专题10.1 整式（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题10.1 整式 教学目标 1.了解单项式的概念，并学会判断单项式； 2. 知道单项式的系数与次数； 3. 学会辨析同类项，根据同类项的概念求参数； 4. 学习整式的概念、分类。 教学重难点 1.重点 （1）判断代数式是否属于单项式；判断代数式是否属于整式； （2）写出已知单项式的系数与次数； （3）辨析是否属于同类项；同类项概念的应用 2.难点 （1）概念应用的一些特殊情况，如含的代数式； （2）同类项概念的综合应用； （3）代数式的求值。 知识点1 单项式 1.我们看以下几个例子： (1)棱长为a的正方体的表面积为6a²,体积为a³; (2)铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍，则圆珠笔的单价是2.5x元； (3)全校学生总人数是m,其中女生占总人数的48%,则女生人数是48%m; (4)一辆汽车的速度是vkm/h,它th行驶的路程为vtkm. 上面的例子中得到了一组代数式：6a²、a³、2.5x、48%m、vt. 2.单项式 像6a²、a³、2.5x、48%m、vt、、、-1，它们都是数与字母的乘积，像这样的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 【即学即练】 1．代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式．根据单项式的概念找出单项式的个数． 【解析】解：代数式，，，，，中， 单项式有：，，，共个． 故选：A． 2．下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的判定，掌握单项式的概念是关键． 数字与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫单项式，由此即可求解． 【解析】解：不是单项式， 是单项式， 是单项式， 是单项式， 不是单项式， ∴单项式有3个， 故选：C ． 知识点2 单项式的系数与次数 1.单项式的系数 ①上面列出的代数式都是单项式.其中6a²的数字因数为6,称6a²的系数是6;a³的数字因数为1,称a³的系数是1. ②一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.例如，上面例子中的一组单项式的系数分别为6、1、2.5、48%、1. 要点： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 2.单项式的次数 ①一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.例如，6a²、a³、2.5x、48%m、vt的次数分别为2、3、1、1、2. ②特别地，非零的数是零次单项式，如5、都是零次单项式. 要点： 单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【即学即练】 1．单项式的系数和次数分别是（    ） A．和2 B．2和2 C．和3 D．2和3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．根据单项式的系数和次数的定义即可求解． 【解析】解：单项式的系数是，次数是3． 故选：C． 2．单项式的系数是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的系数的概念求解即可． 【解析】解：单项式的系数是， 故选：A． 3．判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1)是单项式，系数是，次数是4． (2)是单项式，系数是，次数是6． (3)是单项式，系数是，次数是4． (4)是单项式，系数是，次数是5． (5)是单项式，系数是，次数是1． (6)不是单项式． (7)不是单项式． 【分析】本题主要考查了单项式．熟知数或字母的积组成的式子叫做单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，这是解答本题的关键． （1）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （2）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （3）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （4）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可； （5）根据单项式的定义，单项式的系数以及单项式的次数的定义来解题，即可，其中π是表示圆周率，是数字不是字母； （6）是多项式，不是单项式； （7）不是单项式． 【解析】（1）是单项式，系数是，次数是4． （2）是单项式，系数是，次数是6． （3）是单项式，系数是，次数是4． （4）是单项式，系数是，次数是5． （5）是单项式，系数是，次数是1． （6）不是单项式． （7）不是单项式． 知识点3 同类项 1.同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项。 2.议一议： 小明：2a2b2与-3b2a2字母排列顺序不同，所以它们不是同类项. 小丽：2xy与2x这两项中都有字母x,所以它们是同类项. 你赞同小明、小丽的想法吗? 【即学即练】 1．下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【解析】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 2．下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐项判定即可． 【解析】解：A、与字母不同不是同类项，故此选项不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母不全相同，不是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．若与是同类项，则的值为 ． 【答案】256 【分析】本题考查了同类项，代数式求值．根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求出m和n的值，然后代数求解即可． 【解析】解：∵与3是同类项， ∴， ∴． 故答案为：256． 知识点4 整式 1.知识引入：观察下面一组代数式 4a2-3b、 -m+4、3t2 -t- 4、2ab+2ac+2bc. 它们都是由单项式求和而得到的代数式. 2.整式的概念：有限个单项式求和得到的代数式叫做整式． 例如，3t²-t-4是由3t²、-t和-4这三个单项式求和得到的整式. 注意：整式也叫多项式；单项式也是整式。 【即学即练】 1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的识别，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【解析】解：根据整式的定义可知，整式有①②③⑤，共4个， 故选：C． 2．下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式、单项式的概念．数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．有限个单项式求和得到的代数式叫做整式．根据整式、单项式的概念，紧扣概念作出判断． 【解析】解：单项式有：， 整式有：， 故答案为：；． 题型01 判断单项式 【典例1】．下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查单项式，根据单项式的定义：数字和字母的乘积的形式，单个数字和字母也是单项式，进行判断即可． 【解析】解：，，0，是单项式，共4个， 故选：B． 【变式1】．代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式．根据单项式的概念找出单项式的个数． 【解析】解：代数式，，，，，中， 单项式有：，，，共个． 故选：A． 【变式2】．下列代数式中，单项式的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧1． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查单项式的定义：单独的数字或字母，或数字与字母的乘积是单项式，熟记定义是解题的关键．根据定义逐个判断解答即可． 【解析】解：所给代数式中，是单项式的有：③；④；⑥；⑦；⑧1，共5个． 故选：C． 题型02 单项式的次数 【典例1】．下列各式中，是零次单项式的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的次数，熟练掌握单项式次数的定义是解题的关键； 单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和，据此逐项判断即可 【解析】A．a的指数是1，b的指数是1，次数为，不是零次单项式，故该选项不符合题意； B．0是单项式，但零次单项式指次数为0的单项式，即单独的一个数（0除外），故0不是零次单项式，故该选项不符合题意； C．a的指数是3，次数为3，不是零次单项式，故该选项不符合题意； D．它可以看作（x是任意字母），次数为0，是零次单项式，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．下列各代数式中是五次单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的次数及定义逐个判断即可得到答案． 【解析】解：是4次单项式，故A不符合题意； 是3次单项式，故B不符合题意； 是5次单项式，故C符合题意； 是多项式，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查单项式的定义及次数：数与字母的积叫单项式，所有字母指数和为单项式的次数． 【变式2】．已知是一个七次单项式，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式的次数．根据单项式的次数得到，即可求出答案． 【解析】解：∵是一个七次单项式， ∴， 解得 故答案为： 题型03 单项式的系数、次数 【典例1】．单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 5 【分析】本题考查单项式的知识，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解题的关键．根据定义解答即可． 【解析】解：单项式的系数是，次数是5， 故答案为：，5． 【变式1】．下列关于单项式 的说法中，正确的是（   ） A．系数是，次数是2 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3 【答案】D 【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式系数及次数的定义是解答此题的关键．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【解析】解：单项式的系数是，次数是3，故D正确． 故选：D． 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．是单项式 C．是一次单项式 D．的次数是1次 【答案】C 【分析】数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【解析】解：A．不是单项式，故该选项不符合题意； B．不是单项式，故该选项不符合题意； C．是一次单项式，故该选项符合题意； D．的次数是2次，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查单项式的有关概念，关键是掌握单项式的概念，单项式的次数的概念． 题型04 写出满足条件的单项式 【典例1】．写出一个系数为，且含字母x和y的3次单项式 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式系数、次数的定义即可求解，熟练掌握单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数并能灵活运用是解决此题的关键． 【解析】解：根据单项式定义得：以为系数，含有字母的三次单项式为或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．写出一个含有字母、的五次单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是单项式的概念，单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，次数与单项式的数字因数没有关系，写的只要符合要求即可． 【解析】解：答案不唯一，含字母的五次单项式是； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】．有一含有字母a,b的单项式，它的系数是-2，次数是3，这个单项式是 【答案】-2ab2（答案不唯一）． 【分析】根据单项式的定义写出符合条件的单项式即可； 【解析】符合条件的单项式可以为：-2ab2（答案不唯一）． 故答案为-2ab2（答案不唯一）． 【点睛】此题考查单项式，解题关键在于掌握其定义. 题型05 判断同类项 【典例1】．下列单项式中，与单项式是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型．所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，据此判断即可． 【解析】解：A，与，所含的字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意； B，与，所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，是同类项，故本选项符合题意； C，与，所含的字母相同，但是相同字母的指数不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意； D，与，所含的字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项不合题意； 故选：B． 【变式1】．下列各组单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与7 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，理解定义“所含字母相同，相同字母的指数相同的单项式叫做同类项．”是解题的关键． 【解析】解：A、所含字母不同，不符合同类项的定义，结论错误，不符合题意； B、所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不符合同类项的定义，结论错误，不符合题意； C、符合同类项的定义，结论正确，符合题意； D、所含字母不同，不符合同类项的定义，结论错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】．下列各对单项式中，不是同类项的是（　　） A．8与 B．xy与 C． 与 D． 与 【答案】C 【分析】根据同类项的定义判断 【解析】根据同类项的定义， C中m和b的指数都不相同，其他选项都是同类项， 故选C． 【点睛】本题考查同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同．理解定义是解题关键． 题型06 根据同类项求参数 【典例1】．已知单项式与是同类项，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据同类项的定义：如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，则这两个单项式是同类项，可得、的值，从而可得的值． 【解析】解：由题意得： 解得： 故答案为： 【点睛】此题考查同类项的定义，掌握同类项的定义并学会运用是解题关键． 【变式1】．若与是同类项，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了是同类项，根据同类项的定义求解即可，解题的关键是掌握同类项的定义． 【解析】解：∵与是同类项， ∴， 故选：C． 【变式2】．已知与是同类项，则 ． 【答案】3或 【分析】根据与是同类项列出方程组，求方程组的解即可得到、的值，继而即可求解． 【解析】解：∵与是同类项， ∴ 解得：或， ∴或者， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查同类项定义，一元一次方程，解题的关键是根据同类项定义列出一元一次方程并正确解方程． 题型07 整式 【典例1】．下列式子：，，，，，0，整式的个数是 个． 【答案】4/四 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是多项式和单项式的统称，据此求解即可． 【解析】解：在式子，，，，，0中，整式有，，，0，共4个， 故答案为：4． 【变式1】．在代数式：①，②，③，④，⑤中，是整式的是 ．（填相应序号） 【答案】① ② ④ ⑤ 【分析】根据整式的定义进行求解即可． 【解析】解：①是整式； ②是整式； ③不是整式； ④是整式； ⑤是整式； ∴整式一共有4个， 故答案为：① ② ④ ⑤ ． 【变式2】．在下列代数式：，，，，，，中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握整式的定义． 根据整式的定义：整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母，进行判断即可． 【解析】解：下列代数式：，，，，，，中， 属于整式的有：，，，，． ∴一共有5个整式． 故选：C． 【变式3】．在下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．的次数为4 C．的系数为 D．不是整式 【答案】B 【分析】本题考查了单项式和多项式的相关概念：单项式的数字因数是单项式的系数，字母的指数之和为单项式的次数，据此即可作答． 【解析】解：A、是多项式，故该选项是错误的； B、的次数为4，故该选项是正确的； C、的系数为，故该选项是错误的； D、是单项式，是整式，故该选项是错误的； 故选：B． 【变式4】．当a= 值时，整式x2＋a－1是单项式． 【答案】1 【分析】根据单项式是数与字母的乘积，单独一个数或者单独一个字母也是单项式，可得答案. 【解析】解：∵整式x2＋a－1是单项式． ∴a-1=0 ∴a=1 故答案为:1 【点睛】本题考查了单项式的定义，掌握单项式是数与字母的乘积，单独一个数或者单独一个字母也是单项式是解题的关键. 题型08 已知字母的值求代数式的值 【典例1】．若，则代数式的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了求代数式的值，直接把代入计算即可． 【解析】解∶∵， ∴， 故答案为∶7． 【变式1】．已知，求代数式的值为（   ） A． B．9 C．10 D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，把分别代入进行计算，即可作答． 【解析】解：∵， ∴， 故选：A 【变式2】．当，时，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，将，代入计算即可． 【解析】解：当，时，               题型09 已知代数式的值，求代数式的值 【典例1】．已知，那么的值是 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求值即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：1． 【变式1】．当时，整式的值为，则当时，整式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，先根据已知条件式得到，进而得到，再把代入整式进行求解即可．利用整体代入的思想求解是解题的关键． 【解析】解：∵当时，整式的值为， ∴， ∴， ∴当时， 即 故答案为： 【变式2】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值．由得到、，求得，将和先后代入即可得到答案． 【解析】解：由得、， ∴， ∴ ， 故答案为：． 利用整体代入的思想求解是解题的关键． 题型10 单项式规律题 【典例1】．按照一定规律排列的单项式，，，，…，试猜想第个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分母的规律，第个为，分子指数部分的规律，第个为，即可求解，本题考查了数字的变化规律，解题的关键是：将分子、分母分开，找到各自的规律． 【解析】解：，，，，…， 根据分母的变化规律，第个为， 根据分子指数的变化规律，第个为， 第个单项式为， 故选：． 【变式1】．按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式规律问题，分别从单项式的系数的绝对值，符号，单项式的字母部分分析总结规律，从而可得答案． 【解析】解：：，，，，，…． ∵各单项式的系数的符号为：−，+，−，+，…， ∴各单项式的系数的符号可利用来确定； ∵各单项式的系数为：2，3，4，5， ∴各单项式的系数可利用来确定； ∵各单项式含字母的部分为：，，，， ∴ 各单项式含字母的部分规律为：； ∴第个单项式为：． 故选：． 【变式2】．【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)， (2)第个单项式为：，它的系数为：，次数为： 【分析】本题是以单项式为背景的规律题目，确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． （1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【解析】（1）由题意可知： 单项式的系数依次为：1，，5，，9，，，， x的指数都是2，的指数依次为：1，2，3，4，5，6，，， 故第7个单项式是：， 第8个单项式是：． 故答案为：，； （2）由（1）可得出第个单项式为：，它的系数为：，次数为：． 题型11 图形规律题 【典例1】．如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小棒的根数依次增加5是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中小木棒的根数，发现规律即可解决问题． 【解析】解：由题知， 第1个图案中小木棒的根数为：， 第2个图案中小木棒的根数为：， 第3个图案中小木棒的根数为：， …， 所以第n个图案中小木棒的根数为根． 故答案为：． 【变式1】．如图所示，长方形的长是，宽是，将长方形的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的四边形面积记作，以此类推，则可用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，分别求得，找到规律，即可求解． 【解析】解：依题意，， ， …… ∴， 故选：C． 【变式2】．探索规律，并回答问题：观察下面各图形，我们会发现：图①空白部分小正方形的个数是；图②空白部分小正方形的个数是；图③空白部分小正方形的个数是；像这样继续排列下去，可以用含有字母的代数式表示为： ．（其中为正整数） 【答案】 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中空白小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【解析】解：由所给图形可知， 题①空白部分小正方形的个数为：； 题②空白部分小正方形的个数为：； 题③空白部分小正方形的个数为：； …， 所以图n空白部分小正方形的个数： 故答案为：． 一、单选题 1．下列代数式，，，，x，0，，其中单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据单项式的定义，解答即可． 本题考查了单项式的定义，正确理解定义是解题的关键． 【解析】解：不是单项式，不是单项式，不是单项式，不是单项式，x是单项式，0是单项式，是单项式，共有3个， 故选：C． 2．下列各组单项式是同类项的有(   ) A．3与-3 B．0.2与0.2 C．11abc与9bc D．4与4yz 【答案】A 【分析】根据同类项的概念逐项分析即可得解. 【解析】解：A. 3与-3    是同类项， B. 0.2与0.2不是同类项； C. 11abc与9bc不是同类项； D. 4与4yz不是同类项. 故选A 【点睛】本题考查了同类项：只有字母相同且相同字母的指数也分别相同的项才是同类项，几个常数项也是同类项.是基础题. 3．单项式中字母y的指数，单项式的次数分别是（    ） A．3，2 B．3，4 C．4，2 D．4，4 【答案】B 【分析】根据单项式的次数是所有字母指数和即可得到答案． 【解析】解：由题意可得， y的指数是3，单项式的次数是, 故选B． 【点睛】本题考查单项式次数：单项式中所有字母的指数和是单项式的次数． 4．对于单项式的系数、次数说法正确的是（    ）． A．系数为，次数为8 B．系数为，次数为4 C．系数为，次数为5 D．系数为，次数为7 【答案】C 【分析】根据单项式的次数和系数概念，即可得到答案． 【解析】解：的系数为，次数为5， 故选C． 【点睛】本题主要考查单项式的相关概念，掌握单项式的次数和系数定义是解题的关键． 5．若，则的值为（   ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值，这类题解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．根据已知方程可得，，代入原式计算即可． 【解析】解：∵， ∴，即，， ∴ ， 故选：B． 6．观察下列关于m，n的单项式的特点：，，，，，……，按此规律，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式规律问题，根据题意可知，的次数是，的次数是按自然数变化，系数为． 【解析】解：关于m，n的单项式的特点：，，，，，……， 按此规律，第个单项式是 故选：A． 二、填空题 7．下列式子：，，，，，整式的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的概念，分母不含未知数的式子即为整式，单项式和多项式统称整式，据此即可作答． 【解析】解：依题意，整式有，，， ∴整式的个数是3个， 故答案为：3 8．单项式的系数与次数的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的相关定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，得到系数与次数并相乘即可． 【解析】解：的系数为，次数为， 单项式的系数与次数的积是， 故答案为：． 9．请你写出一个单项式，使它的系数为负数，次数为3： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式，熟知单项式的系数、次数的定义是解题的关键． 根据“数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数”由此解答即可． 【解析】解：根据题意：， 故答案为：（答案不唯一）． 10．单项式的次数是4，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】根据单项式中所有字母指数和为4，列式计算即可． 本题考查了单项式的次数，熟练掌握定义是解题的关键． 【解析】根据题意，得， 解得． 故答案为：2． 11．如果单项式与是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出即可得到答案． 【解析】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．小马虎在抄写一个5次单项式时，误把字母、上的指数给漏掉了，原单项式可能是 （填一个即可）． 【答案】或或 【分析】根据单项式的次数是单项式中所有字母指数之和即得． 【解析】解：∵单项式的次数是5 ∴、上的指数之和为 ∴有三种情况：或或 故答案为：或或 【点睛】本题考查单项式的次数的定义，解题关键是理解单项式中所有字母指数之和是单项式的次数． 三、解答题 13．下列各题中的两项是不是同类项？为什么？ (1) 与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与. 【答案】(1) 与是同类项，理由见解析； (2) 与不是同类项，理由见解析； (3) 与是同类项，理由见解析； (4) 与是同类项，理由见解析； (5) 与是同类项，理由见解析； 【分析】根据同类项的定义逐个进行分析即可. 【解析】(1) 与是同类项， 因为所含字母相同，都有、，而且、的次数都是1，即相同字母的指数分别相同. (2) 与不是同类项， 因为虽然字母相同，但是相同字母的次数不相同. (3) 与是同类项， 因为只有系数不同，完全符合同类项的两个标准. (4) 与是同类项， 因为它们只有字母的排列顺序不同， 所含字母及相同字母的次数都分别相同. (5) 与是同类项， 因为两项都只含有字母，并且的次数都是1，与都是系数，10的次数不影响它们是同类项. 【点睛】本题考查了同类项的定义，熟知定义是解题关键. 14．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，a－3，，， 【答案】见解析 【分析】根据单项式的定义以及单项式次数与系数的定义分别分析得出即可． 【解析】，，，，，，是单项式，其中 的系数是，次数是3；的系数是－1，次数是1；的系数是，次数是4；的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；的系数为－3×108，次数是3；只含有字母因数，系数是1，次数为3． 【点睛】本题考查单项式的定义、单项式的系数和次数，熟练掌握相关的定义是解题关键． 15．分别写出下列单项式的系数和次数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)单项式的系数是－1，次数是3 (2)单项式的系数是，次数是6 (3)单项式的系数是，次数是3 【分析】本题考查了单项式的概念单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． （1）（2）（3）根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【解析】（1）单项式的系数是－1，次数是3； （2）单项式的系数是，次数是6； （3）单项式的系数是，次数是3． 16．已知与是同类项，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可求出，再代值计算即可． 【解析】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴． 17．（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 【答案】（1）；（2），， 【分析】本题考查了单项式，单项式的次数是字母指数的和． （1）根据单项式的次数，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）根据单项式的定义列方程求解即可． 【解析】解：（1）关于，的单项式与的次数相同，单项式的次数是4， ， 解得； （2）是关于的四次单项式， ，，， 解得，． 单项式是． 18．赵叔叔准备买一套新房子，这套住房的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示： 用含的式子表示这套住房的总面积． 【答案】平方米 【分析】本题考查列代数式的应用，根据图形列代数式即可． 【解析】解：住房的总面积为：（平方米）， ∴住房的总面积为：平方米． 19．观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查单项式规律的探索，对每个单项式的系数和字母部分分别找到规律是解题的关键． （1）根据第①行的数字的规律，从第一个单项式开始，后面的单项式系数每次乘以，指数每次加1，可得第8个单项式； （2）比较第①行和第②行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数加上1，字母部分和第①行相同，即可得到第9个单项式； （3）比较第①行和第③行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数的2倍，字母部分的指数是第①行对应的单项式的字母指数加上1，即可得到第n个单项式； （4）取每行的第8个单项式，则可得，把代入计算即可． 【解析】（1）解：∵，，，，，，…； ∴第8个单项式为； 故答案为：； （2）解：∵第①行的第9个单项式为， ∴比较第①行和第②行可得，第②行的第9个单项式为； 故答案为：； （3）解：∵第①行的第n个单项式为， ∴比较第①行和第③行可得，第③行的第n个单项式为； 故答案为：； （4）解：每行的第8个分别为，，， ∴， 当时，． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.1 整式 教学目标 1.了解单项式的概念，并学会判断单项式； 2. 知道单项式的系数与次数； 3. 学会辨析同类项，根据同类项的概念求参数； 4. 学习整式的概念、分类。 教学重难点 1.重点 （1）判断代数式是否属于单项式；判断代数式是否属于整式； （2）写出已知单项式的系数与次数； （3）辨析是否属于同类项；同类项概念的应用 2.难点 （1）概念应用的一些特殊情况，如含的代数式； （2）同类项概念的综合应用； （3）代数式的求值。 知识点1 单项式 1.我们看以下几个例子： (1)棱长为a的正方体的表面积为6a²,体积为a³; (2)铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍，则圆珠笔的单价是2.5x元； (3)全校学生总人数是m,其中女生占总人数的48%,则女生人数是48%m; (4)一辆汽车的速度是vkm/h,它th行驶的路程为vtkm. 上面的例子中得到了一组代数式：6a²、a³、2.5x、48%m、vt. 2.单项式 像6a²、a³、2.5x、48%m、vt、、、-1，它们都是数与字母的乘积，像这样的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点： （1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成。但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 【即学即练】 1．代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列代数式，，，，中，单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2 单项式的系数与次数 1.单项式的系数 ①上面列出的代数式都是单项式.其中6a²的数字因数为6,称6a²的系数是6;a³的数字因数为1,称a³的系数是1. ②一个含字母的单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.例如，上面例子中的一组单项式的系数分别为6、1、2.5、48%、1. 要点： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 2.单项式的次数 ①一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.例如，6a²、a³、2.5x、48%m、vt的次数分别为2、3、1、1、2. ②特别地，非零的数是零次单项式，如5、都是零次单项式. 要点： 单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 【即学即练】 1．单项式的系数和次数分别是（     ） A．和2 B．2和2 C．和3 D．2和3 2．单项式的系数是（     ） A． B．4 C． D． 3．判断下列各式是不是单项式，是单项式的写出其系数和次数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 知识点3 同类项 1.同类项：所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项.几个常数项也是同类项。 2.议一议： 小明：2a2b2与-3b2a2字母排列顺序不同，所以它们不是同类项. 小丽：2xy与2x这两项中都有字母x,所以它们是同类项. 你赞同小明、小丽的想法吗? 【即学即练】 1．下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 2．下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 3．若与是同类项，则的值为 ． 知识点4 整式 1.知识引入：观察下面一组代数式 4a2-3b、 -m+4、3t2 -t- 4、2ab+2ac+2bc. 它们都是由单项式求和而得到的代数式. 2.整式的概念：有限个单项式求和得到的代数式叫做整式． 例如，3t²-t-4是由3t²、-t和-4这三个单项式求和得到的整式. 注意：整式也叫多项式；单项式也是整式。 【即学即练】 1．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．其中整式的个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列式子：，其中单项式有 ；整式有 ． 题型01 判断单项式 【典例1】．下列代数式，，，，0，中，单项式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】．代数式，，，，，中，单项式的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】．下列代数式中，单项式的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧1． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型02 单项式的次数 【典例1】．下列各式中，是零次单项式的是（    ） A． B．0 C． D． 【变式1】．下列各代数式中是五次单项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知是一个七次单项式，则 ． 题型03 单项式的系数、次数 【典例1】．单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式1】．下列关于单项式 的说法中，正确的是（   ） A．系数是，次数是2 B．系数是，次数是3 C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．是单项式 C．是一次单项式 D．的次数是1次 题型04 写出满足条件的单项式 【典例1】．写出一个系数为，且含字母x和y的3次单项式 ． 【变式1】．写出一个含有字母、的五次单项式： ． 【变式2】．有一含有字母a,b的单项式，它的系数是-2，次数是3，这个单项式是 题型05 判断同类项 【典例5】．下列单项式中，与单项式是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各组单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与7 【变式2】．下列各对单项式中，不是同类项的是（　　） A．8与 B．xy与 C． 与 D． 与 题型06 根据同类项求参数 【典例1】．已知单项式与是同类项，那么 ． 【变式1】．若与是同类项，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 【变式2】．已知与是同类项，则 ． 题型07 整式 【典例1】．下列式子：，，，，，0，整式的个数是 个． 【变式1】．在代数式：①，②，③，④，⑤中，是整式的是 ．（填相应序号） 【变式2】．在下列代数式：，，，，，，中，整式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】．在下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．的次数为4 C．的系数为 D．不是整式 【变式4】．当a= 值时，整式x2＋a－1是单项式． 题型08 已知字母的值求代数式的值 【典例1】．若，则代数式的值是 ． 【变式1】．已知，求代数式的值为（   ） A． B．9 C．10 D． 【变式2】．当，时，求代数式的值． 题型09 已知代数式的值，求代数式的值 【典例1】．已知，那么的值是 【变式1】．当时，整式的值为，则当时，整式的值是 ． 【变式2】．若，则 ． 题型10 单项式规律题 【典例1】．按照一定规律排列的单项式，，，，…，试猜想第个单项式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．按一定规律排列的单项式：，，，，，…．则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．【观察与发现】 ，，，，，，， (1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ； (2)第大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 题型11 图形规律题 【典例1】．如图，用长度相等的小木棒按一定规律摆放成图案，图案①中有6根小木棒，图案③中有16根小木棒，⋯，那么第n个图案中小木棒的根数为 ．（用含字母n的式子表示） 【变式1】．如图所示，长方形的长是，宽是，将长方形的面积记作，取各边中点，顺次连接得到的四边形面积记作，以此类推，则可用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．探索规律，并回答问题：观察下面各图形，我们会发现：图①空白部分小正方形的个数是；图②空白部分小正方形的个数是；图③空白部分小正方形的个数是；像这样继续排列下去，可以用含有字母的代数式表示为： ．（其中为正整数） 一、单选题 1．下列代数式，，，，x，0，，其中单项式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各组单项式是同类项的有(   ) A．3与-3 B．0.2与0.2 C．11abc与9bc D．4与4yz 3．单项式中字母y的指数，单项式的次数分别是（    ） A．3，2 B．3，4 C．4，2 D．4，4 4．对于单项式的系数、次数说法正确的是（    ）． A．系数为，次数为8 B．系数为，次数为4 C．系数为，次数为5 D．系数为，次数为7 5．若，则的值为（   ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 6．观察下列关于m，n的单项式的特点：，，，，，……，按此规律，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．下列式子：，，，，，整式的个数是 个． 8．单项式的系数与次数的积是 ． 9．请你写出一个单项式，使它的系数为负数，次数为3： ． 10．单项式的次数是4，则a的值为 ． 11．如果单项式与是同类项，那么 ． 12．小马虎在抄写一个5次单项式时，误把字母、上的指数给漏掉了，原单项式可能是 （填一个即可）． 三、解答题 13．下列各题中的两项是不是同类项？为什么？ (1) 与； (2)与； (3)与； (4)与； (5)与. 14．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数． ，，，，，a－3，，， 15．分别写出下列单项式的系数和次数． (1)； (2)； (3)． 16．已知与是同类项，求的值． 17．（1）已知关于，的单项式与的次数相同，求的值； （2）若是关于的四次单项式，求，的值，并写出这个单项式． 18．赵叔叔准备买一套新房子，这套住房的建筑平面图（由四个长方形组成）如图所示： 用含的式子表示这套住房的总面积． 19．观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$