二次函数综合-面积问题必考考点压轴练-2025年中考数学三轮复习备考

二次函数综合-面积问题必考考点压轴练 2025年中考数学三轮复习备考 1．如图，抛物线与轴交于点、，于轴交于点，且为直角三角形． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)将绕平面内一动点旋转后所得与该抛物线没有公共点，请直接写出的取值范围________________． 2．将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知，点P是抛物线H上的一个动点． (1)求抛物线H的表达式； (2)如图1，点P在线段上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作，垂足为D，交于点E．作，垂足为F，求的面积的最大值； (3)如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的垂线，交于点，连接，．设面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)若对称轴与交于点，将抛物线向左平移个单位得到新抛物线，新抛物线与直线交于点，连接交直线于点，且，求的取值范围． 4．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，抛物线的对称轴交x轴于点F，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在第一象限抛物线对称轴右侧抛物线上一点，连接交于点D，设点P的横坐标为的面积为，求与的函数解析式； (3)在（2）的条件下，过点作轴于点，连接，点为线段的中点，过点作轴的平行线交于点，点为线段上一点，连接，若，求点的坐标． 5．已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，过点作直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图①，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点，点是抛物线的顶点，对称轴与轴相交于点． (1)点的坐标是__________； (2)点是对称轴上的一动点，当的最小值为时，求的周长； (3)如图②，射线与抛物线相交于另一点，若的面积与的面积相等，求的值． 8．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线经过点，，． (1)求a，b，c的值． (2)若P 是第一象限内抛物线上的一点． ①如图1，是否存在点 P，使得以C，P，B为顶点的三角形的面积为？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． ②如图2，连接，相交于点M，连接，当的值最大时，求直线 的函数解析式． 9．如图，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为，，点是抛物线的顶点． (1)求此二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．若，的面积为， ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值以及此时点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线的方向平移，当抛物线经过点C时停止平移，平移后的抛物线为，点H是抛物线对称轴上一点，当，直接写出所有满足条件的点H的坐标． 11．如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求该抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上一点，过作直线，交抛物线于点，连接交于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点，将向下平移3个单位得到点，将绕点旋转得到，射线与射线分别与平移后的抛物线的对称轴交于点与点，点关于射线的对称点为，连接，若，请直接写出点的坐标． 14．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线（为常数）． (1)求点坐标； (2)如图1，若抛物线经过点，点是抛物线上一动点，且在第二象限内，连接，求的表达式及面积的最大值； (3)若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围． 15．如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．    (1)求抛物线的解析式． (2)将沿方向平移到． ①如图2，若经过点与轴交于点，求的值． ②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数综合-面积问题必考考点压轴练-2025年中考数学三轮复习备考》参考答案 1．(1) (2)点P的坐标为或； (3)或与抛物线没有公共点 【分析】（1）根据题意可证，得，结合已知点的坐标即可求得点C的坐标，设抛物线，将点求得a，即可得到解析式； （2）分情况：当点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，则点A和点B到线段的距离相等，利用平行线的性质即可求得点；当点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，则，可证明，得，求得点，利用待定系数法求得直线的表达式，联立求得点即可； （3）根据题意可得，，，，分类：当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，求得直线的解析式，进一步得直线的解析式为，联立求得s，将点代入直线上，即可求得；当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵、， ∴， 则， 解得， 设抛物线， 将点代入得，解得， ∴； （2）解：存在，理由如下， 若点P位于点B的左侧，过点C作，交抛物线于点P，如图， 则点A和点B到线段的距离相等， ∴， 令，则， 解得（舍去），， ∴点， 若点P位于点B的右侧，连接与x轴交于点D，作，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 设直线的表达式为，则 ，解得， 则直线的表达式为， 联立解得（舍去）或， ∴， 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵将绕平面内一动点旋转后所得， ∴，，， 当点Q位于原点右侧时，旋转后与抛物线相切时，如图， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∵旋转后与抛物线相切， ∴， 整理得：， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， 则时与抛物线没有公共点； 当点Q位于原点左侧时，旋转后在抛物线上时，如图， 则， 解得， ∴当时与抛物线没有公共点， 综上所述，或与抛物线没有公共点． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法求解析式、全等三角形的判定和性质、求一次函数的解析式和旋转的性质，解题的关键是熟悉分类讨论思想和二次函数的性质旋转． 2．(1) (2) (3)或或． 【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线的表达式为，然后把点A的坐标代入求解即可； （2）由（1）及题意易得，则有△AOC是等腰直角三角形，∠CAO=∠ACO=45°，进而可得直线AC的解析式为，设点，则，然后可得△AED和△PEF都为等腰直角三角形，过点F作FT⊥PD于点，则有，由三角形面积公式可得，要使面积最大则PE的值为最大即可，最后问题可求解； （3）由题意可知当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分分别为对角线这三种情况，根据平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：平移后的抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为，即为； （2）解：由（1）可得抛物线的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 过点F作于点，如图所示： ∴， ∴， ∴要使的面积最大，则的值要最大， 设直线的解析式为，代入点A、C的坐标得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴面积的最大值为； （3）解；由（2）可得，，抛物线的对称轴为直线， 设， ①当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：， ∴， 在中，当时，， ∴； ②当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：， ∴， 在中，当时，， ∴； ③当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：， ∴， 在中，当时，， ∴； 综上所述：当以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的综合及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 3．(1)， (2)的最大值的， (3)或 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，解方程组后求出和的值，进而得到抛物线表达式和点的坐标； （2）确定直线的解析式，设出点的坐标，进而表示出点坐标，然后根据三角形面积公式得到关于点点横坐标的函数表达式，再根据二次函数的性质求出的最大值及此时点的坐标； （3）先求出抛物线的对称轴和点坐标，再根据抛物线平移规律得到新抛物线表达式，设出点坐标，通过相似三角形等知识结合求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，， ∴， 解得：， ∴， 当时，得：， ∴， ∴抛物线的表达式为，点的坐标为； （2）如图，过点作轴的垂线，垂足为，交轴于点，设， 则点的横坐标为． 设直线的解析式为，过点，， ∴，，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵在直线上，且点的横坐标为， ∴将代入，得：， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴开口朝下且， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； （3）∵抛物线的对称轴为，， ∴， ∵原抛物线为：， ∴向左平移个单位后为：， 当时，得：， ∴， 当点在下方时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 当点在的上方时， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：（不合题意舍去）或， ∴， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形的面积，二次函数图象平移的规律，相似三角形的判定和性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线解析式得出对称轴为，，根据得出，解方程求出值，即可得答案； （2）过点作于，则，用表示直线的解析式为，即可得出，得出，利用三角形面积公式即可得答案； （3）过点作轴于，延长交轴于，连接，根据，，得出直线的解析式为，可得，根据，得出，利用证明，得出，即可证明，根据等腰三角形“三线合一”的性质及矩形的性质得出，求出，进而得出，，设，根据列方程求出，即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴交x轴于点F， ∴对称轴为直线，， ∴当时，，即， ∴， ∵抛物线与x轴正半轴交于点A， ∴， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点作于， ∵抛物线的解析式为，点P的横坐标为， ∴设，直线的解析式为， ∴，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴当时，，即， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作轴于，延长交轴于，连接， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，，直线的解析式为， ∵点为线段的中点， ∴， ∴当时，，即， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质及两点间距离公式，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键． 5．(1)； (2)该矩形周长的最大值是； (3)存在，点坐标为或或． 【分析】（1）由函数图象顶点坐标设函数解析式为，再将点坐标代入即可求出函数解析式； （2）由该二次函数的对称轴是，设点的坐标为，点，结合矩形周长的计算公式表示出周长关于的函数解析式后，根据二次函数的最值即可得解； （3）由题意得，当矩形周长最大时，点与点重合，求出的面积及直线解析式，设点坐标为，过作垂直于轴，交于点，则，结合图象可得，再解方程即可得到点的横坐标，从而得到点的坐标． 【详解】（1）解：设解析式为， 抛物线经过，代入上式得：， 二次函数表达式为：，或． （2）解：依题得：该二次函数的对称轴是， 设点的坐标为，则点， 则，， 矩形的周长， ， ， ， 当时，周长有最大值，最大值为． （3）解：点坐标为：或或． 二次函数表达式为， ， 当矩形周长最大时，点与点重合， 又此时的面积是矩形面积的， ， 将、坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 设点坐标为， 过作垂直于轴，交于点，则， ， 则， 即：， 解得，，， 故点坐标为：或或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、解一元二次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 6．(1) (2)存在，点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何综合等知识，数形结合是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是，可求出点的坐标为，进而可知的长，再根据，可求出点到的距离为2，进而求出点的纵坐标为，代入解析式可得一元二次方程，解方程即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵抛物线的对称轴是， ∴，即， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图， ∵直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是， ∴两点关于对称， 又∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∴点的纵坐标为， 把点的纵坐标代入抛物线可得：，即， 解得：， ∴直线上方的抛物线上存在点点，使得，P的坐标为或． 7．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及到抛物线与坐标轴交点，线段和最值，面积与二次函数综合，相似三角形的判定与性质； （1）由，即可求出，，； （2）连接，根据对称性得到，则，由的最小值为，得到，结合，，利用勾股定理计算即可； （3）先求出，，得到，，，分别过、作的垂线，垂足分别为、，过作轴，交直线于，则，，根据的面积与的面积相等，得到，再证明，得到，最后根据，得到，代入列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∵抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点， ∴，，， 故答案为：； （2）解：连接， ∵点是对称轴上的一动点，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、， ∴， ∴， ∴的最小值为的长 ∵的最小值为， ∴， ∵，， ∴, ∵， ∴， 解得， ∵为大于1的常数， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴的周长为； （3）解：∵抛物线， ∴，， ∴，，， 分别过、作的垂线，垂足分别为、，过作轴，交直线于，则，， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵为大于1的常数， ∴． 8．(1)，， (2)①存在，点的坐标为，点的坐标为；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q．求出直线的函数解析式为；设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为，表示出，然后利用得到，进而求解即可； ②根据题意得到当最大时，的值最大，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，， ∴设抛物线的解析式为 将代入抛物线的解析式中，得， 解得 ∴ ∴，，； （2）①存在点P，使得以 C，P，B为顶点的三角形的面积为 理由如下：如图，连接，过点P向x轴作垂线交于点Q． 设直线的函数解析式为 把，代入得 解得 ∴直线的函数解析式为； 由（1）可知， 设点P的坐标为，则点 Q 的坐标为 解得， ∵ ， ∴存在两点都在第一象限，且满足以 C，P，B为顶点的三角形的面积为， 此时点的坐标为 ，点的坐标为 ； ②∵ ∵的面积是定值 ∴当最大时，的值最大 ∴当点P为抛物线的顶点时，最大 ∴ 设直线的函数解析式为 把，代入，得 解得 ∴直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用、解一元二次方程、二次函数的最值问题，面积问题和利用待定系数法求一次函数的解析式，把二次函数解析式化为顶点式求最值，确定点P的坐标是解题的关键． 9．(1) (2)①，；②有最大值为， 【分析】（1）将，代入得到，求出，即可得到二次函数的关系式为； （2）①先求出，继而求出线段的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， 二次函数的关系式为； （2）解：①，点是抛物线的顶点， ， 设线段的解析式为， 将，代入得， 解得， 线段的解析式为， 轴，， ， ， ，， ； ②，， 当时，有最大值，最大值为， 此时，． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 10．(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合应用． （1）把，代入计算即可； （2）作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，先求出直线解析式为，再设，则，求出，再根据求出面积最大值，得到，再由对称可得，当在线段上时，最小，求出最小值的长即可； （3）先求出平移后解析式为，对称轴为直线，当在直线上方时，由可得，求出直线解析式为，与的交点即为；当在直线下方时，如图，由，可得，根据距离公式求出，再求出直线解析式为，与的交点即为． 【详解】（1）解：把，代入得，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，    令，则， ∴， 设直线解析式为，代入，得，解得， ∴直线解析式为， ∵点P在直线上方的抛物线，轴， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∴当时，最大，此时， ∵关于轴的对称点， ∴，， ∴， ∴当在线段上时，最小，最小值； （3）解：∵直线解析式为， ∴将抛物线沿着射线的方向平移，可设抛物线向左移动个单位，再向上移动个单位， ∴平移后解析式为， ∵当抛物线经过点C时停止平移， ∴把代入得， 解得，（舍去）， ∴平移后解析式为， ∴对称轴为直线， 当在直线上方时，如图点即为，    ∵， ∴， ∴设直线解析式为， 代入得，，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； 当在直线下方时，如图点即为，此时交于，    ∵，即， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴设直线解析式为， 代入，得，，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 综上所述，当时，所有满足条件的点H的坐标为或． 11．(1)； (2)3 (3)存在点，使得和面积相等，坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把代入求解即可； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【详解】（1）解∶ 把代入，得， 解得，， ∴；， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 12．(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、一次函数和二次函数的图象交点等知识． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点P作轴交于点E，求出直线的解析式为，得到，，则，当时，取得最大值，得到取得最大值，此时，即可得到答案； （3）求出，再求出点的坐标为，当时，，进一步求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，则点的坐标是，当时，，则直线经过点的关于轴对称点，求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，即可得到点的坐标是． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，交轴于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，过点P作轴交于点E，    当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ，则， ∵，且 ， 当时，取得最大值， 取得最大值， 此时， 此时； （3）∵， ∴将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，则： ， 当时，，解得或， ∴点的坐标为， 如图，当时，，    ∵直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得到，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或， ∴点的坐标是， 当时，， ∴直线与直线关于轴对称， ∴直线经过点的关于轴对称点， 设直线的解析式为， 把点的坐标为，点代入，得 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得，或， ∴点的坐标是， 综上可知，点的坐标为或． 13．(1) (2)最大值为12，点坐标 (3)或或或 【分析】（1），代入得，，再计算即可． （2）作直线，且和抛物线相切于点．连．由得，，先求得直线解析式为，直线解析式为，联立得．故面积面积面积，由，得面积面积，设直线解析式为，联立并计算得，由，得直线解析式为，故面积面积面积． （3）由向下平移3个单位得到点．由得由．由平移得，由对称得，设，，由对称知为中点，故，直线解析式为，故，由，得，再计算即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：作直线，且和抛物线相切于点．连． 由得， 时，， 时，， ，， , ∴为等腰， ∴直线是由直线向上平移4个长度单位得到， ∴直线解析式为：． 设直线解析式为， 代入得， ∴直线解析式为， ∴． 联立和， 得， ∴或5， 时，， ∴． ∴面积面积面积， ∵， ∴面积面积， ∵直线，且和抛物线相切， ∴面积最大，故面积最大． 设直线解析式为， 联立得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∴ ∴面积面积面积． 故面积的最大值，点坐标． （3）解：∵向下平移3个单位得到点， ∴点， 由得， 把抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， 得， ∴， ∴对称轴为直线， 由得，， ∴， 由对称得：为等腰，直角三角形， 过作轴，如图： ∵， ∴， ，，， ， ∴，， 设， ∴， 由对称知为中点， ∴，即， 设直线解析式为， ， ∴ ， ∴直线解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，或， ∴或6或或， ∴或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，掌握求二次函数的性质，以及求解析式的方法，是解题关键． 14．(1) (2)抛物线的表达式为，的最大值为 (3)或． 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，解一元二次方程；解本题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想方法． （1）把代入，即可求得点的坐标； （2）过点P作轴交于点Q，将代入，求得，设，则，则，再利用结合二次函数性质求解即可； （3）分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 解得， 点的坐标是； （2）解：过点P作轴交于点Q， 将代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 设，则， ， ， ， 当时，的值最大，最大值为； （3）解：二次函数的图象经过时，，解得， 二次函数的图象经过时，得， ； 若与直线只有一个交点时，方程组有一组实数解， 则一元二次方程，整理得， ， ， ． 综上所述，与线段只有一个交点，的取值范围是或． 15．(1) (2)①；②最大值为． 【分析】本题主要考查待定系数法求函数关系式，交点坐标，三角形面积等． （1）先求出直线的解析式，求出点B的坐标，再求得点A的坐标，再将A，B坐标代入，求出a，b即可； （2）求出直线的解析式，的解析式，联立方程组，求出点P的坐标，可得，再证明，得，从而可得结论； （3）设与交于点R，G，与交于点F，K，分别求出直线的解析式，再分别用含有a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，利用二次函数的性质，可求出和公共部分面积的最大值． 【详解】（1）解：对于，令，则， 解得，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 把代入得， ， 解得，， 所以，二次函数解析式为：； （2）解：①设直线的解析式为， 把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由平移得，， ∴设直线的解析式为， 把代入得，， ∴设直线的解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴， ， ∴， ∴， ∵是由平移得到的， ∴， ∴； ②设点P的坐标为其中，， 由平移知，， ∴设直线的解析式为， 将代入得，， ∴ ∴； 设与交于G，R，与交于K，F， 联立， 解得，，， ∴，， 在中， 当时，， ∴，， ∵点P的横坐标为， ∴，， ∴， 设和公共部分的面积为S， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为； ∴和公共部分的面积最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$