精品解析：广西南宁市第三中学2024-2025学年高三下学期5月检测（二模）数学试题

南宁三中校二模数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若非零向量满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 5. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A. B. C. D. 7. 已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 10. 甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 11. 如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 直线与直线所成角的大小为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为3 三、填空题 12. 已知，则_____. 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 14. 已知曲线. （1）请写出曲线的一个整点（即横、纵坐标均为整数的点）：_____； （2）请写出曲线的一个对称中心：_____； 四、解答题 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围． 16. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 18. 为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． （1）若 ，求乙队以2：0获胜的概率； （2）若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； （3）若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 19. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； （3）若记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中校二模数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】集合，，所以. 故选：C 2. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以，其对应的点坐标为； 因此复数z对应的点位于第三象限． 故选：C 3. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质即可逐项判断. 【详解】对于A，因为，所以函数为奇函数，故A不正确； 对于B，因为，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C，因为，所以函数为奇函数，故C不正确； 对于D，因为，所以函数为非奇非偶函数，故D不正确． 故选：B． 4. 若非零向量满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式求得正确答案. 【详解】根据绝对值三角不等式有， 当且仅当同向时等号成立. 故选：D 5. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式计算即可. 【详解】如图所示：由题意得，， ， ， 故选：D. 6. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为，选B． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错． 7. 已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，利用距离公式列方程化简得，即可求解离心率. 【详解】由题意，，，则， 直线方程为，即， 与椭圆E：联立消y得，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，所以， 即，所以，所以，所以，所以（负根舍去）. 故选：B 8. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以. 令，则当时，. 因为在区间上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，时，得，时，得，其他值，均不合要求， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误； 对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 10. 甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则（ ） A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】BC 【解析】 【分析】将甲乙得分由低到高排列，再按照极差、平均数、中位数、方差的定义计算即可. 【详解】甲场比赛得分由低到高分别为， 乙场比赛得分由低到高分别为， 则甲的极差为，乙的极差为， 故甲得分的极差小于乙得分的极差，故A错误； 甲的平均数，乙的平均数， 则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故B正确； 甲的中位数为，乙的中位数为， 则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲的方差， 乙的方差， 故甲得分的方差小于乙得分的方差，故D错误. 故选：BC 11. 如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 直线与直线所成角的大小为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质得到平面，再由锥体的体积公式判断A，由线面垂直的性质判断B，取的中点，连接、，得到平面，则为直线与平面所成角，即可判断C，利用等体积法判断D. 【详解】对于A：因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又等边的边长为，，， 所以， 所以，故A正确； 对于B：因为平面，平面，所以， 即直线与直线所成角的大小为，故B错误； 对于C：取的中点，连接、，则， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又，在中，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D：因为，， 设点到平面的距离为，则，解得， 即点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正切展开式计算即可. 【详解】，所以. 故答案为：. 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 14. 已知曲线. （1）请写出曲线的一个整点（即横、纵坐标均为整数的点）：_____； （2）请写出曲线的一个对称中心：_____； 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】（1）对方程进行变形，通过分析可知必须为整数，进而求解即可；（2）设曲线的对称中心为，将的对称点代入原方程化简后通过对照系数，列出方程组求解即可. 【详解】（1）当时，原方程不成立，则， 故曲线可变形为， 若横、纵坐标均为整数，则必须为整数，故或； 当时，，当时，， 故曲线恰好经过两个整点和，（写出其中一个即可）. （2）假设曲线的对称中心为，将的对称点代入原方程： ， 整理得， 与原方程比较系数，有，解得， 说明曲线关于点对称. 故答案为：（答案不唯一）；. 四、解答题 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得，再根据的取值范围讨论导数正负.确定函数的单调区间. （2）把恒成立转化为.令，对其求导得，根据导数正负确定单调性，求出最大值，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 ， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 恒成立等价于，即． 令，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 所以的取值范围为． 16. 已知数列的首项，，，，． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，若，求最大正整数． 【答案】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）99 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，进而求证即可； （2）由（1）得，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 18. 为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响． （1）若 ，求乙队以2：0获胜的概率； （2）若 ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望； （3）若比赛打满3局的概率记为，请直接写出的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义. 【答案】（1） （2） （3）最大值为 ，此时 ，实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大 【解析】 【分析】（1）根据三局二胜制规则，乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜，因此概率为 代入 即可. （2） 的期望通过加权平均的方式计算，需分别计算 、 和 的概率，并结合 的取值进行加权求和. （3）打满3局的概率 是一个关于 的二次函数，其最大值出现在对称轴 处，最大值为 .这表明当两队实力相当时，比赛最有可能打满3局. 【小问1详解】 乙队以2:0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为 ，因此乙队以2:0获胜的概率为： 代入 ，得： 【小问2详解】 比赛结束时甲队获胜的局数 的可能取值为0、1或2.计算各情况的概率如下： ：甲队一局未胜，即乙队以2:0获胜，概率为 . ：甲队仅胜1局，乙队胜2局，可能的情况有两种（甲胜第1局或第2局），概率为： ：甲队胜2局，可能的情况有两种（甲胜前2局或前2局胜1局），概率为： 因此， 的期望为： 代入 ，得： 化简后得 . 【小问3详解】 比赛打满3局的概率 表示比赛进行到第3局才分出胜负. 这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此： 将 视为关于 的函数，其最大值出现在 处，最大值为： 实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大. 19. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值； （3）若记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，联立直线与抛物线C的方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可； （2）分别设出直线，的方程与抛物线C的方程联立，结合韦达定理表示出，进而解方程求解即可； （3）由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 当直线的斜率为1时，直线的方程为，设， 联立，得, 则，, 所以，即， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 设，直线， 联立，可得， 则， 设直线， 联立，得， 则，，即， 同理可得，即， 又，且， 所以， 将，，代入得， 又，则，又，则. 【小问3详解】 因为直线、的倾斜角分别为、， 所以，， 由，，， 则， 则， 若要使最大，则，设， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $