精品解析：2025年山东省潍坊市高密市九年级中考三模数学试题

九年级数学 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，共22小题，满分150分； 2．答卷前，请将答题卡上面的项目填涂清楚； 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．在每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（ ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A. 哈尔滨 B. 北京 C. 广州 D. 上海 2. 已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 4. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的弦，于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是中点，则长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分） 7. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 8. 如图，折线统计图表示某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）（月增量当月的销售量一上月的销售量）．下列说法正确的是（ ） A. 2月份的销售量为0.4万辆 B. 6月份的销售量最大 C. 6月份的销售量比1月份增加了1.3万辆 D. 2月份至4月份的月销售量持续减少 9. 如图，在▱中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点．连接并延长交于，连接，交分别于两点．下列结论正确是（ ） A. 是等边三角形 B. 四边形是菱形 C. D. 10. 如图1，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．设同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），下列结论正确的是（ ） A. B. 点的坐标为 C. 当时，的面积为 D. 当时，与相似 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 12. 当_____时，解分式方程会出现增根． 13. 如图，蜂巢的横截面由边长都相等的正六边形组成，为顶点，则的值为_______． 14. a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于______． 四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 17. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，中国航天事业又一次创造奇迹，刷新中国高度．为弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表： 成绩/分 频数/人 频率 10 01 15 0.35 40 请根据以上信息解答下列问题： （1）求的值，并补全频数直方图： （2）该校要对成绩为90分及以的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校900名学生中获得一等奖的学生人数； （3）该校某班级有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率． 18. 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则_______； （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，，且，求的长． 19. 如图，是的弦，是的切线，过点作于点，交于点，作直径交于点，连接． （1）求证：； （2）若半径长为，，求的长． 20. 如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． （1）求的长度； （2）已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与直线相交于两点． （1）求点的坐标； （2）连接，请判断的形状，并说明理由； （3）设点是反比例函数图象上的动点，过点作与直线平行的直线．连接．小亮用软件探索的面积随点运动时的变化规律，进而研究的取值特点．研究发现：当点取在不同的位置时，的面积可能相等，反过来说，当的面积为某个值时，对应的点有多个．小亮据此整理得到下面表格，请补全表格①～③处的内容． S值的范围 对应的点个数 m对应的范围 4个 ①___________ 3个 ②___________ 2个 ③___________ 22. 如图1，在平面直角坐标系中，一个三角形和二次函数图象的一部分围成的封闭图形，称为“冰激凌型”．已知是二次函数图象与轴的交点，的中点坐标为，二次函数的最小值为，点是轴上方的一个动点，． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，连接，，若得到的四边形有一组对边平行，求的长； （3）连接，请直接写出线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，共22小题，满分150分； 2．答卷前，请将答题卡上面的项目填涂清楚； 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分．在每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与济南气温最接近的城市是（ ） 城市 哈尔滨 北京 广州 济南 上海 气温/℃ 13 5 A. 哈尔滨 B. 北京 C. 广州 D. 上海 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，数轴上两点间的距离． 将各个城市的温度从小到大排列，再比较与济南接近的两个城市，即可解答． 【详解】解：∵，且， 即， ∴北京与济南气温最接近． 故选B． 2. 已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积计算，先利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆半径再乘以圆周率计算即可． 【详解】解：∵圆锥的高为4，底面圆的半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴该圆锥侧面展开图的面积是， 故选：C． 3. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大， 故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意． 故选：D． 4. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 5. 如图，为的弦，于点．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先由直角三角形的性质求出，再由圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 6. 如图，是的中点，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长，使，过点D作于点H，证明，得出，，证明，得出，得出，，根据勾股定理求出，，即可得出答案． 【详解】解：延长，使，连接，过点D作于点H，如图所示： ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分） 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】此题考查了单项式的乘法、积的乘方、负整数指数幂、合并同类项等知识．根据法则和公式计算后即可得到答案． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：AD． 8. 如图，折线统计图表示某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）（月增量当月的销售量一上月的销售量）．下列说法正确的是（ ） A. 2月份的销售量为0.4万辆 B. 6月份的销售量最大 C. 6月份的销售量比1月份增加了1.3万辆 D. 2月份至4月份的月销售量持续减少 【答案】BC 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图．根据相关概念和数据进行逐项分析即可． 【详解】解：设1月销量为x万辆， 根据图象得：2月份的销售量为：万辆， 3月份的销售量为：万辆， 4月份的销售量为：万辆， 5月份的销售量为：万辆， 6月份的销售量为：万辆， A．∵月增量当月的销售量上月的销售量，不知道1月份的销售量， ∴无法得到2月份的销售量，故该选项错误，不符合题意； B．由上面所设知，6月份的销售量最大，故该选项正确，符合题意； C．由上面所设知，6月份的销售量比1月份增加了1.3万辆， D．根据折线统计图知2月份至3月份销售的月增量呈上升趋势，3月份至4月份销售的月增量呈下降趋势，故该选项错误，不符合题意； 故选：BC． 9. 如图，在▱中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于两点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在平行四边形内交于点．连接并延长交于，连接，交分别于两点．下列结论正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 四边形是菱形 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，由作图可得，，平分，由不一定等于，即可判断A；由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，即可判断B；由菱形的性质得出，，利用，即可判断C；进而得出，即可判断D；由此即可解题． 【详解】解：由作图可得，，平分， ∵四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，故结论B正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故C结论正确； ， ∴，故D结论正确； ∵不一定等于，是等腰三角形，但不一定是等边三角形；故A结论不正确， 综上所述：正确结论BCD． 故选：BCD． 10. 如图1，为矩形的边上一点，动点同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．设同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图2（曲线为抛物线的一部分），下列结论正确的是（ ） A. B. 点的坐标为 C. 当时，的面积为 D. 当时，与相似 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定，解直角三角形．根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点到达点时点到达点，从而得到、的长度，再根据、是从秒到秒，可得的长度，然后表示出的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各小题分析解答即可． 【详解】解：根据图（1）可得，当点到达点时，点到达点， ∵点、的运动的速度都是秒， ， ， 根据图（2）得，从到的变化是秒， ， ， 在中，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； ∵， ∴点的坐标为，故B正确，符合题意； 如图（1）过点作于点， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ∴的面积为， 故C正确，符合题意； 当秒时，点在上， 此时，，，， ∴，与不相似， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与不相似，故D错误，不符合题意． 故选：BC． 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．将用科学记数法表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用科学记数法表示较小的数，解题的关键是正确理解科学记数法的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 12. 当_____时，解分式方程会出现增根． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先解方程可得，再由增根的定义可得，求出m的值即可． 【详解】解：去分母得， 由分母可知，分式方程的增根是， ∴当时，，解得， 故答案为：2． 13. 如图，蜂巢的横截面由边长都相等的正六边形组成，为顶点，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正多变的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，连接，作于，取的中点，连接、，设正六边形的边长为，求出，，，最后再由正切的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，取的中点，连接、， ， 设正六边形的边长为，由题意可得：，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴、均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按重复出现是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ， 由此可知，这列数按重复出现， ， ， 故答案为：4． 四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）解不等式组：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟练掌握运算法则和解不等式组的步骤是解题的关键． （1）先分别解每一个不等式，再取解集的公共部分作为不等式组的解集即可； （2）先进行括号内异分母的分式加法运算，再将除法化为乘法计算，最后将变形求解． 【详解】（1）解：， 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∴ ∴原式． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】（1） （2）的整数值有0，1，2． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； 【小问2详解】 由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 17. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，中国航天事业又一次创造奇迹，刷新中国高度．为弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表： 成绩/分 频数/人 频率 10 0.1 15 0.35 40 请根据以上信息解答下列问题： （1）求的值，并补全频数直方图： （2）该校要对成绩为90分及以的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校900名学生中获得一等奖的学生人数； （3）该校某班级有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率． 【答案】（1），；图见解析 （2）该校900名学生中获得一等奖的学生人数为人 （3） 【解析】 【分析】（1）成绩在的频数为10，频率为0.1，由频率，频数，总数的关系可求出调查人数，进而求出a、b的值；根据频数分布表中的频数补全频数分布直方图； （2）总人数乘以一等奖人数所占比例，再乘以样本中组人数所占比例即可； （3）用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 调查人数为：（人），，， 由各组频数补全频数分布直方图如下： ，； 【小问2详解】 （人） 答：该校900名学生中获得一等奖的学生人数为人； 【小问3详解】 用树状图法表示所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种， 所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率为． 18. 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则_______； （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，为线段上一点，，且，求的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，理解题中定义是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质推导可证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， 故答案：； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 19. 如图，是的弦，是的切线，过点作于点，交于点，作直径交于点，连接． （1）求证：； （2）若半径长为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合切线定义证，从而可得，再由等边对等角、同弧所对圆周角相等可得、，得到后即可得证； （2）连接、，根据可得，推得后，利用勾股定理求出，，用“角角边”证明后，根据全等三角形的性质即可得的长． 【小问1详解】 证：连接， 是的切线，过点作于点， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接、， 由（1）得， ， 是直径， ， ， 即， 半径长为， ， 中，， 即， ，， ， ， 和中， ， ， ． 【点睛】本题考查知识点是切线定义、平行线的性质与判定、等边对等角、同弧所对圆周角相等、已知正切值求边长、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握圆的相关性质． 20. 如图是路线平面示意图，是动物园入口，是入口附近的三个展区，小亮和小颖相约入口一起去参观，由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．已知展区在起点的东北方向，小亮从起点出发沿正北方向走了900米到达展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区；小颖从起点出发沿正东方向走到展区，在展区参观9分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区． （1）求的长度； （2）已知小亮的平均速度为90米/分钟，小颖的平均速度为60米/分钟，若两人同时从入口出发，请通过计算说明谁会先到达展区． 【答案】（1）米 （2）小亮先到 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， （米）， ∴米， ∴小亮所花时间：（秒）， 小颖所花时间：（秒）， ∵， ∴小亮先到达展区． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与直线相交于两点． （1）求点的坐标； （2）连接，请判断的形状，并说明理由； （3）设点是反比例函数图象上的动点，过点作与直线平行的直线．连接．小亮用软件探索的面积随点运动时的变化规律，进而研究的取值特点．研究发现：当点取在不同的位置时，的面积可能相等，反过来说，当的面积为某个值时，对应的点有多个．小亮据此整理得到下面表格，请补全表格①～③处的内容． S值的范围 对应的点个数 m对应的范围 4个 ①___________ 3个 ②___________ 2个 ③___________ 【答案】（1） （2）是等腰三角形 （3）①且；②或6；③ 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， （1）联立反比例函数与一次函数的解析式，即可解答． （2）根据两点之间的距离公式，即可解答． （3）根据题意，求出当直线图象与反比例函数图象只有一个交点时的m值，再将将直线向右平移1个单位长度，可得，结合图形，继而分类讨论，即可解答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与直线相交于两点． ∴即， 解得， 当时，；当时， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴，，， ∴，且， ∴是等腰三角形． 【小问3详解】 当直线图象与反比例函数图象只有一个交点时， 有，即 ∴， 解得（不符合题意，舍去） ， 可知将直线向右平移1个单位长度，可得； 可知将直线向右平移1个单位长度，可得， 如图， 可知当或6时，，即对应的点个数有3个； 当且时，，即对应的点个数有4个； 当时，，即对应的点个数有2个． 故答案为①且；②或6；③． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，一个三角形和二次函数图象的一部分围成的封闭图形，称为“冰激凌型”．已知是二次函数图象与轴的交点，的中点坐标为，二次函数的最小值为，点是轴上方的一个动点，． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，连接，，若得到的四边形有一组对边平行，求的长； （3）连接，请直接写出线段最大值． 【答案】（1）或 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为点C，则，，确定，，从而确定抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，代入一个点的坐标，解答即可； （2）设的外接圆圆心为E，连接，，分两种情况求解即可； （3）根据点圆的最值解答即可． 【小问1详解】 解：设的中点为点C，则，， ∴，， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最小值为， 不妨设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为或． 【小问2详解】 解：设外接圆圆心为E，连接，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，直线是线段的垂直平分线，， ∴，的外接圆半径为， ∴， 当时， 过点A作于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的外接圆直径， ∴， 综上所述，或． 【小问3详解】 解：设的外接圆圆心为E，连接，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，直线是线段的垂直平分线，， ∴，的外接圆半径为， ∴， ∴当三点共线时，取得最大值， ∴， ∴取得最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，点圆的最值计算，正弦函数的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$