6.3 三元一次方程组及其解法课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

6.3三元一次方程组及其解法 教学目标 1.经历三元一次方程组解法的探索过程，进一步体会“化未知为已知”的化归思想。 2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会消元思想。 解方程组： ① ② 消元 复习引入 { x+2y=5 3x-y=1 （1）求解二元一次方程组的思想是什么？ （2）用什么方法消元可以解这个方程？ 加减法或代入法 探索新知的 请问小明有多少只蜘蛛，蜻蜓，蝉呢？ 上述问题中，很自然的想法是，设蜘蛛为x只，蜻蜓为y只，蝉为z只，由题意可得到方程组： x+y+z=18 8x+6y+6z=118 2y+z=20 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 定义：含有三个未知数，有三个一次整式方程组成的方程组叫做三元一次方程组． 注意：1、含有三个未知数； 2、含三个一次方程； 3、为整式方程。 1.下列方程组不是三元一次方程组的是( ) A. B. C. D. 练习： 三元一次方程组中的方程不一定是三元一次方程。 三元一次方程组的解 类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 怎样解三元一次方程组呢？ 能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？ 解：将③代入①②，得 　　为什么要用③代入，而不用①②代入？ 消元 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 x+y+z=12 x+2y+5z=22 x=4y 4y+y+z=12 4y+2y+5z=22 5y+z=12 6y+5z=22 y=2 z=2 化简得 解得 把y=2代入③，得 x=8 解方程组 代 入 法 ② ① ③ 消元 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 解：①×5-②得 4x+3y=38 ④ ③、④组成方程组 x=4y 4x+3y=38 解得 x=8 y=2 x+y+z=12 x+2y+5z=22 x=4y 解方程组 加减 法 ② ① ③ 把x=8，y=2代入① ，得 z=2 解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 消元，把 三元 转化为 二元 ，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解 一元一次方程. 消元 消元 若是勇士队再参加一轮比赛，同样的积分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负1场得0分.勇士队赛了10场，共得18分.已知胜的场数是平和输的场数之和，那么这次胜、平、输各是几场？ 三元一次方程（组） 初识概念 在本章第一节中，我们先用一元一次方程求出了勇士队“我们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与负的场数.然后又用了二元一次方程组的方法再求了一次。 解：设胜x场，平y场，则输（10-x-y)场. { 3x+y=18 x=y+（10-x-y) 初识概念 本题有三个未知数，如果设这个队在此次比赛中胜、平、负的场数分别为x，y，z，又将怎样呢？ { x+y+z=10 3x+y=18 x=y+z 这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？ 在这个方程组中，x+y+z=10和x=y+z都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程. 像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组. 初识概念 下列方程组不是三元一次方程组的是 ( ) A. B. C. D. D 三元一次方程组是一共含有三个未知数， 并不是每一个一次方程都含有三个未知数． 理解概念 { x+y-z=5 z+y=8 x=1 { x+y=11 z+y=8 x+z=5 { x+y-z=11 x-2y+4z=4 xyz=32 { x+y+z=24 x-y=1 2x+y-z=19 注意： 类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解. 三元一次方程组的解法 类比学习 x+y+z=10，  3x+y=18，  x=y+z.  第一种解法是列的二元一次方程组，也就是这个三元一次方程组和它同解。 类比二元一次方程组的解法，如何实现“三元”化“二元”呢？ 类比学习 x+y+z=10，  3x+y=18，  x=y+z.  解：由方程 ，得 z = 10-x-y, ④  把④分别代入②和③，得 3x+y=18 x=y+(10-x-y) 解这个二元一次方程组，得 x=5 y=3. 代入④，得 z=10－5－3=2 所以原方程的解是 x=5 y=3 z=2 例. 解方程组： x+y+z=19，  x+2y-3z=11，  x=3y.  解法1：代入消元法 解：把③分别代入①和②，得 解这个方程组，得 所以，原方程组的解为 把y=4代入③，得x=12 类比学习 4y+z=19 5y-3z=11 联立方程 组，得 4y+z=19 5y-3z=11 y=4 z=3 x=12 y=4 z=3 解法2：加减消元法 ①×3+② ，得 解这个方程组，得 所以，原方程组的解为 类比学习 例. 解方程组： x+y+z=19，  x+2y-3z=11，  x=3y.  4x+5y=68 解： 由 组成方程组，得  4x+5y=68 x=3y ①，得 z=3 把x=12,y=4代入 x=12 y=4 x=12 y=4 z=3 归纳总结 解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减” 进行消元 把“三元”转化为“二元” 使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组 进而再转化为解一元一次方程 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 2(-9-2y+3z)-3y+z=10 3(-9-2y+3z)-2y+z=11, -7y+7z=28 -8y+10z=38 拓展练习 解方程组： 2x-3y+z=10，  x+2y-3z=-9，  3x-2y+z=11.  解：由方程②，得 x= -9-2y+3z, ④ 把④分别代入①和③，得 整理，得 解这个二元一次方程组，得 y=-1 z=3 把y=-1,z=3代入④，得 x=-9-2×(-1)+3×3=2 所以原方程组的解是 x=2 y=－1 z=3 C 课堂练习 1.下列各方程组中，是三元一次方程组的有（ ） x+y+z=1 3x-2y=1 2x-y=0 x+2y=4 3y-z=3 z=2x+3 x=y-2 2x+3y+z=12 3x-2y-z=15 A. B. C. D. 课堂练习 2.方程组 的解是_______________. 2x+y-z=4 x=4 y=6 z=10 3.解下列各方程组：（1） 3x+4y=18  6x+z=16  2x+y-z=3  (2) x+y+z=23，  x+2y-3z=-9，  3x-2y+z=11.  课堂练习 课堂练习 $$