精品解析：2024年山东省潍坊市高密市中考数学三模试题

2023—2024学年度第二学期三模质量监测九年级数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟； 2.答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3.请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题，44分） 一、单项选择题（共6小题，每题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 下列运算中正确是（ ） A. B. C. D. 2. 榫卯是我国古代建筑、家具一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放（直尺一边过点B），若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x增大而减小 B. C. 当时， D. 方程组的解为 二、多项选择题（共4小题，每题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） 7. 一元二次方程的两根为和，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数（）图象上部分点的坐标对应值列表如表： x … 0 1 … y … 2 2 … 则下列说法正确的是（　　） A. 对称轴是直线 B. 开口向上 C. 抛物线与坐标轴有3个交点 D. 当时，y随x的增大而减小 9. 如图，在的正方形方格图形中，点A，B，C，O都在格点上，与小正方形的边交于点D，则下列说法正确的是（　　） A. 为直角三角形 B. 连接，则点O在上 C. 点O为的外心 D. 10. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示．(温馨提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时，拉力与之间的函数表达式为 C. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 第Ⅱ卷（非选择题，106分） 一、填空题（共4小题，每题4分，共16分．只写最后结果） 11 分解因式：＝________________． 12. 如图，的边为的直径．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，．再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，射线与交于点．点为上一点，连接，．若，则的度数为____． 13. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式________．（要求答案为具体的数值） 14. 如图，直棱柱包装盒子的上、下底面边长都是的正六边形，侧棱长，如果用丝线从点A处开始经过六个侧面缠绕n圈到达点B，则丝线长最短需要_____ ． 四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中x为方程的根． 16. 某校为了解班级学生参加课后服务学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A．很好；B．较好；C．一般；D．不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为多少人； （2）条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整； （3）该校九年级共有学生1200名，请你估计“达标”的共有多少人； （4）为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 17. 已知梯形中，，点E，点F分别为，的中点. （1）请直接写出与，之间的位置关系和数量关系； （2）请证明（1）的结论. 18. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 19. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 20. 数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 【实验过程】 如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间x/ 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/ 0 19 36 51 64 75 … 【问题解决】 （1）根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出v，y满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） （2）当小球在水平木板停下来时，求小球的滑行距离． 21. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，连接、． （1）如图2，点E落在对角线上，与相交于点H， ①连接，求证：四边形是平行四边形； ②求线段的长度； （2）在矩形绕点A旋转一周的过程中，面积的最大值为 ． 22. 某兴趣小组开展综合实放活动：在正方形中，，动点P以每秒1个单位的速度从B点出发匀速运动，到达点C时停止，作的垂线交于点M，连接，设点P的运动时间为t（），的面积为S，探究S与t的关系． （1）如图1，当点P由B点向C点运动时， ①当时， ， ； ②经探究发现S是关于t的函数，请写出S关于t的关系式； （2）如图2，若存在两个时刻，（）对应的的面积S相等．请直接写出“”的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期三模质量监测九年级数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟； 2.答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3.请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题，44分） 一、单项选择题（共6小题，每题4分，共24分．每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加法及除法运算、完全平方公式及积的乘方，利用整式的加法及除法运算、完全平方公式及积的乘方的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、不是同类项，不能进行合并，则错误，故不符合题意； B、，则错误，故不符合题意； C、，则错误，故不符合题意； D、，则正确，故符合题意； 故选D． 2. 榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，如图是其中一种榫，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：该几何体的主视图是： 故选：B． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 3. 将一把含角的直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放（直尺一边过点B），若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，利用平行线性质，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：由题知， ，， ， ， ， ， 故选：B． 4. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案． 【详解】解：设点的坐标是， ， ，， 与位似，原点是位似中心，， ，， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念及性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 6. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x的增大而减小 B. C. 当时， D. 方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、多项选择题（共4小题，每题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） 7. 一元二次方程的两根为和，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，以及完全平方公式的应用，根据韦达定理，，得到，，再利用完全平方公式对其进行变形，进而判断各选项，即可解题． 【详解】解：由题知，，， 故A项错误，不符合题意；B项正确，符合题意； ， ， 故D项错误，不符合题意； ， ， ， 故C项正确，符合题意； 故选：BC． 8. 二次函数（）图象上部分点的坐标对应值列表如表： x … 0 1 … y … 2 2 … 则下列说法正确的是（　　） A. 对称轴是直线 B. 开口向上 C. 抛物线与坐标轴有3个交点 D. 当时，y随x增大而减小 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．根据表中数据特点，得到二次函数对称轴，二次函数的增减性，开口方向，以及与坐标轴交点情况，即可解题． 【详解】解：由表可知，时，，时，， 对称轴是直线， 故A项正确，符合题意； ，，即对称轴左侧，y随x的增大而增大， 开口向下， 故B项错误，不符合题意； 由表可知，时，，时，， 以及时，，时，， 与轴有两个交点，且交点横坐标在与之间， 以及时，，即与轴交点， 抛物线与坐标轴有3个交点， 故C项正确，符合题意； 当时，y随x的增大而减小, 故D项错误，不符合题意； 故选：AC． 9. 如图，在的正方形方格图形中，点A，B，C，O都在格点上，与小正方形的边交于点D，则下列说法正确的是（　　） A. 为直角三角形 B. 连接，则点O在上 C. 点O为的外心 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心，网格与勾股定理，角余弦的求解，解直角三角形的相关应用，勾股定理逆定理的应用，根据相关定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，，， 不是直角三角形，A选项不符合题意； B、如图，过点D作，过点O作， ， ，，，， ， ， ，， 即， 点O在上，B选项符合题意； C、三角形外心为三角形三边垂直平分线的交点，由图可点O不在的垂直平分线上，故点O不是的外心，C不符合题意， D、如图， ，， ， ， D选项正确， 故选：BD． 10. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示．(温馨提示：当石块位于水面上方时，当石块入水后，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块水里 B. 当时，拉力与之间的函数表达式为 C. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】由题图可知，石块下降到时，石块正好接触水面，故选项A错误； 当时，设所在直线的函数表达式为 ， 则 解得 ，故选项B错误； 当石块下降的高度为时，即时， ， ， 故选项C错误； 当即3=， 解得， 石块距离水底的距离为， 故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，106分） 一、填空题（共4小题，每题4分，共16分．只写最后结果） 11. 分解因式：＝________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式再利用公式法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，的边为的直径．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交边，于点，．再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，射线与交于点．点为上一点，连接，．若，则的度数为____． 【答案】##63度 【解析】 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据题意可得：平分，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答．本题考查了角平分线的性质，圆周角定理，作图基本作图，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：为的直径， ， 由题意得：平分， ， ， ， 故答案为：． 13. 对于实数x，用表示不超过x的最大整数，记．如，，若，，则代数式________．（要求答案为具体的数值） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合计算，先估算出，再根据新定义得到，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，直棱柱包装盒子的上、下底面边长都是的正六边形，侧棱长，如果用丝线从点A处开始经过六个侧面缠绕n圈到达点B，则丝线长最短需要_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】要求直棱柱中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将直棱柱展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理解答．本题主要考查平面展开最短路径问题，解题的关键是得到两条直角边分别是和，根据两点之间线段最短，运用勾股定理进行解答． 【详解】解：将直棱柱展开，连接． 从点开始经过6个侧面缠绕圈到达点，相当于两条直角边分别是和， 根据两点之间线段最短，则． 故答案为：． 四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）计算：； （2）先化简，再求值，其中x为方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，分式的化简求值，解一元二次方程． （1）先化简二次根式，绝对值和特殊角三角函数值，以及乘方，然后再进行加减运算即可； （2）先利用分式的混合运算化简分式，再求解一元二次方程，根据分式有意义的条件进行取值，将取值代入化简后的分式求解，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ， 由得，或， 当，或1时，原分式无意义， ， 当时，原式． 16. 某校为了解班级学生参加课后服务的学习效果，李老师对本班部分学生进行了为期一个月的追踪调查，他将调查结果分为四类：A．很好；B．较好；C．一般；D．不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为多少人； （2）条形统计图缺少C组女生和D组男生的人数，请将它补充完整； （3）该校九年级共有学生1200名，请你估计“达标”的共有多少人； （4）为了共同进步，李老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 【答案】（1）此次调查的总人数为20人 （2）条形统计图缺少C组女生的人数为3人，D组男生的人数为1人，统计图见解析 （3）估计“达标”的共有1080人 （4）P（所选两位同学恰好是相同性别） 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，用样本估计总体以及条形统计图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由等级的人数除以所占百分比即可； （2）用总人数分别乘以“一般”和“不达标”所占的百分比求出、类的男女生人数和，再求出等级的女生和等级的男生，然后补全统计图即可； （3）用总人数乘以达标的人数所占的百分比即可； （4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人， 答：此次调查的总人数为20人； 【小问2详解】 组的人数为：（人， 组女生人数为：（人， 组人数为：（人， 组男生人数为：（人， 补全统计图如下： 【小问3详解】 （人， 答：估计“达标”的共有1080人； 【小问4详解】 由题意画树形图如下： 从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是相同性别的结果共有3种． 所以P（所选两位同学恰好是相同性别）． 17. 已知梯形中，，点E，点F分别为，的中点. （1）请直接写出与，之间的位置关系和数量关系； （2）请证明（1）的结论. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查梯形中位线定理的证明，掌握全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据题干条件猜想出结论即可； （2）连接，并延长交的延长线于点，证明，得到，，再根据三角形中位线定理证明即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：连接，并延长交的延长线于点， ， ， 点E为的中点， ， ， ， ，， 点E为的中点， 点F为的中点， ，， ，． 18. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6 （2）线段的长度为21.8 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 小问1详解】 解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6； 【小问2详解】 如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则（），（）， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）， 答：线段的长度为21.8 ． 19. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作交于点，连接并延长交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由得，进而得，又由得，即可由得到，据此即可求证； （）由得，即可得，得到，进而得，，，连接，证明，得到，据此即可求解； 此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，切线的判定定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用． 【实验过程】 如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据． 记录的数据如下： 运动时间x/ 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/ 0 19 36 51 64 75 … 【问题解决】 （1）根据v，y随x的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出v，y满足的函数关系式；（不用写出自变量的取值范围） （2）当小球在水平木板停下来时，求小球的滑行距离． 【答案】（1）v与x的函数关系为；y与x的函数关系式为；（2）当小球在水平木板停下来时，此时小球的滑行距离100． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表中数据分析，再利用待定系数法解答即可； （2）令，求得小球停下来的时间，再将代入y与x的函数关系式解答即可； 【详解】解：（1）由题中表格可知， v随x变化而均匀变化， 所以v与x的函数关系为一次函数关系， 设， 代入，，得， 解得：， 所以v与x的函数关系为； 由题中表格可知，y没有随x的变化而均匀变化，排除一次函数，又……，排除反比例函数，即y与x的函数关系为二次函数关系， 因为函数过，设， 代入，得：， 解得：， 所以y与x的函数关系式为； （2）当时， 解得：． 分将代入得：． 当小球在水平木板停下来时，此时小球的滑行距离100． 21. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点A按逆时针方向旋转得到矩形，连接、． （1）如图2，点E落在对角线上，与相交于点H， ①连接，求证：四边形是平行四边形； ②求线段的长度； （2）在矩形绕点A旋转一周的过程中，面积的最大值为 ． 【答案】（1）①见解析 ② （2） 【解析】 【分析】（1）①证明， 得出由平行四边形的判定可得出结论； ②证明，得出，由勾股定理可得出答案； （2）由旋转的性质画出图形，由三角形面积可求出答案. 【小问1详解】 ①证明： 如图， ∵四边形形是矩形， ， ∵旋转， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ②设， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 又 ， ， ， ． 【小问2详解】 ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴旋转过程中，是定值， 当三点共时， 三角形的面积最大，如图， 此时 ． 故答案： ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 某兴趣小组开展综合实放活动：在正方形中，，动点P以每秒1个单位的速度从B点出发匀速运动，到达点C时停止，作的垂线交于点M，连接，设点P的运动时间为t（），的面积为S，探究S与t的关系． （1）如图1，当点P由B点向C点运动时， ①当时， ， ； ②经探究发现S是关于t的函数，请写出S关于t的关系式； （2）如图2，若存在两个时刻，（）对应的的面积S相等．请直接写出“”的值． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用正方形性质和垂直的定义，证明，利用相似三角形性质求出，进而得到，最后根据进行求解，即可解题； ②由题知，，，由①同理可得，进而得到，最后根据列出关系式，即可解题； （2）根据S关于t的关系式得到其对称轴，再根据题意得到，关于对称轴对称，即可解题； 【小问1详解】 解：①四边形是正方形，， ，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，， ，解得， ， ． 故答案为：，． ②由题知，，， 由①同理可得：，解得， ， ； 【小问2详解】 解：， 函数图象对称轴为， 两个时刻，（）对应的的面积相同． 即，关于对称轴对称， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，三角形面积公式，二次函数的应用，二次函数的图象和性质，解题的关键在于掌握二次函数的图象和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$