ log３２,故 A错误;B选项,lg２＋lg５＝lg(２×５)＝１,故 B 正确;C选项,(lnx)２＝lnx×lnx≠２lnx,故 C错误;D 选项,lg ５ x３＝lgx ３ ５ ＝３５lgx ,故 D正确．] ９．ACD　[将点(４,２)代入函数f(x)＝xα,得２＝４α,则α＝ １ ２ ,所以f(x)＝x １ ２ ．显然f(x)在定义域[０,＋∞)上为增 函数,A正确;f(x)的定义域为[０,＋∞),所以f(x)不具 有奇偶性,B不正确;当x＞１时,x＞１,即f(x)＞１,C正确; 当０＜x１＜x２ 时, f(x１)＋f(x２) ２[ ] ２ － f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷[ ] ２ ＝ x１＋ x２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ － x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ x１＋x２＋２ x１x２ ４ － x１＋x２ ２ ＝ ２ x１x２－x１－x２ ４ ＝－ ( x１－ x２)２ ４ ＜０ , 即f (x１)＋f(x２) ２ ＜f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷成立,D正确．] １０．ABD　[f(x)＝２－x－２x,则f(０)＝１２０ －２０＝０,故 A 正 确;f(－x)＝２x－２－x＝－f(x),所以f(x)是奇函数, 故B正确;f(x)＝１２x －２x 在 R上是减函数,故 C错误; 当x→－∞时,f(x)→＋∞;当x→＋∞时,f(x)→－∞, 即f(x)的值域是(－∞,＋∞),它又是 R上的减函数, 因此对任意实数a,f(x)＝a都有解,故 D正确．] １１．解析:依 题 意 得 f(x)＝ １２log２x 􀅰 (２＋２log２x)＝ (log２x)２＋log２x＝ log２x＋ １ ２( ) ２ －１４≥－ １ ４ , 当log２x＝－ １ ２ ,即x＝ ２２ 时等号成立, 所以函数f(x)的最小值为－１４． 答案:－１４ １２．解析:因为 １log８a － １loga４ ＝ ３log２a －１２log２a＝－ ５ ２ ,所以 (log２a＋１)(log２a－６)＝０,而a＞１,故log２a＝６,a＝６４． 答案:６４ １３．解析:由f(ln２)f(ln４)＝８,可得aln２􀅰aln４＝８, 即aln２＋ln４＝a３ln２＝８,也即(aln２)３＝２３, ∵a＞０且a≠１,∴aln２＝２, 两边取对数得:ln２􀅰lna＝ln２,解得a＝e． 答案:e 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８８