天津市静海区第一中学2024-2025学年高一下学期6月学生学业能力调研数学试卷

静海一中2024-2025第二学期高一数学（6月） 学生学业能力调研试卷 命题人 李月英 审题人 陈中友 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（105分）和第Ⅱ卷提高题（12分）两部分，卷面分3分，共120分。 知 识 与 技 能 学习能力 内容 复数 平面向量 正余弦定理 立体几何 数形结合 划归转化 分数 9 21 17 30 24 16 第Ⅰ卷 基础题（共105分） 1、 选择题（ 每小题4分，共28分） 1. 已知i是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数Z的虚部为（ ） A. B. C. -3 D. 3 2. 设为三个平面，为两条直线，且.下述四个命题: ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④且，则 其中所有真命题的编号是（ ） A.①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④ 3.已知向量，，且则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在Δ中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 1 6.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如图所示，已知正方体边长为，则该石凳的体积为（ ） A. B. C. D. 7.在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题4分，共20分) 8. 设，则= . 9. 已知向量，，则在方向上的投影向量坐标表示为 . 10. 已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为__. 11. 在Δ中，，，所对的边分别为，，，Δ的面积为，且，，，则_____． 12.在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为棱和中点，则四棱锥和四棱锥的体积之比为 三、解答题（本大题共5小题，共57分） 13.（11分）在Δ中，内角所对的边分别为， （1）求角的值; （2）若Δ的面积，且，求； （3）求 的值. 14.（11分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中， （1）若为的中点，求证：//平面 （2）求证：平面 平面 （3）求SC与底面ABCD所成角的正切值． 15.（11分）在Δ中，角所对的边分别为已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，当Δ的周长取最大值时，求Δ的面积． 16.（10分）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，. （1）求与所成角的余弦值； （2）求三棱柱的体积. 17.（14分）如图1，为菱形，，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，如图2，(1)证明：； (2)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请找出点的位置，请说明理由 第Ⅱ卷 提高题（共12分） 18．（12分）（1）正方形的边长是2，是的中点，则的值是多少？ (2)在平面四边形中，， ，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围是什么？ (3)在△中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，，则的最大值是什么？ 通过以上题目的解答总结平面向量数量积及数量积求最值时常用的方法，每种方法需要注意的问题？ 19. （3分）卷面分 静海一中2024-2025第二学期高一数学（6月） 学生学业能力调研试卷答案 一、选择题:（ 每小题4分，共28分.） 1.C 2.D 3.B 4.A 5. A 6. B 7.A 二、填空题：（每小题4分，共20分.) 8． 9．（-1，-1） 10． 11． 12. 三、解答题 13.【小问1详解】 由， 结合正弦定理边化角可得：,----2 由两角和的正弦展开化简可得：， 又为三角形内角，， 所以，又为三角形内角， 所以 ， ----3 【小问2详解】 由，， ， 所以， ----5 ， 所以 ------- 7 【小问3详解】 由，可得， 所以， -----9 由（1）， 所以 ---11 14.（1）取SB中点。 过程略 ---4 （2）证明： 又--------7 ------8 （3）解：连结AC,则就是SC与底面ABCD所成的角。-------9 （4）在三角形SCA中，SA=1,AC=, ----11 15.【小问1详解】 因为，由正弦定理得， --1 因为，所以， 又因为，且，所以，----2 又因为，，-----3 所以，即.------4 【小问2详解】 因为在中，，所以， ----5 又因为，，由正弦定理， 可得.-----6 【小问3详解】 在中，由余弦定理， 得， ----8 即， ----9 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为，----- 11 此时面积. 16.【详解 (1)知，，且， 所以与所成角等于或.-------2 因为底面，底面，所以. 又，所以平行四边形为正方形. ， 在三角形中，因为，为的中点，所以 又，，所以，. 因为底面，，所以底面.-------5 又底面，所以 又，，所以.------6 在中，由余弦定理得， . 所以与所成角的余弦值为.-----8 (2)由题知，的面积，高. 所以三棱柱的体积.-------10 17.【详解】（1）连接， ∵是边长为2的等边三角形，点为的中点， ∴， ------1 ∵为菱形，，是等边三角形，，------2 且，平面，-------------3 ∴平面， ∵面，∴； ---5 （2）∵平面⊥平面，平面∩平面. ∴面， - ∴就是与平面所成角. -----7 是边长为2的等边三角形，， ，------8 ， 即与平面所成角的正弦值为.-------10 （3）设，连接， 则有面平面， 若平面，则，---------2 ∴ 线段线段上是否存在点N，使得平面，. -------2 18.（1）3 -----3 （2） -----4 （3）9 ------3 方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解； 方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解； ------2 方法三：利用正余弦定理，再由根据数量积的定义运算求解. 最值：转化为函数求最值, 利用基本不等式，几何图形转化 ( 5 )高一数学（6月）学生学业能力调研试卷 第 页 共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$