高三入学衔接检测卷-【快乐假期】2025年高二数学暑假大作业

(2)因为cosa-cos(a-)-,a为锐角, 考虑2-3--即一 所以sina-4.sin(a-)-3# ##处(x)与--的大小关系,# 当sin(a-)=时:cosg-cos[a-(a-)] 当---时:/(--sn(--1. =cos acos(a-③)+sin asin(a-$)= -)-<1 当sin(a-})--3时,cos 3-cos[a-(a-)] 当3-时·/()-n3-1>)--- -cos acos(a-③)+sin asin(a-)=0. 3π-4<1; 当-时 ()--1.-- 10.解:(1)/(s)-sin x+cosx-②sn(+) 7*-41; 所以y- [/(+)]-[2sin(+)] -2sin (+3)-1-co(2x+3) 所以由图可知,f(2)与y-x-的交点个数为3.] -1-sin2x. 2.解析:设A(,),B()#则++{ 以一- #--吾,所以-4,由曲线y-(x)过_(2). (2)y-/(x)(x-) 所以4×2+=2r,即-2-,所以(x)-sn(2)· -\sin(+)v2sin (w)-si(-2) -2sin()sin( -2sin (6n+o) 答案:一 ## _0 -v②sinx十v②sin xcos [第二部分] #0#1n 0 高三入学衔接检测卷 -sin(2)+#} 5 2024,所以该组数据的方差为S^{}=- 令2--xe[0],所re[-,]. 寸[(2022-2024)*+ 所以 sinre[1],故ye[0.1+]1, (2026-2024)+(2025-2024)+(2024-2024)+(2023 -2024)*]-2.] 2. D[当a-1,b=-2时,ab,a*<^*},当a=-2,-1 所以画数y-/(x)/(x-)在[o,吾]上的最大值为 时,*→b*,a<b,所以“a>b”是“a^{*}→6{”的既不充分 1## 也不必要条件.] 新题快递 -y-1,可知a-2,b-1. 1.C [因为y-cos(2x十-)向左平移吾个单位所得函数为 所以顶点坐标为(士2,0),渐近线方程为y-士王, y-cos[2(+)+]一 即x士2y-0. cos (2x+哥)--sin 2c,所以/(c)-sin 2x V1+25 #然过(o.一)与(1.0)两点, 4.C(u) 的展开式的通项为T,一C(ax) .(-) -(-1)C. -21x-1 令5-2r--1,可得,-3. 结合题意可知(-1)aC--40,即10a^{-40,$ .-士2.] ##朵期 5.C [<4<2x.a=sin40. 所以画数f(c)的单调增区问为+)#k. ,-ln4>lne-1.'b>1. $=+=-<1. 当-1时,单调递增区问为(,),所以D正确,故 2 选ACD.] .01. 综上可知,a<cb.故选C.] 10.ABD[对A,在△AMA.中,A. 6.D [设在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需时间为工s, AM=AC+CM-22. 则有x-- AM-AC+CM-22. 1.25×101: 两边取常用对数,得1gx-l1.25×103 2t 故AM+A.M-AA,所以 AMIA.M,故AP二AM当且 =lg2*-lg(1.25×10); 仅当P在M点时,即P与M点 故lg--512lg2-(lg 1.25+13)-512lg2-(3lg5+1$ 重合时取等号。 -512lg2-3(1-lg2)-11-515lg2-14~140.5; 连 接 AB,则 BM 所以-10 -10*×10~3.16×10*,故选D.] BC}+CM-22.A.B= 7.A[设OC-c.则C(c,0). /AB{}+AA-2v5,由余弦定 tan ACB-tan(OCA一OCB) (2v2)+(2v2):-(2v5)* 理,得 cos乙A.MB= -tanOCA-tanOCB <0,故 2X(2/2){ 1+tan/OCAtan/OCB 乙A.MB为钝角,故BPBM,当且仅当P在M点时,即P b --b-b _- 与M点重合时取等号,故AP十BP当且仅当P在M点 1.五 c_ #2<##_## 6 C C 时,即P与M点重合时取最小值为AM+BM-4、②,故A 正确; 当且仅当c-a,即c-vab时取等号, 对B,V.-Vw,点B到平面AMP的距离为3. .ACB为锐角,故当tan ACB最大时,ACB最大,故 由A.M+AM-AA.,得AMIA.M,得Sw= 选A.] 2+3.c0 AMXPM-、/2PM. 8.B[因为/()一 ,所以f(x)的定义域 1(.-2),0:a 为(-o,a,且a0. 当x0时,/(x)一2+3,则/(x)在(-,0]上单调递增, #PM二4,故B正确; 所以/(r)(3,4; 要使定义域和值城的交集为空集,显然0 a3 对C,BP与平面A.B.C 所成的角即为BP与平面ABC 当o ra时,f(x)-(x-2). 所成的角,设为a, 若a一2,则f(2)一0,此时显然不满足定义域和值域的交集 易知当点P与M重合时,a最小, 为空集, 此时a= MBC-45{*},当点P与A:重合时,a最大, 若0{a2时,f(x)在(0.a上单调递减,此时f(x)E[(a A2.此时。>60”, AA 此时。三/ABA,tang 2),4), 则 f(r)[(a-2)*,4)U(3,4]. 故存在点P,使得BP与平面A.B.C 所成的角为60{},故C 错误; 所以(“<(a-2){} 0<<2 ,解得0~a<1,即a(0,1).故选B.] 对D.因为MC 平面ABC,故三校锥M一ABC的外接球 9.ACD[由画数f(x)-sin2x吾).可得函数/(c)的最小 直径与△ABC的外接圆直径、高MC构成直角三角形,由 4.设三校锥M一ABC的外接球半径为R,直径为D.则其 (+)z.所以B错误;令2x--十x,kéz. 选ABD] +吾ez当=0时,x-所以C正确;令一+2^x 11. BCD[对于A.y--在(0,+oo)上单调递减,y=xf(x) 一1不单调,故A错误; ,z. 则函数/(x)单调递减, 52 14.解析:由正弦定理可得 sin Asin Csin(A+C)-2v3sinC· sin Asin #### .sinAsinCo,A+C=x-B. 上是“弱减函数”,故B正确; 对于C,若f(x)-ln在(m,十)上是“弱减函数”,则需 满足y-f(x)-ln在(m,+co)上单调递减,由/(t)- ##<号# # 1-ln<o(r>m),由1-lnr<o,得x[e,+co]. . B- '.me,还需满足y=xf(x)-lnx在(m,十oo)上单调递 增,显然成立,故C正确; .S-1acsin B-23. 对于D.若/(x)-cost十ha在(o.,)上是“弱减函数”, 'ac-8,而a十c-6, 则需满足y-f(r)-cosx+在(o.吾)上单调递减, '(a+c)-a+2ac+c-36, .+c-20. #(x)=-sinx+2kx<0在x (0.)时恒成立→2k 由余弦定理得6^-a}+c^-2accosB-20-8-12$$ 解得b-2③. 答案:23 令h(r)sinx,h'(r)zcos r-sin1 令(x)=xcos x- sinx. ##)}# '(r)=cos x-xsinx-cos x=-rsinx<0. .?(x)在(0)上单调逃减,故(c)<(0)-0. 二2一 又.7(1)-0. h(x)<..h(x)在(o.)上单调递减,h(x)>^() 故可得a-2-0. 解得a-2; .#→# (3x-1(r-1). 2{ 令y-g(x)=xf(tx)=xeos x+kx*在(o.)上单调 令/(c)-o,解得-.x1. 递增, 又:函数定义域为(0,十o); y=cosx-rsinx+3^{}→o在xe(0.)上恒成立, 故可得(x)在区间(0.)和(1,+0)上单调递减,在区 .3({n) 间(.1)上单调递增. 令F(x)-sin-cos:,f'(c)cos+20os o. 故/(x)的极大值为/(1)一0,f(x)的极小值为 x .F(2)在(o.)上单调增,故F(n)</f()-2. ()-2-21n3. 16.解:(1) 优秀 非优秀 合计 40 多 #。 15 35 女 12.解析:-i(1+v3i) 50 (1一3i)(1+3i) 4 合计 25 75 _-31 100 假设P。:此次竞赛成绩与性别无关. 答案: x100(103540×15)_4<2.706。 25X75×50×50 13.解析:由题意得,F(1,0),则|AF 一 BFl-2 (2) 所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关 即点A到准线x一-1的距离为2,所以点A的横坐标为 -1+2-1. #(x-)一()-) 不妨设点A在:轴上方,代入得,A(1,2). 所以[AB|-(3-1)+(0-2)-2② 答案:22 $($-10)-()()-1 (2)设/的方程为x=my十2,A x--2 的中点M(五) (x·y).B(x·y).则线段AB X的分布列为: x 0 5 10 (22) # 过M作抛物线的准线工=-2 P 的叠线,垂足为N,则|AB|=工。 期望值EF(X0-+5×6+10--2.5(分) +&+4.MN|-+-+2。 17.解:(1取EQ中点1,连接FI 即AB -2|MN|-2|MA. 则 PO FI.FLEQ -PA-3 |AB,则 PM -②|MA , 再取GQ中点R,连接HR,RJ,易 得HF/RJ,HF-RJ. 即PM-②|MN|. 于是,四边形R/FH为平行四边 . PNI-IMN. 形,得RH//1F, 联立方程 (=my+2 1-8.r 从而HR PO,HR EQ 。 “:PQOEQ-Q 消去x得y-8my-16-0. 那么HR 平面PGQ △-64m+64>0,y+y.-8m. 又HRC平面HGQ. 则M(4m{}+2,4m),N(-2.4m).AB的中垂线的方程为 故平面PGQ1平面HGQ mx+y-4m-6m-0. (2)以与EF垂直的直线为x '.P(-2,4m+8m),则|PN|-|4m+4ml. 轴,EF为y轴,EM为。轴建立 1MN-4m+4. 直角坐标系,则 即|4m+4ml-4n+4,解得m-士1, Q/3.1.0).G(0,0.4). 故1的方程为x+y-2-0或x-y-2-0. H(0.2,2).P(3.1.6). N(0,2.6). 19.解:(1)由性质M。定义知: 设平面GQH的法向量 l>6 m-(x.y.z).GQ-(3.1. aCN. -4).GH-(0,2,-2). 所以a的最小值为6. 由mGQmGH,得 (2)由题设a.-a. a.(i=1.2,3..n1-1),且a 15 (3x十y-4z-0 0,取y-:-1,得x-3. <.._a.. 12y-2~-0 所以-a_-11 所以平面GQH的法向量m-(③,1,1). 15* 同理可得:平面GPN的法向量-(1:1.-1). 1). 所以1-1+1-1++1-1-1-1-1. 1x1+1(-1 .。 得证。 则cos(m,n)一 #)#()# +1+(-1D (1-1 (3)由(2)知: “15n-1<1→<16. -0. 15 a.二1 35 同(2)证明得-1n且i-1.2,3,n-1.,故1 2015 所以平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值为 。) ## 1105470 35 35 所以1n1>i(n-i)<15在i-1.2.3...-1上短 (-r十2 18.解:(1)联立方程 15 5:2 成立, 消去x得y-2y+4-0. 当n8,取i-3,则3(n-3)15,故n~8. .抛物线C与直线y一r十2相切, 则△-(-2p)-4×4-0. 4 解得-4或一0(舍去) 即n7. 故抛物线C的方程为y一8r 综上,集合A中元素个数的最大值为7高三入学衔接检测卷 测试时间:１２０分钟　满分:１５０分 一、选择题(本题共８小题,每小题５分,共４０ 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) １．若一组数据２０２２,２０２６,２０２５,x,２０２３的平均数 为２０２４,则该组数据的方差为 (　　) A．１　　B．２　　C．０．４　　D．１０ ２．已知α,b∈R,则“a＞b”是“a２０２４＞b２０２４”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．双曲线C:x ２ ４－y ２＝１的顶点到其渐近线的 距离为 (　　) A．２５　　B． ４ ５　　C． ２ ５ ５ 　　D． ４ ５ ５ ４．已知(x＋１)ax－１x æ è ç ö ø ÷ ５ 的展开式中常数项为 －４０,则a的值为 (　　) A．２　　B．－２　　C．±２　　D．４ ５．已知a＝sin４,b＝ln４,c＝４－ １ ４ ,则a,b,c的 大小关系是 (　　) A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a ６．区块链作为一种新型的技术,已经被应用于 许多领域．在区块链技术中,某个密码的长 度设定为５１２B,则密码一共有２５１２种可能, 为了破解该密码,最坏的情况需要进行２５１２ 次运算．现在有一台计算机,每秒能进行 １．２５×１０１３次运算,那么在最坏的情况下, 这台计算机破译该密码所需时间大约为(参 考数据:lg２≈０．３,１０≈３．１６) (　　) A．６．３２×１０１４１s B．６．３２×１０１４０s C．３．１６×１０１４１s D．３．１６×１０１４０s ７．八一起义纪念碑(如图 甲所示)是江西省南昌 市的标志性建筑,它坐 落于南昌市中心的八 一广场．纪念碑的碑身 为长方体,正北面是叶剑英元帅题写的“八 一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．建 军节那天,李华同学去八一广场瞻仰纪念 碑,把地面抽象为平面,碑身抽象为线段 AB,李华同学抽象为点C,则李华同学站在 广场上瞻仰纪念碑的情景可简化为如图乙 所示的数学模型,设A,B 两点的坐标分别 为(０,a),(０,b),要使AB 看上去最长(可见 角∠ACB 最大),李华同学(点C)的坐标为 (　　) A．(ab,０) B．(２ ab,０) C．(ab,０) D．(２ab,０) ８．若函数f(x)＝ ２x＋３,x≤０ (x－２)２,０＜x≤a{ 的定义域 和值域的交集为空集,则正数a 的取值范 围是 (　　) A．(０,１] B．(０,１) C．(１,４) D．(２,４) 二、选择题(本题共３小题,每小题５分,共１５ 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求．全部选对的得５分,部分选对的得２分, 有选错的得０分) ９．关于函数f(x)＝sin２x－π６ æ è ç ö ø ÷,有如下命题, 其中正确的有 (　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于点 －π１２ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 C．f(x)的图象关于直线x＝π３ 对称 D．f(x)在 ５π６ ,４π ３ æ è ç ö ø ÷上单调递增 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５３ １０．如图,在直三棱柱 ABC－ A１B１C１ 中,△ABC 是边长 为２的正三角形,AA１＝４, M 为CC１ 的中点,P 为线 段A１M 上的动点,则下列 说法正确的是 (　　) A．AP＋BP 的最小值为４ ２ B．三 棱 锥 P－ABM 的 体 积 的 最 大 值 为４ ３ ３ C．不存在点 P,使得 BP 与平面A１B１C１ 所成的角为６０° D．三棱锥 M－ABC 的外接球的表面积 为２８π ３ １１．定义:在区间I上,若函数y＝f(x)是减函 数,且y＝xf(x)是增函数,则称y＝f(x) 在区间I上是“弱减函数”．根据定义可得 (　　) A．f(x)＝１x 在(０,＋∞)上 是“弱 减 函 数” B．f(x)＝xex 在(１,２)上是“弱减函数” C．若f(x)＝lnxx 在(m,＋∞)上是“弱减函 数”,则m≥e D．若f(x)＝cosx＋kx２ 在 ０,π２ æ è ç ö ø ÷上是“弱 减函数”,则２ ３π≤k≤ １ π 三、填空题(本大题共３小题,每小题５分,共 １５分) １２．已知复数z＝ i １－ ３i ,则z􀅰􀭵z＝　　　　． １３．设F为抛物线C:y２＝４x的焦点,点A 在 C 上,点B(３,０),若|AF|＝|BF|,则|AB| ＝　　　　． １４．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, asinCsin(A＋C)＝２３csinAsin２ B２ ,则角B 的大小为　　　　;若a＋c＝６,△ABC 的 面积为２ ３,则b的值为　　　　． 四、解答题(本题共５小题,共８０分．解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(１５分)设f(x)＝alnx＋１２x－ ３ ２x＋１ ,曲 线y＝f(x)在点(１,f(１))处取得极值． (１)求a; (２)求函数f(x)的单调区间和极值． １６．(１５分)致敬百年,读书筑梦,某学校组织 全校学生参加“学党史颂党恩,党史网络知 识竞赛”活动．并对某年级的１００位学生竞 赛成绩进行统计,得到如下人数分布表．规 定:成绩在[８０,１００]内,为成绩优秀． 成绩 [３０,４０)[４０,５０)[５０,６０)[６０,７０)[７０,８０)[８０,９０) [９０,１００] 人数 ５ １０ １５ ２５ ２０ ２０ ５ (１)根据以上数据完成２×２列联表,并判 断是否有９０％的把握认为此次竞赛成绩 与性别有关; 优秀 非优秀 合计 男 １０ 女 ３５ 合计 (２)某班级实行学分制,为鼓励学生多读 书,推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动 方案:规定成绩达到优秀的同学,可抽奖２ 次,每次中奖概率为p(每次抽奖互不影 响,且p的值等于成绩分布表中不低于８０ 分的人数频率),中奖１次学分加５分,中 奖２次学分加１０分．若学生甲成绩在[８０, １００]内,请列出其本次读书活动额外获得 学分数X 的分布列并求其数学期望． 参考公式:χ ２＝ n (ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) , n＝a＋b＋c＋d． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３ 附表: P(χ２≥k０)０􀆰１５００􀆰１０００􀆰０５００􀆰０１０ ０􀆰００５ k０ ２􀆰０７２２􀆰７０６３􀆰８４１６􀆰６３５ ７􀆰８７９ １７．(１５分)如图,ABCD 是边长为６的正方 形,已知AE＝EF＝２,且 ME∥NF∥AD 并与对角线DB 交于G,H,现以 ME,NF 为折痕将正方形折起,且BC,AD 重合,记 D,C重合后为P,记A,B 重合后为Q． (１)求证:平面PGQ⊥平面 HGQ; (２)求平面GPN 与平面GQH 所成二面角 的正弦值． １８．(１７分)已知抛物线C:y２＝２px(p＞０)与 直线y＝x＋２相切． (１)求C的方程; (２)过C的焦点F 的直线l与C 交于A,B 两点,AB 的中垂线与C 的准线交于点P, 若|PA|＝ ３２|AB| ,求l的方程． １９．(１８分)已知集合 A＝{a１,a２,a３􀆺􀆺an} ⊆N∗ ,其中n∈N 且n≥３,a１＜a２＜a３＜ 􀆺􀆺＜an,若对任意的x,y∈A(x≠y),都 有|x－y|≥xyk ,则称集合A 具有性质Mk． (１)集合A＝{１,２,a}具有性质 M３,求a的 最小值; (２)已知 A 具有性质 M１５,求证: １ a１ －１an ≥n－１１５ ; (３)已知A 具有性质M１５,求集合A 中元 素个数的最大值,并说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７３