专题24.2 比例线段（第1课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题24.2 比例线段（第1课时） 教学目标 1. 了解成比例、成比例线段，并学会判断； 2. 掌握比例线段的基本性质、合比性质、等比性质及其推广； 3. 学会比例线段性质的应用； 4. 比例线段的几何应用。 教学重难点 1.重点 （1）成比例、成比例线段； （2）比例线段性质及其应用； （3）比例中项； 2.难点 （1）比例线段性质的化简、变形； （2）比例线段性质的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 成比例、成比例线段 1.成比例、两条线段的比 ①成比例：一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作a:b(或),其中b≠0.a除以b所得的商叫做比值.如a:b的比值等于k,那么a=kb. 如果a:b=c:d（或),那么就说a、b、c、d成比例. ②两条线段的比：两条线段的长度的比叫做两条线段的比. ③求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正量，所以两条线段的比值总是正数. 2.成比例线段（比例线段） 在图24-6中，DE是△ABC的中位线.线段DE与BC的比可记作(或DE:BC),于是得到 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 例如图24-6中，根据DE是△ABC的中位线的条件，可得,则线段DE、BC、AD、AB是比例线段. 【即学即练】 1．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 知识点2 比例线段的性质 1.比例线段的基本性质：如果a、b、c、d是比例线段，即(或a:b=c:d)，那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项. 我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即 如果，那么ad=bc. 还可以得到，， 2.合比性质：如果 如果 3.等比性质：如果 4.等比性质的推广 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形.例如： 如果 那么 对于其他的同类量，也有与线段一样的比例性质.但在实数范围内，要注意式中的分母不能为零，如b+d≠0,b₁+b₂+b₃≠0等。 5.比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中项.线段的比例中项是b为正数的情况. 【即学即练】 1．如果，那么是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如果，那么 ． 4. 已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 5．已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 知识点3 比例线段的几何应用 例1. 已知，如图24-7中，.求证：（1）;(2) 例2.已知，如图24-8中，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△AOD=S△BOC求证： 想一想：如果将本题已知条件中的“S△AOD=S△BOC”换成“DC//AB”,其他条件不变，能证明原来的结论正确吗? 【即学即练】 1．如图，在平行四边形中，甲、乙、丙三个三角形的面积比是 ． 2．在如图的三角形中，．甲乙两个图形面积的比是（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 3．如图：在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为104．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） (1)填空：与的面积比=____________________； (2)求线段与线段的比值； (3)直接写出的面积． 4. 如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 题型01 成比例 【典例1】．下列四组数中，不能组成比例的是（   ） A．0.2，0.3，0.4，0.6 B．2，4，6，8 C．，，5，2 D．，，， 【变式1】．下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 题型02 成比例线段 【典例1】．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【变式1】．下列各组线段中，成比例线段的一组是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2】．已知则的第四比例项 ． 题型03 比例线段的基本性质 【典例1】．若线段，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型04 根据比例线段的性质求值 【典例1】．如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如果，那么 ． 【变式2】．已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．若（均为正数），则下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．若（，，均不为0），则的值为 题型05 比例线段性质的综合辨析 【典例1】．若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．已知线段，如果，那么下列式子中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．如果实数a，b，c，d满足，下列四个选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】．已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】．下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 题型06 比例中项 【典例1】．已知x是2和6的比例中项，则 ． 【变式1】．45与 的比例中项是8． 【变式2】．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（    ） A．2 B．6 C．8 D．2 【变式3】．已知线段，则线段的比例中项为（     ） A． B．          C． D． 【变式4】．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 题型07 比例尺及其应用 【典例7】．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】．在比例尺是 的地图上，京张（北京北站至张家口站）高速铁路主线长约为 ，则该铁路的实际长度约为 （    ） A． B． C． D． 【变式2】．在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 【变式3】．把一个长为2毫米的零件画在图纸上，在图纸上量得这个零件的长是2分米，则这幅图的比例尺是（　　） A．1:100 B．1:1 C．100:1 D．100 题型08 分类讨论成比例问题 【典例8】．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 【变式2】．已知三条线段的长度分别是3，6，5，试写出另一条线段的长度 ，使这四条线段成比例线段． 题型09 比例线段的几何应用 【典例9】．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为90，求的面积． 【变式1】．如图，三角形内的线段、相交于点．，，设、、和四边形的面积分别为、、、． （1）已知的值； （2）如果，求的值． 【变式2】．【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 题型10 解答题+比例线段的综合应用 【典例1】．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式1】．已知实数x，y，z满足，试求的值． 【变式2】．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式3】．题目：“已知数x，y，z，m满足，求m的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）． A．甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．甲、丙的答案合在一起才完整 【变式4】．已知a、b、c均为非零实数，且满足.求 的值． 【变式5】．我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 一、单选题 1．下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么下列等式中，不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．若线段a，b，c，d成比例，其中，则d值为（） A． B． C． D． 4．已知，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 6．如果 ，那么下列四个选项中一定正确的是（     ）． A． B． C． D． 7．两地的实际距离是1000 m．在地图上量得这两地的距离是1cm．则这幅地图的比例尺为（    ） A．1∶1000 B．1∶10000 C．1∶100000 D．1∶1000000 8．如果，那么下列四个选项中一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 9．如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（   ） A． B． C． D． 10．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则 ． 12．如果，那么 13．已知：，则 ． 14．已知，那么 ． 15．线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 16．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          三、解答题 17．（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 18．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 19．已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 20．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 21．与在网格中的位置如图所示，且每个小正方形的边长都是．    (1)求，，的值 (2)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 22．已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 23．已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题24.2 比例线段（第1课时） 教学目标 1. 了解成比例、成比例线段，并学会判断； 2. 掌握比例线段的基本性质、合比性质、等比性质及其推广； 3. 学会比例线段性质的应用； 4. 比例线段的几何应用。 教学重难点 1.重点 （1）成比例、成比例线段； （2）比例线段性质及其应用； （3）比例中项； 2.难点 （1）比例线段性质的化简、变形； （2）比例线段性质的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 成比例、成比例线段 1.成比例、两条线段的比 ①成比例：一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作a:b(或),其中b≠0.a除以b所得的商叫做比值.如a:b的比值等于k,那么a=kb. 如果a:b=c:d（或),那么就说a、b、c、d成比例. ②两条线段的比：两条线段的长度的比叫做两条线段的比. ③求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量.因为线段的长度是正量，所以两条线段的比值总是正数. 2.成比例线段（比例线段） 在图24-6中，DE是△ABC的中位线.线段DE与BC的比可记作(或DE:BC),于是得到 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 例如图24-6中，根据DE是△ABC的中位线的条件，可得,则线段DE、BC、AD、AB是比例线段. 【即学即练】 1．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，则或，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【解析】解：A．由于，则，，，不成比例，故A选项不符合题意； B．由于，则，，，成比例，故B选项符合题意； C．由于，则，，，不成比例，故C选项不符合题意； D．由于，则，，，不成比例，故D选项不符合题意． 故选：B． 2．已知线段、、、是成比例线段，如果，，，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段，掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段是解题关键．利用成比例线段的定义得到，再代入数据，即可求解． 【解析】解：根据题意得，即， 解得：． 故选B． 知识点2 比例线段的性质 1.比例线段的基本性质：如果a、b、c、d是比例线段，即(或a:b=c:d)，那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项. 我们知道，比例线段有以下基本性质：两个外项的积等于两个内项的积.即 如果，那么ad=bc. 还可以得到，， 2.合比性质：如果 如果 3.等比性质：如果 4.等比性质的推广 等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形.例如： 如果 那么 对于其他的同类量，也有与线段一样的比例性质.但在实数范围内，要注意式中的分母不能为零，如b+d≠0,b₁+b₂+b₃≠0等。 5.比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中项.线段的比例中项是b为正数的情况. 【即学即练】 1．如果，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．设，然后代入化简即可． 【解析】解：∵， ∴设， ∴． 故选D． 2．已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质“如果，那么”逐项判断即可． 【解析】解：A、，则，故该选项说法正确，符合题意； B、，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、，则，故该选项说法错误，不符合题意； D、，则，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 3．如果，那么 ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查了比例的性质，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是解题关键． 设，，代入化简即可求解． 【解析】解：∵， 设，， ∴． 故答案为：． 4. 已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，即可求解． 【解析】解：依题意，厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：． 5．已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可． 【解析】解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，整理得，，故本选项符合题意； C、由得，，整理得，，故本选项不符合题意； D、由得，，整理得，，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．对于实数a，b，c，d，且b、d、f均为正数，如果，则．由，b、d、f均为正数，可得：，，，，，再结合比例的性质逐项分析即可． 【解析】解：∵，b、d、f均为正数， ∴，，，，， A． ，故不符合题意； B． ∵， ∴， 当时 ∴，故符合题意； C． ∵， ∴，， ∴，故不符合题意； D． ∵，b、d、f均为正数，， ∴，故不符合题意； 故选B． 知识点3 比例线段的几何应用 例1. 已知，如图24-7中，.求证：（1）;(2) 证明：（1）∵ ∴ (合比的性质) 即 （2）∵ ∴ ∴(合比的性质) 即 例2.已知，如图24-8中，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，S△AOD=S△BOC求证： 分析:从图24-8中可以发现，△AOD与△AOB是分别以DO、OB为底边的同高的三角形；△BOC与△AOB是分别以CO、OA为底边的同高的三角形.由于同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，因此可以把三角形面积的比转化为对应底边的比. 证明：过点A作AH⊥BD,垂足为点H. ∵S△AOD=DO·AH,S△AOB=OB·AH, ∴ 同理可得 ∵S△AOD=S△BOC ∴ 想一想：如果将本题已知条件中的“S△AOD=S△BOC”换成“DC//AB”,其他条件不变，能证明原来的结论正确吗? 提示：能；因为平行线之间的距离处处相等，所以S△ADC=S△BDC（同底等高），故S△AOD=S△BOC。 【即学即练】 1．如图，在平行四边形中，甲、乙、丙三个三角形的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题的关键是三角形的高相等，面积的比就是底的比． 因甲、乙、丙三个三角形的高相等，它们面积的比就是它们底的比．据此解答． 【解析】解：甲三角形的底是（厘米）， 乙三角形的底是2厘米，丙三角形的底是3厘米， 甲、乙、丙三个三角形的高相等， 所以它们的面积比是：． 答：甲、乙、丙三个三角形面积的比是． 故答案为：． 2．在如图的三角形中，．甲乙两个图形面积的比是（   ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查三角形面积，连接，利用底边比及等高找到三角形之间的关系，即可求出结果． 【解析】解：如图，连接， ， 等底等高， ， ， 高相等，， ， ， ， 故选：B． 3．如图：在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为104．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） (1)填空：与的面积比=____________________； (2)求线段与线段的比值； (3)直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）因为与分别以为底，那么它们的高是相同的，根据，得出与的面积比，即可作答． （2）设、、和四边形的面积都为1份；可得的面积为1.5份，的面积为2.5份，再进一步解答即可； （3）如图，连接，由，可得（份），（份），同理：，，可得，再进一步可得答案． 本题考查的是比例线段，等底等高的两个三角形的面积之间的关系，解题的关键是正确添加辅助线． 【解析】（1）解：结合图形，当与分别以为底时，那么它们的高是相同的， ∵， ∴与的面积比； （2）解：依题意，设、、和四边形的面积都为1份 ， ， 与是以，为底边，而高相同， 的面积为1份， 的面积为1.5份， 的面积为2.5份， ， 与是以，为底边，而高相同， ． 故答案为：； （3）解：如图，连接， ， （份）， （份）， 同理：，， ， （份）， 的面积为104，且、、和四边形的面积都相等． ∴ ． 4. 如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】2016 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设，，，得出，，，根据，得出，将化简为即可得出答案． 【解析】解：设，，， 则， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2016． 题型01 成比例 【典例1】．下列四组数中，不能组成比例的是（   ） A．0.2，0.3，0.4，0.6 B．2，4，6，8 C．，，5，2 D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．根据比例性质，只需判断四个数中，最小的数与最大的数相乘的积是否等于另外两数相乘的积，若相等，就能组成比例，否则不能组成比例． 【解析】解：A．由于，即，能组成比例，故选项A不符合题意； B．在2，4，6，8中，不存在两个数的积等于另两个数的积，能组成比例，故选项B符合题意； C．由于，即，能组成比例，故选项C不符合题意； D．由于，能组成比例，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式1】．下列各数能组成比例的是（   ） A． B．0.2，0.8，12，30 C．1，3，4，6 D．1，2，3，4 【答案】A 【分析】本题主要考查比例的意义和性质的运用，掌握比例的基本性质“两外项的积等于两内项的积”成为解题的关键． 根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，据此逐项判断即可． 【解析】解：A、因为，所以0.4，0.6，1，1.5能组成比例，符合题意； B、因为，所以不能组成比例，不符合题意； C、因为，所以1，3，4，6不能组成比例，不合题意； D、因为，所以1，2，3，4不能组成比例，不合题意． 故选：A． 题型02 成比例线段 【典例1】．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】D 【分析】本题考查了线段成比例问题，根据比例线段的概念，最小线段长与最大线段长的积，另外两条线段长的积，两个结果是否相等即可即可求解． 【解析】解：A．∵，∴、、、不成比例； B．∵，∴、、、不成比例； C．∵，∴、、、不成比例； D．∵，∴、、、成比例； 故选D． 【变式1】．下列各组线段中，成比例线段的一组是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，根据最大线段最小线段其他两条线段的乘积，那么这些线段是成比例线段，据此进行逐项分析，即可作答． 【解析】解：A、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； B、，这些线段是成比例线段，故该选项正确； C、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； D、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； 故选：B． 【变式2】．已知则的第四比例项 ． 【答案】6 【分析】根据第四比例项的概念，得，再根据比例的基本性质进行求解． 【解析】解：∵是、、的第四比例项 ∴ ∴ ∵，， ∴ 故答案为：6． 【点睛】熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 题型03 比例线段的基本性质 【典例1】．若线段，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，理解并掌握比例的性质是解题的关键． 根据比例的性质，两内项积等于两外项积进行判定即可求解． 【解析】解：∵， ∴A、，正确，符合题意； B、，则，不符合题意； C、，则，不符合题意； D、，则，不符合题意； 故选：A ． 【变式1】．已知，下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么．根据比例的性质逐个判断即可． 【解析】解：∵， ∴两边都乘以，得，故选项A、B都不符合题意； ∵， ∴两边都乘以，得，故选项C符合题意； ∵， ∴两边都乘以，得，故选项D不符合题意． 故选：C． 题型04 根据比例线段的性质求值 【典例1】．如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中几个量用所设的未知数表示出来，进行约分． 根据比例的基本性质，设，，分别代入各选项进行计算即可得出答案． 【解析】解：设，（）， A. ，式子成立，故选项不符合题意； B. ，式子成立，故选项不符合题意； C. ，式子成立，故选项不符合题意； D. ，式子不成立，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．如果，那么 ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查了比例的性质，理解比例的意义，用含k的式子分别表示a、b是解题关键． 设，，代入化简即可求解． 【解析】解：∵， 设，， ∴． 故答案为：． 【变式2】．已知a、b是不等于0的实数，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质进行求解即可． 【解析】解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，整理得，，故本选项符合题意； C、由得，，整理得，，故本选项不符合题意； D、由得，，整理得，，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式3】．若（均为正数），则下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用比例的性质进行逐项分析判断，即可作答．本题考查了比例的性质：灵活运用比例的性质是解决此类问题的关键． 【解析】解： ， 设, ， A选项成立，故该选项不符合题意； ∴，B选项不一定成立，故该选项符合题意； ∴，则， C选项成立，故该选项不符合题意； ∴，D选项成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式4】．若（，，均不为0），则的值为 【答案】1 【分析】首先根据比例的等比性质与已知得出，，然后将化为：+-，再代入求值． 【解析】解：已知（，，均不为0），由比例的性质得： ； ； 则=+= 故答案为：1． 【点睛】此题考查的知识点是比例的性质，关键是准确掌握其性质进行运算． 题型05 比例线段性质的综合辨析 【典例1】．若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的基本性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．由比例和分式的基本性质，针对选项进行各种演变，逐一判定即可． 【解析】解：A、由已知得到，故选项符合题意； B、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； C、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； D、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】．已知线段，如果，那么下列式子中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断. 【解析】A.例如，则有=，但是，所以错误，符合题意； B.∵，∴正确，不符合题意； C.∵，∴，∴正确，不符合题意； D.∵，∴正确，不符合题意，故选A． 【变式2】．若，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可． 【解析】解：∵， ∴， A. ，则， 即，不一定成立，符合题意； B. ，则 即，故该选项成立，不符合题意； C. ，则， 即，故该选项成立，不符合题意； D. ，则 ∴ ∴ 即，故该选项成立，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键． 【变式3】．如果实数a，b，c，d满足，下列四个选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质选出正确选项． 【解析】A选项正确，∵，∴； B选项，当或时， 不成立； C选项，当时，不成立； D选项不成立，例如：当时，； 故选：A． 【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质． 【变式4】．已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 【变式5】．下列结论不一定成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，（），那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可． 【解析】解：A：设， 则，， ∴，， ∴，故A不符合题意； B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意； C：设，则，， ， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D：设，则，， ， ∴，，， ∴，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键． 题型06 比例中项 【典例1】．已知x是2和6的比例中项，则 ． 【答案】 【分析】根据比例中项的概念，得，则x可求出来． 【解析】是2和6的比例中项， ， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算． 【变式1】．45与 的比例中项是8． 【答案】 【分析】根据比例中项的定义列式求解即可． 【解析】解：设45与的比例中项是8， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了成比例线段，正确理解比例的基本性质是解本题的关键． 【变式2】．已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（    ） A．2 B．6 C．8 D．2 【答案】C 【分析】根据比例线段的定义列式求解即可，在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a∶b=c∶d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段；如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项． 【解析】解：由题意，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查比例线段，理解比例线段的定义，找准对应关系是解题关键． 【变式3】．已知线段，则线段的比例中项为（     ） A． B．          C． D． 【答案】D 【解析】试题解析：设a、b的比例中项为x，∵a=4，b=8， ∴x2=ab=32，∴x=±4，即a、b的比例中等于4． 故选D. 【变式4】．如果a=2，b=4，c=8，那么（    ） A．a、b、c的第四比例项是7 B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项 D．b是ac的比例中项 【答案】D 【分析】根据线段成比例进行判断即可． 【解析】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为 ， B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为， C选项c不是ab的比例中项，因为， D选项b是ac的比例中项，因为 故选：D 【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答． 题型07 比例尺及其应用 【典例1】如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，设在地图上图距是的两地，实际距离是，，利用比例尺的定义得到，然后根据比例的性质求出即可，对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．理解比例尺的定义是解决问题得关键． 【解析】 解：设在地图上图距是的两地，实际距离是， 根据题意得，解得， 故选：C． 【变式1】．在比例尺是 的地图上，京张（北京北站至张家口站）高速铁路主线长约为 ，则该铁路的实际长度约为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这段铁路的实际长度为 ，根据比例尺图上距离：实际距离列出方程求解即可． 【解析】设这段铁路的实际长度为 ， 由题意得， 解得 ， 经检验，是原方程的解， ， ∴该铁路的实际长度约为， 故选C． 【点睛】本题主要考查比例尺，理解比例尺的概念，掌握计算方法，是解题的关键． 【变式2】．在比例尺为的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是 千米． 【答案】50 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，列式计算即可． 本题考查了比例尺的应用，熟练掌握定义是解题的关键． 【解析】解：根据题意，得实际距离为：． 故答案为：50． 【变式3】．把一个长为2毫米的零件画在图纸上，在图纸上量得这个零件的长是2分米，则这幅图的比例尺是（　　） A．1:100 B．1:1 C．100:1 D．100 【答案】C 【分析】根据图上距离：实际距离=比例尺的关系得出结论即可． 此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意统一单位． 【解析】解：2分米毫米， 比例尺为， 故选：C． 题型08 分类讨论成比例问题 【典例1】．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据比例的概念，要组成一个比例式，最大的数与最小数的积等于另外两个数的积，据此解答即可． 【解析】解：添加6时，，故选项A不符合题意； 添加8时，，故选项B不符合题意； 添加10时，，故选项C不符合题意； 添加12时，，故选项D不符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【变式1】．若x与2、5、6这三个数可以组成比例式，则x可能是 ． 【答案】或15或 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，列式解答即可． 【解析】当x与6组成外项时，，； 当x与2组成外项时，，； 当x与5组成外项时，，. 故答案为：或15或 【点睛】此题考查了比例的基本性质，熟练掌握两外项之积等于两内项之积是解答此题的关键． 【变式2】．已知三条线段的长度分别是3，6，5，试写出另一条线段的长度 ，使这四条线段成比例线段． 【答案】10或或 【分析】本题考查了成比例线段的关系．设所加的线段是x，则得到：或或，即可求得． 【解析】解：设所加的线段是x，则得到： 或或， 解得：或或． 故答案为：10或或． 题型09 比例线段的几何应用 【典例1】．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为90，求的面积． 【答案】(1)2 (2)的面积为270． 【分析】（1）利用已知的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案； （2）根据的周长为90得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案． 【解析】（1）解：设，则，，， ∴； （2）解：∵的周长为90， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∵， ∴，即是直角三角形 ∴的面积为． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理等，正确表示出各数是解题关键． 【变式1】．如图，三角形内的线段、相交于点．，，设、、和四边形的面积分别为、、、． （1）已知的值； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）7. 【分析】(1)根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比即可求出答案; (2)连接OA,由(1)可知、设,则,观察图形中面积之间的关系，即可解答此题 【解析】（1）根据高相等的三角形的面积之比等于底边之比， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴，． 连接，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式2】．【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 【答案】（1）、、，，;（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据“共边三角形”的概念可求解，则有，，进而问题可求解； （2）由（1）及题意可进行求解； （3）由题意易得，，进而问题可进行求解． 【解析】（1）解：由题意得： 以BF为公共边的“共边三角形”为：、、， 由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； （2）证明：由“共边三角形”的性质： 即：， ∴， ∴； （3）解：由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题即可． 求给定几何图形面积,往往有三种考虑方式: (1)各部分面积和等于该图形面积; (2)该图形面积减去几部分面积等于剩余部分面积; (3)不规则图形通过辅助线分割成已学过的特殊几何图形来求面积. 题型10 解答题+比例线段的综合应用 【典例1】．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【解析】（1）解：设，则， 则． （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式1】．已知实数x，y，z满足，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，则，然后把所求式子中的x、y、z分别用含k的式子替换，最后约分即可得到答案． 【解析】解：设， ∴， ∴ ． 【变式2】．已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件将整理，再代入即可得出答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：由得， ∵， ∴． 【变式3】．题目：“已知数x，y，z，m满足，求m的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ）． A．甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才完整 C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．甲、丙的答案合在一起才完整 【答案】D 【分析】分和两种情况求解即可． 【解析】解：当时， ∵ ∴； 当时，， ∴， 综上，m的值为2或， 故选：D 【点睛】本题主要考查了合比定理，熟练掌握合比定理是解答本题的关键． 【变式4】．已知a、b、c均为非零实数，且满足.求 的值． 【答案】8或-1 【解析】试题分析：根据比例的等比性质解决分式问题．注意分两种情况：；进行讨论． 试题解析: (1)若a+b+c≠0，由等比定理有 若 所以 于是有 (2)若 于是有 【变式5】．我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2)如果，那么成立，详见解析 (3)或 【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可． （2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可． （3）分和两种情况求解． 【解析】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． 故答案为：． （2）解法1： 如果，那么成立．理由： ， ， ∴， ． 解法2： 如果，那么成立．理由： ， ， 即， ． （3）①当时， ，，， 为其中任何一个比值，即； ②时， ． 所以或． 【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键． 一、单选题 1．下列四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解析】解：A、， ∴四条线段不成比例； B、， ∴四条线段不成比例； C、， ∴四条线段成比例； D、， ∴四条线段不成比例． 故选：C． 2．已知，那么下列等式中，不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断C、D． 【解析】A、有无数个值，故A错误，符合题意； B、由比例的性质，得，故B正确，不符合题意； C、由合比性质，得，故C正确，不符合题意； D、由合比性质，得，故D正确，不符合题意； 故选：A． 3．若线段a，b，c，d成比例，其中，则d值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意分情况讨论． 根据四条线段成比例的概念，得比例式，再根据比例的基本性质，即可求得的值． 【解析】∵四条线段、、、成比例， 故选：D． 4．已知，下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．已知（a、b、c、d都不为0），则下列各式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，比例里，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答即可． 【解析】解：A、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； B、转化为等积式为，和已知一致，该选项正确； C、转化为等积式为，整理得：，和已知不一致，故该选项错误； D、转化为等积式为，和已知不一致，故该选项错误； 故选：B． 6．如果 ，那么下列四个选项中一定正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的性质作答即可． 【解析】∵， ∴，A项不正确； 只有当，时，B项才正确，故B项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴当时，正确，故C项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即有：，故D项一定正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了比例的性质及运算，掌握比例的性质是解答本题的关键． 7．两地的实际距离是1000 m．在地图上量得这两地的距离是1cm．则这幅地图的比例尺为（    ） A．1∶1000 B．1∶10000 C．1∶100000 D．1∶1000000 【答案】C 【分析】先把1000m化为100000cm，然后根据比例尺的定义求解． 【解析】解：1000m=100000cm， 所以这幅地图的比例尺为1：100000． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如  a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 8．如果，那么下列四个选项中一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例的性质得到，即可判断A、C；设，则，由此即可判断B、D． 【解析】解：∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选A． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键． 9．如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的性质变形，再进行判断． 【解析】解：、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项错误； 、∵，，∴；故本选项正确． 故选． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 10．若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【解析】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 二、填空题 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质直接求解即可． 【解析】解：∵， ∴； 故答案为：． 12．如果，那么 【答案】12 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由可得把两式相乘即可得到． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：12． 13．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算即可解答． 【解析】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 14．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用设参数法解决比例问题是解题的关键．设可得再代入求值即可得到答案． 【解析】解：设， ， 故答案为：． 15．线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【解析】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵线段厘米，厘米， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 16．如图，在中，的内、外角平分线分别交及其延长线于点，则          【答案】5 【分析】根据CD是∠ACB的平分线，由三角形的面积可得出，可得出①；由CE是∠ACB的外角平分线， 得出，进而得出②，两式相加即可得出结论． 【解析】解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴ ∴ ∴，即①； ∵CE是∠ACB的外角平分线， ∴ ∴，即②； ①+②，得． 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查了比例的应用，熟练掌握比的性质是解答此题的关键． 三、解答题 17．（1）若，则___________； （2）若，则___________； （3）若，则___________． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）对化简得，再把代入，即可； （2）根据，得，把的值代入，即可； （3）对化简，得，把的值代入，即可 【解析】（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】考查比例性质运用中的基本计算，关键是掌握比例的基本性质． 18．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 【答案】(1)6，4，12 (2)8 【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程， （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【解析】（1）解：， 设，，， 又， ， 即， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ， ， ； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 即， 19．已知：． (1)求代数式的值； (2)当时，求a、b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．令即可求解． （1）把代入即可求值； （2）把代入求出的值，即可得到答案． 【解析】（1）解：， 令， 原式； （2）解：， 令， 故， 解得， 20．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【解析】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 21．与在网格中的位置如图所示，且每个小正方形的边长都是．    (1)求，，的值 (2)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据网格和勾股定理求出、、、、、的长度即可解答； （2）根据两条线段的比与另两条线段的比相等找出成比例的线段． 【解析】（1）解：由图可知：，，，，，， ，，； （2），、、、是成比例的线段； ，、、、是成比例的线段； ，、、、是成比例的线段． 【点睛】本题考查的是成比例线段、勾股定理的应用，根据格点求出线段的长度是解题的关键． 22．已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 【答案】(1)； (2)直角三角形． 【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解； （）利用勾股定理逆定理即可判断求解； 本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键． 【解析】（1）解：设，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形． 23．已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【解析】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$