精品解析：北京市房山区2024-2025学年高一下学期期中学业水平调研(一)数学试题

房山区2024-2025学年度第二学期学业水平调研（一） 高一数学 本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若，且，则角α的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 B. 先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 C. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 D. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则，，大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（ ） A. B. C. D. 8 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 9. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（ ） （参考数据，，，，．） A. B. C. D. 10. 气候变化是人类面临的全球性问题，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，其图象如图．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. ， D. 若是偶函数，则的最小值为2 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. ________． 12. 已知，则________． 13. 函数的单调递减区间________． 14. 若函数的最小值为，则常数的一个取值为________． 15. 如图，已知矩形中，，，点为上一点，则________；当最大时，________． 16. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，函数．给出下列结论： ①函数的值域是； ②函数是非奇非偶函数； ③函数的图象关于对称； ④方程只有一个实数根． 其中正确结论的序号是________． 三、解答题共5小题，每小题14分，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知向量，． （1）求与的数量积； （2）若与垂直，求的值． 18. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值． 19. 已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求，值； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的单调递增区间． 条件①：的图象关于点对称； 条件②：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 20. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值． 21. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关. （1）对，判断下列各组向量线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，. （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 房山区2024-2025学年度第二学期学业水平调研（一） 高一数学 本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存. 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若，且，则角α的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的象限与余弦函数的函数值和正切函数的函数值的正负的关系判断. 【详解】因为，所以角α的终边在第二象限或轴的负半轴或第三象限， 因为，所以角α的终边在第一象限或第三象限， 所以角α的终边在第三象限， 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算得解. 【详解】. 故选：D 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 B. 先向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 C. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 D. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变化规律即可求解. 【详解】对于A，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故A正确； 对于B，向左平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故B错误； 对于C，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的得到，故C错误； 对于D，向右平移个单位长度得到，再将横坐标变为原来的2倍得到，故D错误. 故选：A 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直得出参数，再结合充分而不必要条件定义判断即可. 【详解】因为，所以，解得或， 故可以推出，充分性成立， 当不能推出，必要性不成立， 则“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 5. 已知点为角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先应用任意角三角函数值得出，最后应用二倍角正弦公式计算求解. 【详解】点为角终边上一点，则， 所以. 故选：A. 6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用诱导公式及正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】由，即. 故选：D 7. 木雕是我国雕塑的一种，在我们国家常常被称为“民间工艺”.传统木雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形木雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇形木雕的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆心角化为弧度角，再利用扇形面积公式直接求解即可. 【详解】扇形OAB的圆心角为，又因为，， 所以该扇环形木雕的面积为. 故选：B 8 已知函数，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式变形函数，再由含正弦的二次函数求出最值. 【详解】函数， 而，则时，，当时，. 故选：C 9. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷（guǐ）影算法”，在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即．已知天顶距时，晷影长．现测得午中晷影长度，则天顶距约为（ ） （参考数据，，，，．） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，列式计算出，再由计算即可. 【详解】由，且天顶距，晷影长，得， 当晷影长度时，，所以. 故选：B 10. 气候变化是人类面临的全球性问题，我国积极参与全球气候治理，加速全社会绿色低碳转型．某校高一数学研究性学习小组同学研究课题是“碳排放与气候变化问题”，研究小组观察记录某天从6时到14时的温度变化，其变化曲线近似满足函数，其图象如图．则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为 C. ， D. 若是偶函数，则的最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的最大值和最小值求，再根据对称轴间的距离求周期和，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数解析式，然后逐个分析判断. 【详解】根据题图可知得所以． 根据题图可知，，B错误． ，，，即． 又，所以，所以，解得，A错误． ，， 所以，C错误． 因为是偶函数， 所以，，得，，所以当时，取最小值为2，D正确． 故选：D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 11. ________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】逆用和角的余弦公式求解. 详解】. 故答案为： 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系结合弦化切计算求解. 【详解】. 故答案为：. 13. 函数的单调递减区间________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式及正弦函数的单调性求出减区间. 【详解】函数， 由，解得， 所以所求单调递减区间是. 故答案为： 14. 若函数的最小值为，则常数的一个取值为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由三角函数的有界性得到同时成立，不妨令，求出即可. 【详解】因为， 要想的最小值为， 需要同时成立， 由得到，， 不妨取，则，解得：， 取，得. 故答案为：（答案不唯一） 15. 如图，已知矩形中，，，点为上一点，则________；当最大时，________． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出各向量，根据向量数量积运算的坐标表示，求出数量积的表达式，求出结果. 【详解】 因为四边形是矩形，所以以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系. 可得,因为点为上，可设， 可知，则. 可知，则，因为，所以当时，取得最大值， 此时，，则. 故答案为：9；. 16. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，函数．给出下列结论： ①函数的值域是； ②函数是非奇非偶函数； ③函数的图象关于对称； ④方程只有一个实数根． 其中正确结论的序号是________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】确定时的图象，根据的奇偶性确定部分的函数图象，根据的图象确定的图象即可求解. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知，在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 所以函数的值域是； 因为，所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 由图可知函数的图象不关于对称， 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根. 综上所得，故①④正确，②③错误； 故答案为：①④. 三、解答题共5小题，每小题14分，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 已知向量，． （1）求与的数量积； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示计算即得. （2）利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解. 【小问1详解】 向量，， 所以. 【小问2详解】 由向量，，得，， 由与垂直，得，即， 所以实数. 18. 已知，且． （1）求，的值； （2）求的值． 【答案】（1）， ； （2）. 【解析】 【分析】（1）由平方关系得，再由和角正弦公式求，二倍角余弦公式求； （2）商数关系求正切，再由二倍角正切公式求. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以． 19. 已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求，的值； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的单调递增区间． 条件①：的图象关于点对称； 条件②：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】（1）， （2）选①：；选②：. 【解析】 【分析】（1）根据题意确定振幅和最小正周期即可求得； （2）①根据函数的对称性求得，即得，利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调递增区间；②根据函数经过的点的坐标可求出，即得，利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调递增区间. 【小问1详解】 由题知，，函数的最小正周期． 由，解得． 【小问2详解】 选择①：由（1）知，． 因为的图象关于点对称， 所以，则得，即，， 因为，所以，故． 由，可得， 故函数的单调递增区间是． 选择②：由（1）知， 依题意，，则有， 即， 因为，所以，故， 由，解得， 故函数的单调递增区间是． 20. 已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点． （1）求的值； （2）求的值； （3）记点的横坐标为，若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义和同角的平方关系计算即可求解； （2）根据诱导公式计算即可求解； （3）根据三角恒等变换的化简计算即可求解. 【小问1详解】 因为圆是单位圆，锐角终边与圆相交于点， 所以． 所以． 【小问2详解】 原式． 【小问3详解】 由（1）知，，且为锐角， 所以，． 所以 ． 21. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关. （1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，. （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则. 【答案】（1）①线性相关，理由见解析；②线性相关，理由见解析 （2）线性无关，理由见解析 （3）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到即可判断； （3）①如果某个，，然后证明，，…，，，…，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可. 【小问1详解】 对于①，设，则可得，所以，线性相关； 对于②，设，则可得， 所以，，所以，，线性相关； 【小问2详解】 设， 则， 因为向量，，线性无关，所以，解得， 所以向量，，线性无关. 【小问3详解】 ①，如果某个，，2，…，m， 则， 因为其中任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0， 所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，…，全不为零， 所以由可得， 代入可得， 所以， 所以，…，，所以 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$