河南省许昌市杞县高中等校2024-2025学年高一下学期6月联考数学试题

河南省许昌市部分高中联考6月质量检测 高一数学 考生注意： 1.本武卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答索答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区战内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六~八章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.复数x=3一i3在复平面内对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列几何体为旋转体的是 A三棱锥 B.四棱台 C.六棱柱 D.圆台 3.已知向量a=(m,一2)，b=(m一2,3)，若a∥b,则实数m= A- B-号 c号 4.如图，△A'B'C是水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图，其中 OA'=OB'=OC'=1,则△ABC的周长为 A22+2 B.25+2 C.4√2+4 D.45+4 5.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，P是C1D1的中点，则异面直线AD1与CP 所成角的余弦值为 A10 B.v10 10 c 【高一6月质量检测·数学第1页（共4页）】 人教A 6在△ABC中，内角A,B.C的对边分别为a6c,则r△ABc为等腰直角三角形是合号-含的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知非零向量a,b满足|a=|b川=|a一b1,则向量a一2b在向量b上的投影向量为 A.-2b B.- C-3b D.-b &,已知三棱锥A-BCD的棱长均为2，点P在△BCD内，且AP=2,则点P的轨迹的长度为 3 A3✉ Bix c号x D.x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知m,n是两条不同的直线，a,P是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A若m∥a,nCa,则m∥n B.若m⊥a,nCa,则m⊥n C.若a∩f=m,nCa,n∥B,则m∥n D.若a⊥A,m⊥a,n⊥B,则m⊥n 10.已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A若A=若，B=不，则6=2a B.若C是钝角，则sinA>cosB C.若B=至，c=2,b=3,则满足条件的三角形只有一个 D.若A=号，a=2,则△ABC的周长的最大值为6 11.如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，点C是底面圆O上异于A,B的动点，已知圆锥的底面积为 π，侧面积为3π，则下列说法正确的是 A圆锥SO的体积为√2x B三棱锥S-ABC的体积的最大值为，2 3 C.一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面从A点爬到B点处的最短路径的长度为3 D若二面角S-AC-0的大小为e,二面角S-BC-0的大小为月，则品。十品B号 【高一6月质量检测·数学第2页（共4页）】 人教A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知2=一1，则1z+1= 13.在△ABC中，若M为BC的中点，AB=√/2，AC=2,则AM.BC= 14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且+c2一a2=一bc,b=2,则a2一2的取值范围 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 设复数x=1十mi(m∈R). (1)若(2-i)z是实数，求m的值； (2)若士是纯虚数，求复数x的共轭复数 16.(本小题满分15分) 某建筑物模型的外观是如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1,AB⊥AC,AB=4米，AC=3米，AA1= 4米 (1)现需使用油漆对该模型的表面（含底面ABC)进行涂层，油漆费用为每平方米20元，求总费用； (2)若D是A1C1的中点，证明：A1B∥平面B1CD. D 【高一6月质量检测·数学第3页（共4页）】 人教A 17.(本小题满分15分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2b-a)cosC-+-d 26 (1)求C (②若△MBC的面积为29a-6=1,求6 18.(本小题满分17分) 设平面内两个非零向量m,n的夹角为（≠2），定义一种新运算“⑧”：m⑧n=mn川tand, (1)已知向量|a=2,lb|=3,a·b=2,求a⑧b: (2)设向量a=(a),b=(x为)，且a·b≠0，证明：⑧b=西业一y++克 1x2十y3y2 (3)已知向量c=(cosB,sin),d=(cosY,siny）,c·d≠0，若c⑧d=2,求cos(2g-2y)的值. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB LAD,AB=BC=AP=2,AD=4. (1)证明：CD⊥平面PAC; (2)求二面角B-PC-D的大小： (3)点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角 的正切值的取值范围。 【高一6月质量检测·数学第4页（共4页）】 人教A 高一数学参考答案、提示及评分细则 1.A由x一3一泸=3十i,知复数x在复平面内对应的点为(3,1)，位于第一象限.故选A 2.D在四个选项涉及的几何体中，只有圆台是旋转体，故选D 3.D由a/b,知3m=-2(m-2),解得m=5.故选D 4.B由直观图可知，OB=OC=1,OA=2,OA⊥BC,所以AB=AC=√5，所以△ABC的周长为25+2.故选B. 5.A如图，取AB的中点Q,连接PQ,CQ,则PQ∥AD,所以∠CPQ是异面直线AD1与CP所成 D 角或其补角.设AB=2,则PC=CQ=5,PQ=22,在△CPQ中，由余弦定理得cos∠CPQ= 2×√5×22 =故选A 5+8-5=0 6D由票治二-会得黑含二会所以uom A=kmsB或sA=0著sA=0时， A=受：若a0osA=c0sB,由正弦定理得sin Acos A-=sin Beos B-=sim2A=in2B,所以在△ABC内有：2A=2B或 2A+2B=π，所以△ABC是等腰或直角三角形.而当△ABC是等腰直角三角形时，没有明确哪个角是直角，故推不出 盖台-一会故选D 7.B由1a=b=a-b1,得(a-b=a,即a2-2a·b+b=a,所以a·b=号b1.又(a-2b)·b=a·b 216=-多16，所以a-20b号 b =一号所以向量。一2b在向量b上的投影向量为一号A故选R 8.C 如图1，取CD的中点E,连接BE,过点A作AH1BE,垂足为H,由AB=2,知BE=厅，BH=2,HE=气，所以 AH=√2-(2零）=25.又AP-2号，所以HP=√(29)-(2)-号>HE,所以点P在以H为圆心，号 为半径的圆上.如图2.由BH=2,HF=号∠FBH=吾，得(2)+BF-2BF×2×号=（号）广，解得BF 号〔结合图形BF=专舍去)，所以四边形BGHF是菱形，∠GHF=吾，所以点P的轨迹的长度为学放选C B4-----17 图1 图2 9.BCD直线与平面平行，直线并不与平面内的每一条直线平行，A错误：若直线与平面垂直，则直线与平面内的每一条 直线都垂直，B正确：由线面平行性质定理可知m∥，C选项正确：结合正方形模型及线面垂直定义可知D选项正确.故 选BCD. 收心显定理号密含 1 sim22 所以b=2a,A正确：因为C是纯角，所以A+B<受，即0<A< 4 【高一6月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 人教A 吾-K登，所以血A<血（受-B.即nA<osB.B错误：由s血子-2×号-反<2<3，可知满足条件的三角 形只有一个，C正确：由余弦定理得a2=+2-2 bccos A=4,则(b叶c=3c十4.由6x≤中得(6+c)2≤ 4 3b十c)+4,故b什c≤4（当且仅当b=c=2时取等号），所以a十b什c≤6，△ABC的周长的最大值为6，D正确.故 4 选ACD. 1,C设圆锥S0的底面半径为，母线长为，高为h,则r=·解得一h=V3-下= r=1, 元rl=3π， 1=3, 2V2,所以圆锥S0的体积为3xX1×22=-2,A错误：当OCLABE时，三棱锥S-ABC的 3 体积最大，为号×之×2X1X22-2号B正确：将圆锥的侧面展开，所得扇形的圆心角为 红1_红，可得爬行的最短路径长度为3，C正确：如图，过点O作OE⊥AC.OD LBC,垂足分别为E,D,则OE 3 2BC,0D=AC.由90L底面ABC,ACC平面ABC,得S0LAC.又ACL0E,S0nOE=0,S0,OEC平面SOE,所 以AC⊥平面SOE.因为SEC平面SOE,所以SE⊥AC,所以∠AEO即为二面角S-AC-O的平面角，即∠AEO=a,同 理∠A00-R则6是是m品-品所以点。+过。0零+Og-AC克C-壶日D错误 8 32 故选BC 12.2因为2=一1=（土i)2,所以=士i,所以x十1=11土i=2, 13.1 由题知Ai=号(AB+AC,BC-AC-A店.所以AM.BC=号(A店+AC)·(AC-AB)=号(1AC?-A2) 24-2)=1 14.(4,十∞) 由余弦定理，得sA十次在=杂=一之，因为0<A<,所以A=由正弦定理，得名B 2 sinC,所以a sin Be-2sinc B,所以d-2=3。-4smrC 3-4sim(-B)3-4(停sB-mB sin'B sinB sin'B sin2B 9B-23s血Bcos B+s证BD_23s血Bc0sB+2siB23B+2.因为0<B<子，所以0< sin B sin'B 飞，所以3B十2>4，故a2一2的取值范围为(4，十购 tanB√3 15.解：(1)由题知(2-i)=(2-i)(1+mi)=(2+m)+(2m-1)i. 3分 若2-D:是实数则2m-1=0,解得m=之 …6分 (2)由题知1+i1+点=1+i(1-mi=1+m)+1-mi 之1十mi(1十mi)(1一mi 1+2 ……9分 若中是纯虚数，则 +m=0, 解得=一1.…11分 1一m≠0， 所以之=1一i,心=1十i… …13分 16.(1)解：因为直三棱柱ABC-A1B,C中，AB⊥AC,AB=4,AC=3,AA=4,所以BC=5.…3分 所以56m=号X3X4=6,Sm鸟=4X4=16,SsM50=3X4=12.Sem,4e=5X4=20,…5分 【高一6月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 人教A 所以直三棱柱ABC-A1BC的表面积为6×2+16+12+20=60平方米.…6分 D 所以所需油漆总费用为60X20=1200元。…7分 (2)证明：如图，连接BC交BC于点F,连接DF,…9分B 则F为矩形BCCB,对角线的交点，BF=CF.…11分 又点D为AC的中点，所以AB∥DF,…13分 因为DFC平面B,CD,AB过平面B,CD,所以AB∥平面B,CD.…15分 17.解，1)油余弦定理cosA-+4,得+。=osA. 2bc 26 …2分 所以(2h-a0sC=+6a2=c0sA. 26 …3分 由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC=sin Ceos A, 4分 2sin Bcos C=sin Ccos A+sin Acos C. 所以2 sin Beos C=sin(A十C). 5分 又A+C=π-B,所以sin(A+C)=sinB, 所以2 sin Beos C=sinB.… …6分 因为B∈(0，x),所以simB>0,所以cosC=2 …7分 又Ce(0x,所以C-子 …8分 (2因为△ABC的面积为3，所以aim音-3.即cb=6.… 10分 a-b=1, a=3,(b=-3, 联立方程 解得 或 12分 ab=6. b=2 a=-2 (舍).“ 由余弦定理，得c=√a+-2 abcos C=/2+32-2X3×2× 15分 18.解：设向量a,b的夹角为a. a·b 2 (1D由题知cosa=a·b=2X33, 1分 2② 则sina= 3 tan a=- 3=22,… 2分 3 所以a⑧b=2×3×22=12√2. …3分 (2)由题知cosa= a·b 十业业 ab 4分 √(+y)(十) 所以sina= （十业业) (十听)（十）一(G12土 (+坊)(+)-V (x+y听)(.场+y) 5十y一2.cy业 （业一x2y) |x12一x2y …9分 (x+y)(十) =√+y)+)√+)(+) 所以tana=业一y 10分 1x2十y1yg 所以a⑧b-业一MV(士)(+D 11分 x1x2十y12 (3)由题知c=√cosB叶sinB=1,d=√Cosy十siny=1,…12分 【高一6月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 人教A 所以c⑧d=cos &sin-cos ysinB=Isin(y-l …14分 cos Bcos y+sin Bsin y cos (y-B) 又c②d=2,所以tan(y3)=4,… 15分 所以sg-)=mg刀-g-》得+需g升-+漂得另-青- .…17分 19.(1)i证明：AD∥BC,AB⊥AD,AB=BC=2,所以∠BAC=∠BCA=∠CAD=年，AC=22, 所以在△ACD中，由余弦定理得CD-√AC+AD-2AC·AD·cos平√8+16-42X4×号 =2√2，…2分 所以AC心十CD=AD,所以CDAC.……3分 因为PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,所以CD⊥PA. 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以CD⊥平面PAC. 4分 (2)解：取BP的中点E,过点D作DF⊥平面PBC.DF交平面PBC于点F,连接CF 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD 因为平面PAB∩平面ABCD=AB,BCLAB,所以BC⊥平面PAB.… …5分 因为AEC平面PAB,所以AE⊥BC 因为AB=AP=2,PE=BE,所以AE⊥BP,AE=√2. 又BP,BCC平面PBC,PB∩BC=B,所以AEL平面PBC.…6分 因为AD∥BC,BCC平面PBC,AD吐平面PBC,所以AD∥平面PBC,…7分 所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以DF=√2. 由(1)知CD⊥平面PAC,因为PCC平面PAC,所以CD⊥PC 因为DF⊥平面PBC,PCC平面PBC,所以DF⊥PC.… …8分 又DF,CDC平面CDF,DF∩CD=D,所以PC⊥平面CDF. 因为CFC平面CDF,所以PC⊥CF.……9分 由PC⊥CF,CD⊥PC,平面PBC∩平面PCD=PC,知∠FCD是二面角B-PC-D的平面角的补角. 由DF=2,CD=22,DF⊥CF,得∠FCD=吞. 所以二面角B-PC-D的大小为不。… 11分 (3)解：过点T作TG平行于PA,交AC于点G,连接GD 因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD 因为TG∥PA,所以TG⊥AB,TG⊥AD 因为AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD,所以TG⊥平面ABCD, 所以TD与底面ABCD所成的角为∠TDG.…13分B 设0G=0<<2).所以器-.即罗2看所以7G=,GD=VF开8。…15分 222 2: TG 2 所以tan∠TDG= GD V2(1+) 由函数y 单调递增，得0<tan∠TDG<2。 V2(1+ 所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为(0，号)， 17分 【高一6月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 人教A