假期必刷1 集合与常用逻辑用语-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

参考答案 假期必刷１ 思维整合室 １．(１)正整数集　整数集　有理数集　(２)x∈B　B⊆A　 任何非空　(３){x|x∈A,或x∈B}　{x|x∈A,且x∈B}　 {x|x∈U,且x􀱂A} ２．(１)充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要 既不充分也不必要　(２)∀x∈M,p(x)　∀x∈M,􀱑p(x) 技能提升台 １．A　[由题意可知集合B 中,只有－１,０满足集合A,所以 A∩B＝{－１,０}．故选择:A．] ２．D　[因为A＝{１,２,３,４,５,９},B＝{x|x∈A|}＝{１,４,９, １６,２５,８１},所以∁A(A∩B)＝{２,３,５}．] ３．B　[由x＝０不成立知p 假,x＝１时成立知q真,所以 选B．] ４．C　[根据立方的性质和指数函数的性质,a３＝b３⇒a＝b ⇒３a＝３b,３a＝３b⇒a＝b⇒a３＝b３,所 以 二 者 互 为 充 要 条件．] ５．B　[对于 A,当a＝４,b＝０．５时,满足ab＞１,但不满足a ＞１,b＞１,故“a＞１,b＞１”不是“ab＞１”的必要条件,故错 误;对于 B,根 据 指 数 函 数 的 性 质 可 得,对 于 ∀x＞０, e ２( ) x ＞１,即ex＞２x,故正确;对于 C,当x＝３时,２x＜ x２,故错误;对于 D,当a＝b＝０时,满足a＋b＝０,但ab ＝ －１不成立,故错误．] ６．C　[１,２∈N,１２∉N ,故N不是数域,A 选项错误,同理 B 选项错误;任意a,b∈Q,都有a＋b,a－b,ab,ab ∈Q (除数 b≠０),故Q是一个数域,C选项正确;对于集合A＝{x|x ≠０,x∈R},１∈A,１－１＝０∉A,故{x|x≠０,x∈R},不是 数域,D选项错误．] ７．A　[记条件p:“没有共产党”,结论q:“没有新中国”,由 歌词知,p可推出q,故“没有共产党”是“没有新中国”的 充分条件．] ８．AB　[因为命题p:∃x∈R,x２＋bx＋１≤０是假命题,所 以命题:∀x∈R,x２＋bx＋１＞０是真命题,也即对∀x∈ R,x２＋bx＋１＞０恒成立,则有Δ＝b２－４＜０,解得－２＜b ＜２,根据选项的值,可判断选项 AB符合题意．] ９．ABD　[A＝{x|x２－７x＋１２＝０}＝{３,４},∵A∩B＝B, ∴B⊆A,当B＝⌀,即a＝０时,满足B⊆A．当B≠⌀, 即a≠０时,B＝{x|ax－１＝０}＝ １a{ },由于B⊆A, 则１ a＝３ 或１ a＝４ ,即a＝１３ 或a＝１４． 综上a＝０,a＝１３ 或 a＝１４． ] １０．ACD　[对于 A,因为|x|＞１,所以x＞１或x＜－１,所 以当“x＞１”时,“|x|＞１”成立,反之不成立,故“x＞１”是 “|x|＞１”的充分不必要条件,正确;对于 B,“a∈P∩Q” 一定有“a∈P”成立,反之不成立,故“a∈P∩Q”是“a∈ P”的充分不必要条件,错误;对于 C,命题“∀x∈R,有 x２＋x＋１≥０”是全称量词命题,其否定是存在量词命题, 即“∃x∈R,使x２＋x＋１＜０”,正确;对于D,当a＋b＋c＝ ０时,１为方程ax２＋bx＋c＝０的一个根,故充分性成立; 当方程ax２＋bx＋c＝０有一个根为１时,代入得a＋b＋c ＝０,故必要性成立,正确．] １１．解析:命题为存在量词命题,则命题的否定为∀x∈(１,＋ ∞),x２＋x＞２． 答案:∀x∈(１,＋∞),x２＋x＞２ １２．解析:根据补集的定义可得∁UA＝{１,３,５} 答案:{１,３,５} １３．解析:由题意可得a＝０,b＝１,或a＝０,b＝２,或a＝１,b＝２, 当a＝０,b＝１时,２(a􀱇b)＋a􀱋b＝－１; 当a＝０,b＝２时,２(a􀱇b)＋a􀱋b＝－２; 当a＝１,b＝２时,２(a􀱇b)＋a􀱋b＝６． 所以A＝{－２,－１,６}． 答案:{－２,－１,６} 假期必刷２ 思维整合室 １．(３)＞　(４)ac＞bc　＜ ２．(１){x|x＜x１,或x＞x２} 技能提升台 １．B　[p－q＝b ２ a＋ a２ b－a－b ＝b ２－a２ a ＋ a２－b２ b ＝ (b２－a２)􀅰 １a－ １ b( ) ＝ (b２－a２)(b－a) ab ＝ (b－a)２(b＋a) ab , 因为a＜０,b＜０,所以a＋b＜０,ab＞０． 若a＝b,则p－q＝０,故p＝q; 若a≠b,则p－q＜０,故p＜q． 综上,p≤q．] ２．D　[c＜０时,不成立,A错误;a＝３,b＝２,c＝４,d＝０时, 不成立,B错误;a＝３,b＝２,c＝－１,d＝－２时,不成立,C 错误;两边平方可知,结论成立,D正确．] ３．A　[a＞１且b＞１⇒ab＞１;但ab＞１,则a＞１且b＞１不 一定成立,如a＝－２,b＝－２时,ab＝４＞１．] ４．A　[设３x－２y＝m(x＋y)－n(x－y)＝(m－n)x＋(m＋n)y, 所以 m－n＝３ m＋n＝－２{ ,解得 m＝１２ n＝－５２ ì î í ï ï ïï , 故３x－２y＝１２ (x＋y)＋５２ (x－y), 因为－１≤x＋y≤１,１≤x－y≤５, 所以３x－２y＝１２ (x＋y)＋５２ (x－y)∈[２,１３]．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２８ 　　　　　　　　　　　　　假期必刷１　集合与常用逻辑用语　　　　　　　　　　　　 １．集合的概念及运算 (１)常用数集及其关系图:N∗ 或N＋ 表示　　　　,N表 示非负整数集(或自然数集),Z表示　　 　　,Q表示　　　　,R表示实数集． (２)集合间的基本关系 ①子集:若对于任意的x∈A都有　　　　, 则A⊆B． ②真子集:若A⊆B,存在x∈B,且x􀱂A, 则A⫋B． ③相等:若A⊆B,且　　　　,则A＝B． ④⌀是任何集合的子集,是　　　　集合 的真子集． (３)集合的基本运算 A∪B＝　　　　　,A∩B＝　　　　　, ∁UA＝　　　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)若有限集 A 中有n 个元素,则 A 的子集 有２n 个,真子集有２n－１个． (２)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇ ∁UB． (３)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)＝ (∁UA)∩(∁UB)． ２．常用逻辑用语 (１)充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的　　　　条件,q是 p 的　　　　条件 p是q的　　　　　条件 p⇒q且q⇒/p p是q的　　　　　条件 p⇒/q且q⇒p p是q的　　　　条件 p⇔q p是q的　　　　　条件 p⇒/q且q⇒/p (２)全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对 M 中 的 任 意 一个x,有p(x) 成立 存 在 M 中 的 元素x,p(x) 成立 简记 　　　　　 ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,􀱑p(x) 　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)}: (１)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p 的 必要条件; (２)若 A⫋B,则p 是q 的充分不必要条件, q是p 的必要不充分条件; (３)若A＝B,则p是q的充要条件． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １ １．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－５ ＜x３＜５},B＝{－３,－１,０,２,３},则A∩B ＝ (　　) A．{－１,０}　　　　　B．{２,３} C．{－３,－１,０} D．{－１,０,２} ２．(２０２４􀅰全国甲卷(理))已知集合A＝{１,２, ３,４,５,９},B＝{x|x∈A},则∁A(A∩B)＝ (　　) A．{１,４,９} B．{３,４,９} C．{１,２,３} D．{２,３,５} ３．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R, |x＋１|＞１;命题q:∃x＞０,x３＝x,则 (　　) A．p和q都是真命题 B．􀱑p和q都是真命题 C．p和􀱑q都是真命题 D．􀱑p和􀱑q都是真命题 ４．(２０２４􀅰天津卷)设a,b∈R,则“a３＝b３”是 “３a＝３b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ５．(２０２５􀅰陕西咸阳模拟预测)下列命题中,真 命题是 (　　) A．“a＞１,b＞１”是“ab＞１”的必要条件 B．∀x＞０,ex＞２x C．∀x＞０,２x≥x２ D．a＋b＝０的充要条件是ab＝－１ ６．设A 是一个数集,且至少含有两个数,若对 任意a,b∈A,都有a＋b,a－b,ab,ab∈A (除 数b≠０),则称A 是一个数域,则下列集合 为数域的是 (　　) A．N B．Z C．Q D．{x|x≠０,x∈R} ７．１９４３年深秋的一个夜晚,年仅１９岁的曹火 星在晋察冀边区创作了歌曲«没有共产党就 没有中国»,毛主席得知后感觉歌名的逻辑 上有点问题,遂提出修改意见,将歌名改成 «没有共产党就没有新中国»,请问“没有共 产党”是“没有新中国”的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ８．(多选)命题p:∃x∈R,x２＋bx＋１≤０是假 命题,则实数b的值可能是 (　　) A．－７４　　B．－ ３ ２　　C．２　　D． ５ ２ ９．(多选)设集合A＝{x|x２－７x＋１２＝０},集 合B＝{x|ax－１＝０},若A∩B＝B,则实数 a的值可以为 (　　) A．１４　　B．０　　C．３　　D． １ ３ １０．(多选)下列结论正确的是 (　　) A．“x＞１”是“|x|＞１”的充分不必要条件 B．“a∈P∩Q”是“a∈P”的必要不充分 条件 C．“∀x∈R,有x２＋x＋１≥０”的否定是 “∃x∈R,使x２＋x＋１＜０” D．“x＝１是方程ax２＋bx＋c＝０的实数 根”的充要条件是“a＋b＋c＝０” １１．命题“∃x∈(１,＋∞),x２＋x≤２”的否定 为　　　　　　　　　　　　　． １２．(２０２４􀅰上海卷)设全集U＝{１,２,３,４,５}, 集合A＝{２,４},则∁UA＝　　　　． １３．定义两种新运算“􀱇”与“􀱋”,满足如下运 算法则:对任意的a,b∈R,有a􀱇b＝ab＋ a,a􀱋b＝ab－b．若A＝{x|x＝２(a􀱇b)＋ a􀱋b,－１＜a＜b＜３且a∈Z,b∈Z},则用 列举法表示的A＝　　　　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２