专题10.2 合并同类项 整式（续）（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题10.2 合并同类项 整式（续） 教学目标 1. 由一次式的合并同类项扩展到整式的合并同类项； 2. 掌握整式的项、项数与次数； 3. 学会将整式按某个字母进行降幂排列或升幂排列； 4. 根据整式的项、项数与次数求参数。 教学重难点 1.重点 （1）对已知整式进行合并同类项，并学会初步的去括号，方便学习下节整式的加减； （2）对已知整式的项、项数与次数进行辨析、理解、运用等； （3）将整式按某个字母进行降幂排列或升幂排列。 2.难点 （1）整式的有关概念理解，其中包含整体与局部思想； （2）整式的有关概念的应用，如求参数等； （3）分类讨论思想。 知识点1 合并同类项 1.复习引入： 在之前的学习中，我们已经掌握了合并一次式的同类项.如图，有两个边长分别为a和3a的正方形，它们的周长之和为4a+12a,利用乘法对加法的分配律，可以写成4a+12a=(4+12)a=16a.同样地，这两个正方形的面积之和为a²+9a²,利用乘法对加法的分配律，可以写成a²+9a²=(1+9)a²=10a². 2.合并同类项 像这样，把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项. 3.合并同类项的法则： 在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数不变. 【即学即练】 1．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并法则是关键； （1）按照同类项合并法则进行即可； （2）按照同类项合并法则进行即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算以及合并同类项的法则，掌握“括号前是负号，去括号后，括号内各项变号以及合并同类项的法则”是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项的法则，即可求解； （2）根据去括号，合并同类项的法则，即可求解． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 知识点2 整式（续）— 整式的项、项数与次数 1.整式的项、项数与次数 ①整式的项：合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项. ②整式的次数：各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数. ③整式的项数：合并同类项后，整式有几项，就称为几项式. 要点： 每一项的次数是几，就称为几次项。 这句话的理解：例如3t2-t-4，对于这个整式，3t2是这个整式的一个单项式，它的次数是2，所以它是（这个整式的）二次项；同理-t是（这个整式的）一次项；-4是（这个整式的）常数项。 【即学即练】 1．整式的项数是 ，次数是 ，常数项是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式次数、项数及常数项的定义，解题的关键是熟知整式的特点． 根据整式次数、项数及常数项的定义即可求解． 【详解】解：整式的项数是3；次数是4；常数项是； 故答案为：3；4；． 2．整式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查整式的次数，根据整式中最高项的次数为整式的次数，进行作答即可． 【详解】解：整式的次数为的次数，是3； 故答案为：3． 3．下列语句正确的是（  ） A．是二次三项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是五次三项式 【答案】A 【分析】本题考查了整式的项、项数或次数，整式中每个单项式叫做整式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个整式的次数，根据定义判定即可． 【详解】解：A、是二次三项式，故该选项符合题意； B、不是整式，故该选项不符合题意； C、是二次三项式，不是四次三项式，故该选项不符合题意； D、是三次三项式，故该选项不符合题意； 故选：A 4．整式的最高次项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式，单项式的系数的定义．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做整式． 先找出整式的最高次项，再找出最高次项的系数即可． 【详解】解：的最高次项为，其系数为． 故答案为：． 5．整式是四次三项式，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查整式的次数、项数、项等知识点，熟练掌握整式的次数、项数及项是解题的关键． 直接根据整式的次数、项数即可解答． 【详解】解：∵整式是四次三项式， ∴该整式的最高次数为4，即． 故答案为：4． 6．若整式是关于、的九次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的概念，整式中次数最高项的次数就是整式的次数，解题的关键是掌握整式的有关概念．根据九次二项式的定义可得，且，计算即可． 【详解】解：由题可知：， 解得∶ ， 故答案为：． 知识点3 整式中的各项按某一个字母指数大小顺序排列 1.为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 2. 按某个字母的降幂排列：例如，将x²+5x+4x⁴-3x³+2按x的指数从大到小的顺序排列，写成4x⁴-3x³+x²+5x+2,称为按x降幂排列； 3. 按某个字母的升幂排列：或者按x的指数从小到大的顺序排列，写成2+5x+x²-3x³+4x⁴,称为按x升幂排列. 要点： ①重新排列的依据是加法的交换律； ②重新排列整式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动； ③含有两个或两个以上字母的整式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 【即学即练】 1．将整式按x降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式，掌握整式的有关定义是解题关键．先分清各项，再根据整式幂的排列的定义解答． 【详解】解：按x降幂排列：． 故答案为：． 2．把整式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式，先分清各项，再根据整式降幂排列的定义解答． 【详解】解：整式按的降幂排列为：． 故答案为：． 3．把整式按的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的排序：把一个整式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列整式各项时，要保持其原有的符号，先分清整式的各项，然后按整式降幂排列的定义排列． 【详解】解：把整式按a的降幂排列为． 故答案为：． 题型01 整式有关概念填空 【典例1】．填写下表： 整式 写出每一项 每一项系数 每一项次数 几次几项式 ______次______项式 ______次______项式 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了整式的概念，几个单项式的和叫做整式．整式中的每个单项式都叫做整式的项，其中不含字母的项叫做常数项，各单项式的字母因数是每一项的系数，整式的每一项都包括前面的符号，整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数．根据定义作答即可. 【详解】解：填表如下： 整式 写出每一项 ，， ，，， 每一项系数 ，， ，，， 每一项次数 ，，， ，，， 几次几项式 二次三项式 六次四项式 【变式1】．填表： 整式 次数最高的项 整式的次数 项数 常数项 【答案】；3；3；；；5；4； 【分析】此题主要考查了整式的项与次数，正确掌握整式的项、次数是解题关键． 直接利用整式的次数与项数确定方法分析得出答案． 【详解】解： 整式 次数最高的项 整式的次数 项数 常数项 3 3 5 4 故答案为：；3；3；；；5；4； 题型02 整式的项、项数、次数 【典例1】．整式的项数是 ，次数是 ，常数项是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查整式次数、项数及常数项的定义，解题的关键是熟知整式的特点． 根据整式次数、项数及常数项的定义即可求解． 【详解】解：整式的项数是3；次数是4；常数项是； 故答案为：3；4；． 【变式1】．整式的次数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的次数的定义，整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数．根据整式的次数的定义求解即可． 【详解】解：整式的次数为， 故答案为：3． 【变式2】．整式是 次 项式． 【答案】 六 四 【分析】本题考查了整式的相关概念，整式中的每个单项式叫做整式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个整式的次数．根据整式的次数、项数的概念即可作答． 【详解】解：整式的最高次数为6，项数为4，所以该整式是六次四项式． 故答案为：六，四． 【变式3】．下列代数式是二次三项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式，熟练掌握整式的概念是解题的关键． 根据“整式中次数最高项的次数是这个整式的次数，每个单项式叫做整式的项”逐个判断即可． 【详解】解：A． 为一次二项式，故不符合题意； B． 为一次三项式，故不符合题意； C． 为二次三项式，故符合题意； D． 为三次二项式，故不符合题意； 故选：C． 【变式4】．是 次 项式，三次项是 ． 【答案】 三 三 【分析】本题主要考查整式，整个整式由3个不同的单项式组成，是三项式，次数最高项是，所以整个整式是三次整式． 【详解】解：整式是三次三项式，三次项是． 故答案为：三，三，． 【变式5】．整式的最高次项为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的整式的有关定义，解题的关键是掌握整式的每一项都有次数，次数最高的项的次数，叫做这个整式的次数；整式的项数就是整式中包含的单项式的个数．据此求解即可． 【详解】解：整式的最高次项为， 故答案为：． 【变式6】．在一次式中，常数项是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了整式的概念，根据整式的定义，可得常数项为不含字母的项，即可求解． 【详解】解：在一次式中，常数项是 故答案为：． 题型03 整式的项的系数 【典例1】．已知整式，该整式的次数是 ，三次项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的相关概念，根据几个单项式的和（或者差），叫做整式；整式中的每个单项式叫做整式的项；这些单项式中的最高项次数，就是这个整式的次数；其中整式中不含字母的项叫做常数项，熟练掌握整式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：整式中次数是（次），三次项为，其系数是， 故答案为：，． 【变式1】．整式每项的系数和是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式，根据整式的项、单项式的系数的定义求出整式每项的系数，再相加即可求解． 【详解】解：整式每项的系数分别是1，，， ． 故答案为：2． 【变式2】．整式是 次四项式，最高次项是 ，最高次项的系数是 ． 【答案】 五 【分析】本题主要考查了整式的项，次数及其对应项的系数的定义，几个单项式的和的形式叫做整式，每个单项式叫做整式的项，不含字母的项叫做常数项，整式里，次数最高项的次数叫做整式的次数，据此可得答案． 【详解】解：整式是五次四项式，最高次项是，最高次项的系数是， 故答案为：五；；． 题型04 写出满足条件的整式 【典例1】．写出一个只含有字母a的二次三项式 ． 【答案】答案不唯一，如 【分析】本题考查了整式的含义，熟练掌握整式的整式的次数与项数含义是解题的关键； 几个单项式的和称为整式，其中每个单项式称为整式的项，有几项称为几项式，其中次数最高的那项的次数叫做整式的次数，据此求解即可． 【详解】解：只含有字母的二次三项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．请写出一个只含a，b两个字母，且常数项为的三次二项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查的是整式的项数和次数．根据整式的次数和项数的概念解答即可．二次三项式是指最高次为2次，并含有三项，而常数项为，即可作答． 【详解】解：∵只含a，b两个字母，且常数项为的三次二项式， ∴该三次二项式为， 故答案为：（答案不唯一） 【变式2】．写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的概念，整式的次数、项数的概念，按某字母降幂排列，熟记整式的次数，项数概念是解题的关键． 根据整式次数，项数的定义，降幂排列求解即可． 【详解】解：∵二次三项式满足：只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列， ∴这个整式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】．已知一个关于的二次三项式，它的二次项系数为2，一次项系数为，常数项为，则这个二次三项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的各项、系数和次数，熟练掌握知识点是解题的关键．直接根据题目要求求解即可． 【详解】解：根据题意，这个二次三项式为， 故答案为：． 题型05 整式按某个字母升幂或降幂排列 【典例1】．把整式按x的降幂排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的重新排列，我们把一个整式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的指数从大到小排列即可． 【详解】解：把整式按x的降幂排列是， 故答案为：． 【变式1】．把按照字母b降幂排列 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的降幂排列，熟记整式的降幂排列的含义是解本题的关键．先把整式按照字母b的指数由高到低排列，从而可得答案． 【详解】解：整式按字母降幂排列后为：， 故答案为：． 【变式2】．将整式按字母升幂排列，结果是 ． 【答案】 【分析】把原整式按照字母的指数从低到高重新排列即可. 【详解】解：将整式按字母升幂排列是 . 故答案为：. 【变式3】．将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式，先把整式的各项按y降幂排列后，找出第二项，从而找出其系数即可． 【详解】解：整式按y降幂排列为：， ∵第二项是， ∴第二项的系数是， 故答案为：． 题型06 整式综合辨析 【典例1】．关于整式，下列说法正确的是 （    ） A．次数是3 B．次数是5 C．常数项是1 D．二次项是 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的次数与项，熟练掌握整式的次数与项是解题的关键．根据整式的次数、项可进行求解． 【详解】解：整式的次数是3，常数项是，二次项是； 故选：A． 【变式1】．关于整式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含二次项 D．各项分别是，，9 【答案】D 【分析】本题考查了整式的相关概念，根据整式的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握整式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、整式有三项，次数是4，故原说法正确，不符合题意； B、整式的常数项为9，故原说法正确，不符合题意； C、整式中不含二次项，故原说法正确，不符合题意； D、整式各项分别是，，9，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 题型07 根据整式的有关概念求参数 【典例1】．若关于的整式●的各项系数之和是7，则“●”代表的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的系数，根据题意直接列式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2】．若整式是二次三项式，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的定义，正确根据定义求得n的值是解题的关键． 根据整式是关于x的二次三项式，即可求出n的值． 【详解】解：∵整式是关于x的二次三项式， ， 解得：； 故答案为：3． 【变式3】．化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了整式的次数和项， 根据题意可知与是同类项，且是三次单项式，可得，求出m，n的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴是三次二项式， 所以． 故答案为：1． 【变式4】．若关于x的整式的次数与单项式 的次数相同， 则 ；    ． 【答案】 3 【分析】本题考查了整式，根据整式的次数、单项式的次数得出方程组是解题关键．根据整式的次数，单项式的次数求解即可． 【详解】解：∵整式的次数与单项式 的次数相同， ∴，， ∴． 故答案为：3，． 【变式5】．如果是关于、的四次三项式，则 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了整式的定义，解二元一次方程，代数式求值，掌握整式次数和项数的定义是解题关键．根据四次三项式得到关于、的方程，分别求解并代入计算求值即可． 【详解】解：如果是关于、的四次三项式， 则或， 解得：或， 当，时，； 当，时，； 故答案为：1或． 题型08 合并同类项 【典例1】．合并下列整式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用合并同类项的方法即可求解 （2）利用合并同类项的方法即可求解 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握其运算方法是解题的关键． 【变式1】．合并下列同类项： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据合并同类项法则直接合并同类项即可； （2）根据合并同类项法则直接合并同类项即可； （3）根据合并同类项法则直接合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可． 【变式2】．去括号，合并同类项： (1)（2x﹣3y）﹣2（x+2y）； (2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]； (3)（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）； (4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【点睛】本题考查了去括号，合并同类项．解题的关键与难点在于正确的去括号． 题型09 合并同类项，并代数式的值 【典例1】．先化简，再求代数式的值： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中； (4)，其中． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，9； (4)，． 【分析】（1）先合并同类项，然后再代入求值； （2）先合并同类项，然后再代入求值； （3）先合并同类项，然后再代入求值； （4）先合并同类项，然后再代入求值． 【详解】（1）解：原式=； （2）原式=， 当时，原式； （3）原式=， 当时，原式； （4）原式=， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的加减运算与代数式的化简求值，熟练掌握代数式的各种运算法则是解题的关键． 【变式1】．若与是同类项，试求的值． 【答案】 【分析】根据同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得x，y的值，再将整式化简代入即可得到答案． 【详解】解：由与是同类项，知， 可得， 所以当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查同类项的定义和整式的化简，利用相同字母指数相同来求解是解题的关键． 题型10 合并同类项的代数应用 【典例1】．若所得的差是单项式，则这个单项式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查合并同类项，同类项（所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式），解题的关键是根据同类项的定义求出未知数，的值，然后合并同类项．据此解答即可 【详解】解：∵所得的差是单项式， ∴式子和是同类项， ∴，， ∴， ∴这个单项式是． 故答案为：． 【变式1】．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【答案】13 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．注意同类项定义中的两个相同是解题的关键． 根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于和的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故答案为：13． 【变式2】．有甲、乙两个运算：甲：；乙：，其中正确的运算是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】D 【分析】根据合并同类项运算法则进行计算即可． 【详解】解：甲：不是同类项，不能合并，故甲计算不正确； 乙：，故乙计算不正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是掌握同类项的定义以及合并同类项法则． 【变式3】．已知m，n为正整数，若整式合并同类项后只有两项，则的值为 ． 【答案】6或4 【分析】本题考查了合并同类项，同类项的定义，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是同类项．根据题意得出和是同类项或和是同类项，然后进行分类讨论即可． 【详解】解：∵整式合并同类项后只有两项， ∴和是同类项或和是同类项， ①当和是同类项时，， ∴， ∴； ②当和是同类项时，， ∴， ∴， 故答案为：6或4． 【变式4】．已知关于x的整式不含和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式不含某项的问题，解题的关键是列出关于m、n的方程，准确计算． 根据整式不含和，得出，，求出m、n的值即可． 【详解】解：∵关于x的整式不含和， ∴，， 解得：，， 故选：C． 题型11 合并同类项的实际应用+几何应用 【典例1】．鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为 元． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式及合并同类项，根据数量关系，运用字母表示数或数量关系即可求解，掌握代数式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 【变式1】．一个旅游团成人有a人，儿童人数是成人人数的2倍，这个旅游团有 人． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，先表示出儿童人数，再根据这个旅游团总人数=成人人数+儿童人数即可列式求解． 【详解】解：∵一个旅游团成人有a人，儿童人数是成人人数的2倍， ∴儿童人数是2a人， ∴这个旅游团有（人）． 故答案为：3a． 【变式2】．甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行，2小时后相遇．甲车每小时，乙车每小时比甲车多行驶，则、两地间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式、合并同类项，根据两车的路程和等于两地间的距离求解即可． 【详解】解：由题意，乙车每小时， ∴、两地间的距离为， 故答案为：． 【变式3】．如图，所示是一个长方形，阴影部分的面积 ．（用含x的代数式） 【答案】/ 【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的面积及整式的化简，解题的关键是注意整式的化简过程中正负号的变化法则． 根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个非阴影的直角三角形的面积即可求解． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 题型12 解答题 【典例1】．已知整式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个整式按的降幂重新排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的次数的定义，按字母次数排列整式等等，熟知整式的次数的定义是解题的关键． （1）整式中次数最高的项为整式的次数，据此可得，解之即可得到答案； （2）按照x的次数从高到低排列整式即可． 【详解】（1）解；∵项式是关于、的五次四项式， ∴， ∴； （2）解：把整式按照的降幂重新排列为． 【变式1】．已知整式是五次四项式，单项式的次数与这个整式的次数相同． (1)求，的值； (2)求该整式的各项的系数之和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题主要考查整式与单项式，解题的关键是熟练运用整式的次数与单项式的次数的概念．单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，整式中次数最高项的次数叫做整式的次数． （1）根据整式、单项式的次数的定义列方程组求出与的值 （2）根据（1）确定整式，再确定各项的系数，然后求和即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得，； （2）解：因为， 所以整式为， 所以该整式的各项的系数分别是，，，， 所以该整式的各项的系数之和为． 【变式2】．已知关于，的整式的次数是8，单项式的次数与该整式的次数相同，求，的值． 【答案】，的值分别5，7 【分析】本题主要考查了单项式的次数和整式的次数，解题的关键是熟练掌握单项式和整式次数的定义，根据整式的次数是8，求出；根据单项式的次数与该整式的次数相同，求出． 【详解】解：∵关于，的整式的次数是8， ∴， 解得：， ∵单项式的次数与该整式的次数相同， ∴， ∴， 解得：， 答：，的值分别5，7． 【变式3】．有这样一道题：“求的值，其中”，小马虎把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的，你觉得可能吗？请用具体过程说明为什么？ 【答案】可能，理由见解析 【分析】本题考查整式的加减以及化简求值，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则是解题的关键．原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解：可能， 理由：原式， 因为化简后的结果不含， 所以原式的值与值无关， 所以他计算的结果正确． 【变式4】．我们知道，，类似的，若把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在整式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并 ． (2)已知，求的值． (3)已知，． ① ； ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（）根据合并同类项法则计算即可； （）把代数式变形为，再代入已知计算即可； （）①把已知相加即可求解；②把已知代入进行化简，最后再把的值代入计算即可； 本题考查了合并同类项，代数式求值，掌握整体思想是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴； （3）解：①∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴ ． 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．是整式 B．是二次二项式 C．的项分别为，，1 D．整式的三次项的系数为 【答案】D 【分析】本题考查整式的判断，整式的项，次数和系数，根据单项式和整式统称为整式，整式的次数：最高项的次数，项数：单项式的个数，系数：单项式中的数字因式，项：整式中的每一个单项式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是整式，原说法正确，不符合题意； B、是二次二项式，原说法正确，不符合题意； C、的项分别为，，1，原说法正确，不符合题意； D、整式的三次项的系数为，原说法不正确，符合题意； 故选D． 2．下列选项中合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项的法则逐项判断即得答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； C、，故本选项计算正确； D、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，熟知合并同类项的法则是解题的关键，注意合并同类项只是系数相加减，字母和字母的指数不变． 3．关于整式，下列说法正确的是（　　） A．这个整式是六次四项式 B．四次项的系数是 C．二次项是 D．这个整式的次数是5 【答案】C 【分析】本题考查整式的相关概念，包括整式的次数，项数以及各项的系数，解题的关键是准确理解这些概念并据此对整式的各项进行分析． 分别分析整式的项数，次数，各项系数，然后与各个选项进行对比判断． 【详解】A、整式的次数是整式中次数最高的项的次数．在整式中，的次数是，的次数是，的次数是，是常数项，次数为0．所以该整式最高次数是4，是四次四项式，A选项错误； B、四次项是，其系数是，不是，B选项错误； C、中的次数是1，b的次数是1，该项次数是，所以二次项是，C选项正确， D、由前面分析可知这个整式的次数是4，不是5，D选项错误． 故选：C． 4．下列说法错误的是（   ） A．是三次四项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是四次二项式 【答案】C 【分析】本题考查了整式的有关概念．整式中每个单项式叫做整式的项，有几个单项式即是几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个整式的次数．根据整式的系数、次数的概念求解． 【详解】解：A、是三次四项式，正确，不符合题意； B、是二次二项式，正确，不符合题意； C、是三次三项式，原说法错误，符合题意； D、是四次二项式，正确，不符合题意， 故选：C． 5．关于整式，下列说法正确的是（   ） A．七次二项式 B．最高次项是 C．常数项是 D．最高次项的系数是0 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式，根据几个单项式的和叫做整式，每个单项式叫做整式的项，其中不含字母的项叫做常数项．整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数．整式的组成元素的单项式，即整式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是整式的项数，如果一个整式含有a个单项式，次数是b，那么这个整式就叫b次a项式可得答案． 【详解】解：A、它是七次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意； B、它的次数最高项是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、常数项是，原说法正确，故此选项符合题意； D、它的最高次项的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．若多项式3x3﹣2x2﹣（15﹣6x﹣kx2）中不含x2项，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．±2 【答案】B 【分析】去括号，将x2项合并，并令其系数为0，求出k的值即可． 【详解】3x3﹣2x2﹣（15﹣6x﹣kx2） =3x3﹣2x2﹣15+6x+kx2 =3x3+（k－2）x2+6x﹣15， ∵不含x2项， ∴k－2=0， ∴k=2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查整式中同类项的合并，掌握合并同类项的方法是解题关键． 故选：D． 二、填空题 7．整式的次数是为 ，常数项为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了整式的次数，整式的项等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 根据整式的次数和整式的项得出即可． 【详解】解：的次数是6，常数项是， 故答案为：6；． 8．整式的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的项，单项式的系数，由整式知道二次项为，从而得到二次项系数． 【详解】解：整式的二次项为：，系数为：． 故答案为：． 9．请写出一个五次三项式，满足以下条件： ． （1）含有 x，y 字母，（2）常数项为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式，关键是能根据整式的系数、次数、常数项的有关概念写出整式． 根据五次三项式和整式、次数、常数项的有关概念以及含有 x，y 字母，即可得出答案． 【详解】解：∵该整式次数是五，有三项，且含有x，y，常数项为， ∴该整式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 10．整式的次数是，常数项是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的次数和常数项，代数式求值，由整式的次数和常数项的定义可求出的值，进而代入代数式计算即可求解，理解整式的次数和常数项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵整式的次数是，常数项是， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．合并同类项： ． 【答案】/ 【分析】根据题意，直接合并同类项即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了合并同类项，正确的计算是解题的关键． 12．将整式按字母降幂排列 ． 【答案】 【分析】依题意，整式按字母降幂排列即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查了整式按某个字母的降幂排列，掌握整式的项的定义是解题的关键．几个单项式的和叫做整式，每个单项式叫做整式的项，其中不含字母的项叫做常数项． 13．若单项式x2yn与﹣2xmy3的和仍为单项式，则nm的值为 ． 【答案】9 【分析】单项式x2yn与﹣2xmy3的和仍为单项式，则它们是同类项．由同类项的定义：所含字母相同且相同字母的指数也相同的两个单项式为同类项，可先求得m和n的值，从而求出nm的值． 【详解】解：单项式x2yn与﹣2xmy3的和仍为单项式，则它们是同类项． ∴m＝2，n＝3． 则nm＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了同类项的定义，有理数的乘方，根据同类项的定义求出m和n的值是解本题的关键． 14．整式是关于x，y的六次三项式，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的项和次数的定义，几个单项式的和的形式叫做整式，每个单项式叫做整式的项，不含字母的项叫做常数项，整式里，次数最高项的次数叫做整式的次数，据此求解即可． 【详解】解：∵整式是关于x，y的六次三项式， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．将下列各式合并同类项 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了合并同类项，去括号，熟练掌握合并同类项法则是解题关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 16．先合并同类项，再求值． （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1），-6；(2 ) ，3 【分析】（1）先合并同类项，然后将，代入计算即可； （2）先合并同类项，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解：原式= =， 当，时，原式=； (2 ) 解：原式== ， 当时，原式= =3． 【点睛】本题考查了合并同类项，代数式求值，理解同类项的含义是解题的关键． 17．已知关于x，y的整式六次四项式，单项式的次数与这个整式的次数相同，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式与单项式，解题的关键是熟练运用整式的次数与单项式的次数的概念．单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，整式中次数最高项的次数叫做整式的次数． 根据整式的次数以及单项式的次数的定义，即可求解． 【详解】解：∵ 是六次四项式， ∴， 解得∶， ∵单项式 的次数与这个整式的次数相同， ∴， 解得∶， ∴． 18．对于整式 (1)若此整式是关于的三次三项式，求的值． (2)若此关于的整式不含常数项，求的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】此题主要考查了整式的定义及整式的加减，正确把握其次数与系数是解题关键． （1）利用整式的定义进行解答即可； （2）关于的整式不含常数项，得出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）由题意可知 所以 （2）由题意可知， ， 所以或． 19．（1）关于，的整式是七次四项式，求和的值； （2）关于，的整式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了整式的定义、代数式求值， （1）根据关于，的整式是七次四项式，列出方程，，求解即可； （2）根据关于，的整式不含三次项，列出方程，，求出、的值，再代入求出的值即可； 根据题意列方程求解是解题的关键． 【详解】解：（1）∵关于，的整式是七次四项式， ∴，， 解得：，； （2）∵关于，的整式不含三次项， ∴，， 解得：，， ∴． 20．已知关于x，y的整式（m是自然数）． (1)当时，该整式是 次 项式； (2)该整式的次数最小是 次； (3)若该整式是八次整式，且单项式与该整式的次数相同，求的值． 【答案】(1)四，四 (2)3 (3) 【分析】本题考查了整式的相关概念，涉及单项式的系数与次数，以及整式的项与次数： （1）先把代入，即可作答； （2）根据m是自然数，再比较整式的每个项的指数之和，即可作答； （3）依题意，单项式的次数为8，即可列式作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入， 得， 则是四次四项式； 故答案为：四，四； （2）解：因为m是自然数， 所以为非负整数， 故当时，的次数是3； 即该整式的次数最小是3； 故答案为：3； （3）解：因为是八次整式，所以， 则， 因为单项式与的次数相同， 所以， 把代入， 得， 所以把，代入， 得． 21．有下列三个代数式：． (1)单项式的个数是______． (2)2024的次数是______，的系数是______． (3)写出的二次项、常数项． (4)是______次______项式． 【答案】(1)2； (2)0；； (3)二次项为；常数项为：； (4)6；5 【分析】题目主要考查单项式及整式的基本定义和相关概念， （1）根据单项式的定义判断即可； （2）根据单项式的次数及系数的定义即可求解； （3）由整式的相关定义求解即可； （4）根据整式的次数为单项式的最高次数，项数为单项式的个数即可求解． 【详解】（1）解：三个单项式中，是单项式， 故答案为：2； （2）2024的次数是0，的系数是； 故答案为：0；； （3）中， 二次项为；常数项为：； （4）是6次5项式， 故答案为：6；5． 22．定义：如果代数式（为常数）与（为常数）， 满足，则称两个代数式互为“相关式”． (1)直接写出的相关式； (2)若与互为“相关式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代数式互为“相关式”的定义解答即可； （2）先根据互为“相关式”的定义求出m、n，再代值计算即可. 【详解】（1）的相关式是； （2）因为与互为“相关式”， 所以，则， 所以， 所以. 【点睛】本考查了整式的相关知识，正确理解代数式互为“相关式”的定义是关键. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2 合并同类项 整式（续） 教学目标 1. 由一次式的合并同类项扩展到整式的合并同类项； 2. 掌握整式的项、项数与次数； 3. 学会将整式按某个字母进行降幂排列或升幂排列； 4. 根据整式的项、项数与次数求参数。 教学重难点 1.重点 （1）对已知整式进行合并同类项，并学会初步的去括号，方便学习下节整式的加减； （2）对已知整式的项、项数与次数进行辨析、理解、运用等； （3）将整式按某个字母进行降幂排列或升幂排列。 2.难点 （1）整式的有关概念理解，其中包含整体与局部思想； （2）整式的有关概念的应用，如求参数等； （3）分类讨论思想。 知识点1 合并同类项 1.复习引入： 在之前的学习中，我们已经掌握了合并一次式的同类项.如图，有两个边长分别为a和3a的正方形，它们的周长之和为4a+12a,利用乘法对加法的分配律，可以写成4a+12a=(4+12)a=16a.同样地，这两个正方形的面积之和为a²+9a²,利用乘法对加法的分配律，可以写成a²+9a²=(1+9)a²=10a². 2.合并同类项 像这样，把整式中的同类项合并成一项的过程叫作合并同类项. 3.合并同类项的法则： 在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，而字母和字母的指数不变. 【即学即练】 1．合并同类项： (1)； (2)． 2．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)． 知识点2 整式（续）— 整式的项、项数与次数 1.整式的项、项数与次数 ①整式的项：合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项. ②整式的次数：各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数. ③整式的项数：合并同类项后，整式有几项，就称为几项式. 要点： 每一项的次数是几，就称为几次项。 这句话的理解：例如3t2-t-4，对于这个整式，3t2是这个整式的一个单项式，它的次数是2，所以它是（这个整式的）二次项；同理-t是（这个整式的）一次项；-4是（这个整式的）常数项。 【即学即练】 1．整式的项数是 ，次数是 ，常数项是 ． 2．整式的次数是 ． 3．下列语句正确的是（  ） A．是二次三项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是五次三项式 4．整式的最高次项的系数为 ． 5．整式是四次三项式，则m的值为 ． 6．若整式是关于、的九次二项式，则的值为 ． 知识点3 整式中的各项按某一个字母指数大小顺序排列 1.为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 2. 按某个字母的降幂排列：例如，将x²+5x+4x⁴-3x³+2按x的指数从大到小的顺序排列，写成4x⁴-3x³+x²+5x+2,称为按x降幂排列； 3. 按某个字母的升幂排列：或者按x的指数从小到大的顺序排列，写成2+5x+x²-3x³+4x⁴,称为按x升幂排列. 要点： ①重新排列的依据是加法的交换律； ②重新排列整式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动； ③含有两个或两个以上字母的整式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 【即学即练】 1．将整式按x降幂排列为 ． 2．把整式按的降幂排列为 ． 3．把整式按的降幂排列为 ． 题型01 整式有关概念填空 【典例1】．填写下表： 整式 写出每一项 每一项系数 每一项次数 几次几项式 ______次______项式 ______次______项式 【变式1】．填表： 整式 次数最高的项 整式的次数 项数 常数项 题型02 整式的项、项数、次数 【典例1】．整式的项数是 ，次数是 ，常数项是 ． 【变式1】．整式的次数是 ． 【变式2】．整式是 次 项式． 【变式3】．下列代数式是二次三项式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】．是 次 项式，三次项是 ． 【变式5】．整式的最高次项为 ． 【变式6】．在一次式中，常数项是 ． 题型03 整式的项的系数 【典例1】．已知整式，该整式的次数是 ，三次项的系数是 ． 【变式1】．整式每项的系数和是 ． 【变式2】．整式是 次四项式，最高次项是 ，最高次项的系数是 ． 题型04 写出满足条件的整式 【典例1】．写出一个只含有字母a的二次三项式 ． 【变式1】．请写出一个只含a，b两个字母，且常数项为的三次二项式： ． 【变式2】．写出一个同时满足下列条件的二次三项式： 只含有字母和；每一项的次数都是；按字母的降幂排列． 【变式3】．已知一个关于的二次三项式，它的二次项系数为2，一次项系数为，常数项为，则这个二次三项式为 ． 题型05 整式按某个字母升幂或降幂排列 【典例1】．把整式按x的降幂排列是 ． 【变式1】．把按照字母b降幂排列 ． 【变式2】．将整式按字母升幂排列，结果是 ． 【变式3】．将整式按降幂排列后，第二项的系数为 ． 题型06 整式综合辨析 【典例1】．关于整式，下列说法正确的是 （    ） A．次数是3 B．次数是5 C．常数项是1 D．二次项是 【变式1】．关于整式的说法错误的是（    ） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含二次项 D．各项分别是，，9 题型07 根据整式的有关概念求参数 【典例1】．若关于的整式●的各项系数之和是7，则“●”代表的数是 ． 【变式1】．若整式是二次三项式，则n的值为 ． 【变式2】．化简代数式（m，n是正整数）可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为 ． 【变式3】．若关于x的整式的次数与单项式 的次数相同， 则 ；    ． 【变式4】．如果是关于、的四次三项式，则 ． 题型08 合并同类项 【典例1】．合并下列整式中的同类项： (1)； (2)． 【变式1】．合并下列同类项： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．去括号，合并同类项： (1)（2x﹣3y）﹣2（x+2y）； (2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]； (3)（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）； (4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn． 题型09 合并同类项，并代数式的值 【典例1】．先化简，再求代数式的值： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中； (4)，其中． 【变式1】．若与是同类项，试求的值． 题型10 合并同类项的代数应用 【典例1】．若所得的差是单项式，则这个单项式为 ． 【变式1】．如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【变式2】．有甲、乙两个运算：甲：；乙：，其中正确的运算是（    ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【变式3】．已知m，n为正整数，若整式合并同类项后只有两项，则的值为 ． 【变式4】．已知关于x的整式不含和，则（   ） A． B． C． D． 题型11 合并同类项的实际应用+几何应用 【典例1】．鸡公山风景区的成人门票单价是元，儿童门票单价是元．某旅行团有名成人和名儿童，则旅行团的门票费用总和为 元． 【变式1】．一个旅游团成人有a人，儿童人数是成人人数的2倍，这个旅游团有 人． 【变式2】．甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行，2小时后相遇．甲车每小时，乙车每小时比甲车多行驶，则、两地间的距离为 ． 【变式3】．如图，所示是一个长方形，阴影部分的面积 ．（用含x的代数式） 题型12 解答题 【典例1】．已知整式是关于、的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个整式按的降幂重新排列． 【变式1】．已知整式是五次四项式，单项式的次数与这个整式的次数相同． (1)求，的值； (2)求该整式的各项的系数之和． 【变式2】．已知关于，的整式的次数是8，单项式的次数与该整式的次数相同，求，的值． 【变式3】．有这样一道题：“求的值，其中”，小马虎把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的，你觉得可能吗？请用具体过程说明为什么？ 【变式4】．我们知道，，类似的，若把看成一个整体，则．“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在整式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，合并 ． (2)已知，求的值． (3)已知，． ① ； ②求的值． 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（   ） A．是整式 B．是二次二项式 C．的项分别为，，1 D．整式的三次项的系数为 2．下列选项中合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．关于整式，下列说法正确的是（　　） A．这个整式是六次四项式 B．四次项的系数是 C．二次项是 D．这个整式的次数是5 4．下列说法错误的是（   ） A．是三次四项式 B．是二次二项式 C．是四次三项式 D．是四次二项式 5．关于整式，下列说法正确的是（   ） A．七次二项式 B．最高次项是 C．常数项是 D．最高次项的系数是0 6．若多项式3x3﹣2x2﹣（15﹣6x﹣kx2）中不含x2项，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．±2 二、填空题 7．整式的次数是为 ，常数项为 ． 8．整式的二次项系数是 ． 9．请写出一个五次三项式，满足以下条件： ． （1）含有 x，y 字母，（2）常数项为． 10．整式的次数是，常数项是，则的值是 ． 11．合并同类项： ． 12．将整式按字母降幂排列 ． 13．若单项式x2yn与﹣2xmy3的和仍为单项式，则nm的值为 ． 14．整式是关于x，y的六次三项式，则a的值为 ． 三、解答题 15．将下列各式合并同类项 (1)； (2)． 16．先合并同类项，再求值． （1），其中，． （2），其中． 17．已知关于x，y的整式六次四项式，单项式的次数与这个整式的次数相同，求的值． 18．对于整式 (1)若此整式是关于的三次三项式，求的值． (2)若此关于的整式不含常数项，求的值． 19．（1）关于，的整式是七次四项式，求和的值； （2）关于，的整式不含三次项，求的值． 20．已知关于x，y的整式（m是自然数）． (1)当时，该整式是 次 项式； (2)该整式的次数最小是 次； (3)若该整式是八次整式，且单项式与该整式的次数相同，求的值． 21．有下列三个代数式：． (1)单项式的个数是______． (2)2024的次数是______，的系数是______． (3)写出的二次项、常数项． (4)是______次______项式． 22．定义：如果代数式（为常数）与（为常数）， 满足，则称两个代数式互为“相关式”． (1)直接写出的相关式； (2)若与互为“相关式”，求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$