第04讲 因式分解（5知识点+8大考点+4拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

第04讲 因式分解（5知识点+8大考点+4拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：因式分解的概念 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 知识点2：公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 知识点3：公因式法分解因式 定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 实质：乘法分配律的逆用. 关键：准确找出多项式各项的公因式. 知识点4：公因式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 知识点5：因式分解的一般步骤： 考点一：判断是否是因式分解 例1．下列变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【变式1-3】观察下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中是因式分解的是 （填序号）． 考点二：公因式 例2．将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 【变式2-1】把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】整式中各项的公因式是 ． 【变式2-3】多项式各项的公因式是 ． 考点三：提公因式分解因式 例3．已知，，则的值为（   ） A．5 B．12 C． D． 【变式3-1】若，则代数式A 为（　　） A．a B． C． D． 【变式3-2】分解因式： ． 【变式3-3】分解因式： (1) (2)． 考点四：平方差公式分解因式 例4．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】分解因式： ． 【变式4-2】分解因式： ． 【变式4-3】求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除． 考点五：完全平方公式分解因式 例5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式5-2】若多项式，则P的最小值是 ． 【变式5-3】小白同学在学习中发现，对于可以使用以下方法分解因式． ． 这种方法是在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式．请使用小白同学发现的方法把分解因式； 考点六：综合运用公式法分解因式 例6．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【变式6-1】分解因式： ． 【变式6-2】分解因式： ． 【变式6-3】因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 考点七：十字相乘法 例7．小明把多项式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【变式7-1】多项式分解因式为，其中为整数，则的值不可能是（  ） A． B． C． D． 【变式7-2】因式分解： ． 【变式7-3】因式分解： 考点八：分组分解法 例8．下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】因式分解： ． 【变式8-2】分解因式 ． 【变式8-3】阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 拓展训练一：利用换元法因式分解 1．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，面且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（     ）； A．提取公因式法  B．完全平方公式法  C．平方差公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 2．阅读与思考： 材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______填写选项． A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的平方公式 D.两数差的平方公式 （2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______填彻底或不彻底；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 3．阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值； (2)请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． (3)综合运用： 若实数x满足，求的值． 4．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式： 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 拓展训练二：利用因式分解求最值 1．（1）分解因式： ①_________； ②_________． （2）根据以上两式，试求x、y各取何值时，的值最小？并求此最小值． 2．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0． ． 当时，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________． (2)知识运用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________． (3)知识拓展：若，求的最小值． 3．上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 4．阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是， ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______； (2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (4)知识拓展：若，求的最小值． 拓展训练三：因式分解的新定义问题 1．阅读与思考 下面是小欣关于“智慧优数”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 解密“智慧优数” 概念理解： 如果一个正整数能表示为另外两个不相邻的正整数，的平方差，即，其中，则称这个正整数是一个“智慧优数”例如，，16就是一个“智慧优数”我们可以逆用平方差公式来研究“智慧优数”，即． 特例构造： 根据定义，可从不相邻的两个正整数入手，不重不漏地构造“智慧优数”，思路如下： 当时，的值依次可取3，4，5，6，⋯⋯，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”； 当时，的值依次可取4，5，6，7，⋯⋯，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”； 当时，重复上述步骤，即可得到更多的“智慧优数”． 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，由两个不相邻的正整数，构造出的“智慧优数”与这两个正整数的差之间存在特定的关系，分类讨论如下： 情况一：当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除． 理由如下：设（为正整数），则， 则“智慧优数” …… 所以，当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除．情况二：当与的差是奇数时，在由与构造“智慧优数”的过程中，可得出下列结论： A．一定是奇数    B．与均为奇数    C．一定是与差的奇数倍…… 任务： (1)请根据“特例构造”中的思路，直接写出一个小于16的“智慧优数”； (2)请将“规律剖析”中情况一的说理过程补充完整； (3)“规律剖析”中情况二所得的结论，所有正确的结论为_______（填结论的序号）； (4)按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为_________． 2．定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 3．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 4．定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 拓展训练四：因式分解的应用 1．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：，，；则12、20、28这三个数都是完美数． (1)按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； (2)证明：任意一个完美数都能够被4整除； (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为28，求阴影部分的总面积． 2．我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 3．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____； 拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 4．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 3．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D．6 4．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 6．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．39 C．61 D．68 7．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）因式分解： ． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，且，则 9．（2025·浙江·三模）已知，则的值为 ． 10．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，则的值为 ． 11．（24-25九年级下·福建厦门·期中）若 ，则 （请用“”“”或“”表示) 12．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为 ． 13．（2025七年级下·浙江·专题练习）利用分解因式简便运算：． 14．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 15．（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 16．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________． 【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________； 【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因． 【应用】已知，，求的值． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． (1)则图③可以解释为等式：______． (2)如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______． (3)在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 因式分解（5知识点+8大考点+4拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：因式分解的概念 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【补充说明】 1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可. 2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止. 3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 知识点2：公因式 定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式. 注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 知识点3：公因式法分解因式 定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：. 实质：乘法分配律的逆用. 关键：准确找出多项式各项的公因式. 知识点4：公因式法分解因式 定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法. 逆用平方差法分解因式： 逆用完全平方公式分解因式： 知识点5：因式分解的一般步骤： 考点一：判断是否是因式分解 例1．下列变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了因式分解的定义，理解定义“将一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解．”是解题的关键． 【详解】解：A、是整式运算，故不符合题意； B、是因式分解，故符合题意； C、不能进行因式分解，故不符合题意； D、不能进行因式分解，故不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是判断是否是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义： 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解,逐一判断即可． 【详解】解：．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误； ．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误； ．符合因式分解定义，符合题意，选项正确； ．不符合几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，不符合题意，选项错误． 故选：． 【变式1-2】下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 【变式1-3】观察下列从左到右的变形：①；②；③；④．其中是因式分解的是 （填序号）． 【答案】③ 考点二：公因式 例2．将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 【变式2-1】把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，根据公因式的确定方法解答即可，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：． 【变式2-2】整式中各项的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了寻找多项式中的各项的公因式.先找出公因式的系数，即各项系数的最大公约数，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次幂. 【详解】解：由题意可知：各项系数的最大公约数为2，相同的字母为和x，和x的最小指数都为1， ∴整式中各项的公因式是， 故答案为：. 【变式2-3】多项式各项的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，多项式的公因式为， 故答案为：． 考点三：提公因式分解因式 例3．已知，，则的值为（   ） A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是正确进行因式分解并计算．先对进行提公因式，在代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 【变式3-1】若，则代数式A 为（　　） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得，再把分子分解因式并把分子与分母约分即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 【变式3-2】分解因式： ． 【答案】 【分析】提取公因式进行因式分解即可．本题主要考查了因式分解—提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3-3】分解因式： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点四：平方差公式分解因式 例4．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的多项式的特点．根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； 故选：D． 【变式4-1】分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分解因式，平方差公式；根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式4-2】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用平方差公式分解因式．先计算多项式乘以多项式，之后合并同类项，利用平方差公式分解因式即可求出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-3】求证：对于任意整数，多项式的值都能被16整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，利用平方差公式把式子分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】证明： ， 多项式的值都能被16整除． 考点五：完全平方公式分解因式 例5．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式．是解题的关键 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、，不能用完全平方公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、，能用完全平方公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式5-1】若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方的形式，第三项是这两个数的积的2倍，即或，解得结果即可． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴或， 即：； 故选：A． 【变式5-2】若多项式，则P的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴P的最小值是2009， 故答案为：2009． 【变式5-3】小白同学在学习中发现，对于可以使用以下方法分解因式． ． 这种方法是在二次三项式中先加上9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式．请使用小白同学发现的方法把分解因式； 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，因式分解的完全平方公式和平方差公式，关键是通过配方使二次三项式为完全平方公式．二次三项式中先加上16，使它与的和成为一个完全平方式，再减去16，整个式子的值不变，从而可以进一步使用平方差公式继续分解因式． 【详解】解：， ， ， ． 考点六：综合运用公式法分解因式 例6．已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式6-1】分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 综合利用公式法分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式6-2】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【变式6-3】因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键． （1）用提出公因式分解因式即可； （2）用提出公因式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式进行分解，即可求解； （4）先根据平方差公式分解，再利用完全平方公式进行分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 考点七：十字相乘法 例7．小明把多项式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【答案】D 【分析】此题考查了多项式的因式分解，设，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值． 【详解】解：设， ∴ ∴ ∴， 故选：D 【变式7-1】多项式分解因式为，其中为整数，则的值不可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，根据题意可得，进而将进行分解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 的取值不可能是6 故选：A． 【变式7-2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；先对代数式进行化简，然后再根据十字相乘法可进行因式分解 【详解】解：原式 ； 故答案为： ． 【变式7-3】因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 考点八：分组分解法 例8．下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式． 通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式． 【详解】 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 【变式8-1】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用分组分解法进行因式分解．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，后三项可以利用完全平方公式分解因式，且与第一项可以继续利用平方差公式分解因式，所以应考虑为一组． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式8-2】分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了用分组分解和十字相乘法因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法． 先将因式分组分解，再通过十字相乘法，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式8-3】阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先运用完全平方公式把第一项，第二项和第三项进行因式分解，再将看作整体，最后再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 拓展训练一：利用换元法因式分解 1．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，面且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（     ）； A．提取公因式法  B．完全平方公式法  C．平方差公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你直接写出该因式分解的最后结果； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了分解因式，完全平方公式进行因式分解，能正确运用完全平方公式进行分解因式是解此题的关键，注意：，． （1）根据完全平方公式得出即可； （2）根据完全平方公式得出即可； （3）先换元，再分解因式，再代入，最后求出即可． 【详解】（1）解：依题意，第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：B； （2）解：依题意，， （3）解：依题意，设 ∴原式 把代入上式， 得． 2．阅读与思考： 材料：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是小影同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）小影同学第二步到第三步运用了因式分解的______填写选项． A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的平方公式 D.两数差的平方公式 （2）小影同学因式分解的结果是否彻底？______填彻底或不彻底；若不彻底，请你帮她直接写出因式分解的最后结果______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）  ；（2）不彻底，；（3）． 【分析】（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式，即可得出选项； （2）根据完全平方公式中的两数差的平方公式可继续进行因式分解； （3）根据材料，用换元法进行分解因式即可． 【详解】解：（1）小影同学第二步到第三步运用了完全平方公式中两数和的平方公式， 故选：C； （2）小影同学因式分解的结果不彻底， 原式 ， 故答案为：不彻底，； （3）设， 原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 3．阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值； (2)请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． (3)综合运用： 若实数x满足，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用完全平方公式分解因式和换元法分解因式． （1）根据已知条件，利用完全平方公式求出即可； （2）①设，把含有的多项式换元成含有的多项式，然后利用完全平方公式分解因式即可； ②把当作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可； （3）设，，先求出，，根据已知条件求出，然后利用，求出即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）①设， 原式 ， 故答案为：； ②； （3）设，， ， 实数满足， ， ， ， ， ， ， ． 4．材料1：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如分解因式： 材料2：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． 请你根据以上阅读材料解答下列问题： (1)根据材料1将因式分解； (2)根据材料2将因式分解； (3)结合材料1和材料2，将因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解．看懂和理解题例是解决本题的关键． （1）根据题干提供的信息直接进行因式分解即可； （2）令，利用材料2的方法，进行因式分解即可； （3）设，把原多项式换元后因式分解，再代入即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：设， 则原式 ． （3）解：， 则 ， ． 拓展训练二：利用因式分解求最值 1．（1）分解因式： ①_________； ②_________． （2）根据以上两式，试求x、y各取何值时，的值最小？并求此最小值． 【答案】（1）①；②；（2），时，有最小值5 【分析】（1）根据完全平方公式，即可求解， （2）运用完全平方公式变形，根据有最小值列式，求出x、y和的最小值即可． 本题考查了，公式法分解因式，完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． 【详解】解：（1）①； ②， 故答案为①；②； （2） ， ∵，， ∴当，时，即，时，有最小值5． 2．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ， 当时，的值最小，最小值是0． ． 当时，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当___________时，代数式的最小值是___________． (2)知识运用：若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3；4 (2)1；大； (3) 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式和非负数的性质解答． （1）依据题意得，，进而根据偶次方的非负性求解即可； （2）依据题意得，，进而根据偶次方的非负性求解即可； （3）由，可得，进而，又，故，即，从而可以判断得解． 【详解】（1）． ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是4， ∴的最小值是4． 故答案为：3；4． （2）． ∵， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴． ∴当时，的值最大，最大值是， ∴当时，有最大值，这个值是． 故答案为：1；大；． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∴当时，取最小值为． 3．上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)大， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质， 解题的关键是能够对二次三项式进行分解因式． （1）利用完全平方公式后即可确定最小值； （2）利用完全平方公式后即可确定当时能取到最大值； （3）首先得到有关的代数式，然后利用完全平方公式确定最小值即可． 【详解】（1）解：； 而 当时， 的值最小，最小值是0， ； ∴当时，有最小值3； （2）解：， 而， 当时， 的值最大，最大值是0， ； ∴当时有最大值； （3）解：∵， ， ， ∴当 时， 的最小值为． 4．阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． (1)例如：①， 是非负数，即，， 则这个代数的最小值是2，这时相应的的值是， ②， 是非负数，即，， 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是_______； (2)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (3)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______； (4)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)，3 (2)2，1 (3)1，大，3 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据可得当时，取得最小值，由此即可得； （2）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得； （3）利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得； （4）先根据已知等式可得，再利用完全平方公式可得，根据是非负数求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴这个代数式的最小值是，此时， ∴这个代数式取得最小值时，相应的的值是， 故答案为：，3． （2）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为1， 故答案为：2，1． （3）解： ， ∵是非负数，即， ∴， ∴当，即时，有最大值，最大值为3， 故答案为：1，大，3． （4）解：， ， 则 ， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 拓展训练三：因式分解的新定义问题 1．阅读与思考 下面是小欣关于“智慧优数”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 解密“智慧优数” 概念理解： 如果一个正整数能表示为另外两个不相邻的正整数，的平方差，即，其中，则称这个正整数是一个“智慧优数”例如，，16就是一个“智慧优数”我们可以逆用平方差公式来研究“智慧优数”，即． 特例构造： 根据定义，可从不相邻的两个正整数入手，不重不漏地构造“智慧优数”，思路如下： 当时，的值依次可取3，4，5，6，⋯⋯，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”； 当时，的值依次可取4，5，6，7，⋯⋯，分别计算的值，即可求得一组“智慧优数”； 当时，重复上述步骤，即可得到更多的“智慧优数”． 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，由两个不相邻的正整数，构造出的“智慧优数”与这两个正整数的差之间存在特定的关系，分类讨论如下： 情况一：当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除． 理由如下：设（为正整数），则， 则“智慧优数” …… 所以，当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除．情况二：当与的差是奇数时，在由与构造“智慧优数”的过程中，可得出下列结论： A．一定是奇数    B．与均为奇数    C．一定是与差的奇数倍…… 任务： (1)请根据“特例构造”中的思路，直接写出一个小于16的“智慧优数”； (2)请将“规律剖析”中情况一的说理过程补充完整； (3)“规律剖析”中情况二所得的结论，所有正确的结论为_______（填结论的序号）； (4)按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为_________． 【答案】(1)8或12或15 (2)详见解析 (3)A，C (4)20 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用． （1）根据根据“特例构造”中的思路求解即可； （2）把分解因式即可； （3）将变形为即可求解； （4）在（1）的基础上继续求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴ 一个小于16的“智慧优数”可以是8或12或15； （2）情况一：当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除． 理由如下：设（为正整数），则， 则“智慧优数” ∴当与的差是偶数时，由与构造出的“智慧优数”能被4整除． （3）情况二：当与的差是奇数时，在由与构造“智慧优数”的过程中， 设（为正整数），则， 则“智慧优数” ， ∵，都是奇数， ∴是奇数， ∴一定是奇数，一定是与差的奇数倍． 故选AC； （4）∵，，，，， ∴按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为20． 故答案为：20． 2．定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【答案】(1)①2或5或8②是 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，写出一个对称数即可；②，即可得出结论； （2）结合完全平方公式，将转化为的形式，进行求解即可； （3）设，求出，并进行转化，判断即可． 【详解】（1）解：①； 故这个“对称数”可以是2或5或8； ②∵， ∴45是“对称数”； 故答案为：是； （2）， ∵M为“对称数”， ∴为一个完全平方数， ∵， ∴或． （3）设， 则： ； ∴也是“对称数”． 3．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（，为实数）的数叫做复数．其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似，例如， ①； ② ③； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将用公式法分解成两个复数的积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，公式法因式分解，理解新定义的运算法则是关键． （1）利用复数的运算法则运算解题； （2）先根据复数的定义计算，再合并即可求解； （3）根据复数的定义将所求式子变为，再利用平方差公式因式分解即可； 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）， ； （3）． 4．定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”． (1)若，，则，的“和积数”_____； (2)若，，求，的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，若，求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)c的值为或 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：由题意得：， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 拓展训练四：因式分解的应用 1．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：，，；则12、20、28这三个数都是完美数． (1)按照上述规律，将完美数2028表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； (2)证明：任意一个完美数都能够被4整除； (3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形，其边长为28，求阴影部分的总面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)420 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用等知识，解题的关键是： （1）把写成和的平方差即可； （2）设两个连续的偶数为、，n为正整数，根据完美数写出该数，然后根据平方差计算计算得出，最后根据整除的定义即可得证； （3）结合图形可得出阴影部分的面积为，然后根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）证明：设两个连续的偶数为、，n为正整数，则完美数为， ∴ ， ∵n为正整数， ∴为奇数， ∴能被4整除， 即任意一个完美数都能够被4整除； （3）解：根据题意，得 ． 2．我们知道，，关于这个公式的推导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种推导方法： 首先，我们知道：， 变形一下，就是， 依次给一些特殊的值：，，，，我们就能得到下面一列式子： ； ； ； ； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到，观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为就是：，把表示出来，得到：．用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减运算，完全立方公式，因式分解的应用，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． 仿照题干进行求解即可． 【详解】解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 3．感知：（1）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图1中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为_______； 应用：（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2所示的是棱长为的正方体被分割线分成8块．用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个式子为_____； 拓展：（3）如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为，乙长方体的体积为，丙长方体的体积为，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为． 根据（2）和（3）中的结论解答下列问题：若图2与图3中的与的值分别相等，且满足，，其中，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了因式分解法应用，数形结合思想和整体代入思想是解题的关键． （1）用两种方法表示图1中的大正方形的面积即可得解． （2）用两种方法表示图2中正方体的体积即可得解． （3）将和用含有，的式子表示出来即可得解． 【详解】解：（1）图1中的大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （2）图2中正方体的体积可以表示为，也可以表示为， 因此可得． 故答案为：． （3），， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 4．小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； (2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； (3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或； （2）根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； （3）， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，，． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 【答案】B 【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解和整式混合运算，根据题意求出，，即可求出的值． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴解得， ∴．即 ∵ ∴ 解得 故选：C． 4．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【详解】， 则余下的部分是x． 故选：C． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 6．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．39 C．61 D．68 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可． 【详解】解：由图可知：， 正方形边长为a，正方形边长为b， ， ， ， ， ， 将，代入得： ， 故选：B． 7．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，且，则 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了完全平方公式、整体代入法求代数式的值，首先根据，可得：，从而可得：，根据可得：，从而可得：，所以可求． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2025·浙江·三模）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，先利用平方差公式将变形为，再将整体代入得，再次整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解的应用,解题的关键是将待求式变形为含有已知条件的形式，将待求式变形为，再将已知条件变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 11．（24-25九年级下·福建厦门·期中）若 ，则 （请用“”“”或“”表示) 【答案】 【分析】本题考查代数式的大小比较以及完全平方公式的应用，解题的关键是对进行变形，然后通过作差法比较与的大小．先对进行变形，利用完全平方公式，再计算的值，根据其正负判断与的大小关系． 【详解】设，则． ， 将代入，得， ． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如果一个自然数A的个位数字不为0，且能分解成，其中M与N都是两位数，M与N的十位数字相同，个位数字之和为6，则称此数为“如意数”，并把数A分解成的过程，称为“完美分解”．例如，因为，21和25的十位数字相同，个位数字之和为6，所以525是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”A进行“完美分解”，即，M与N的和记为P，M与N的差记为Q，若能被11整除，则A的值为 ． 【答案】 165 1088 【分析】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键． （1）根据“如意数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，， ，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被11整除，分别求出、的值，由此即可得． 【详解】解：（1）∵自然数A的个位数字不为0， ∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：， 故答案为：； （2）由题意，设两位数M和N的十位数字均为，M的个位数字为，则N的个位数字为，且m为1至9的自然数， ，， ，， ∵，自然数A的个位数字不为0， ∴， 解得：， ∴为5 、4或者3， ∵， ∴， ∴为5或者4 ， ，即的分子是奇数， 当时，，分子是奇数，分母是偶数，则该数不是整数， 不符合题意，舍去； 当时，， 能被11整除，且m为1至9的自然数， 满足条件的整数只有3， ， 即， 故答案为：1088． 13．（2025七年级下·浙江·专题练习）利用分解因式简便运算：． 【答案】4 【分析】本题考查因式分解中的完全平方公式法，掌握公式是解题的关键． 利用完全平方公式，进行因式分解即可解答． 【详解】解： ． 14．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确分解因式是解题关键． （1）把作为一个整体直接利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解因式得出答案； （2）去括号，把作为一个整体直接利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解． 【详解】（1）解：（1） ； （2）解： ． 15．（24-25八年级下·江西抚州·期中）利用分解因式计算：． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，平方差公式，将原式中24变形为，再利用平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 16．（2025七年级下·浙江·专题练习）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式进行因式分解成为解题的关键． （1）先凑出公因式，然后直接提取公因式即可解答； （2）直接提取公因式即可解答； （3）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答； （4）先凑出公因式，然后提取公因式，最后整理即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解∶ ． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 【答案】(1)25 (2)见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，因式分解，熟知同底数幂乘除法的逆运算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再提取公因数分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∵是偶数，一定能被24整除， ∴一定能被24整除． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）小晓在化简整式时，得到的结果是，则“○”表示的数为________． 【发现】小晓观察计算结果，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：，请你再写出一个“对称多项式”（用含，的代数式表示）________； 【探究】规定，若和是两个连续的奇数时，称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如，，试说明原因． 【应用】已知，，求的值． 【答案】；[发现]（答案不唯一）；[探究]见解析；[应用] 【分析】本题考查了整式的混合运算及因式分解的应用，代数式求值，完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将整式化简得到，得出，即可求出，即可得到答案； 根据“对称多项式”的定义即可得到答案； 和是两个连续的奇数，设，则，推出，由是偶数，设，则，得到，即可得到结论； 根据题意得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， “○”表示的数为， 故答案为：； [发现] 根据“对称多项式”的定义得， 故答案为：（答案不唯一）； [探究] 和是两个连续的奇数，设，则， ， 是奇数， 是偶数， 设，则， ， 的值为的倍数； [应用] ， ， ； 的值为． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法 （1）填空：因式分解________ 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．例如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以因式分解，后两项也可因式分解，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式，具体过程为 ． （2）请在上述方法的启发下，分解下列因式： ①； ②． 【应用尝试】 （3）已知实数a，b满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）4 【分析】本题考查了因式分解、二元一次方程组的应用等知识，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得； （2）①将因式分组为，再利用提取公因式法分解因式即可得； ②将因式分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可得； （3）先利用完全平方公式分解因式可得，根据偶次方的非负性可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：（1） ， 故答案为：． （2）① ． ② ． （3） ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． (1)则图③可以解释为等式：______． (2)如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______． (3)在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）． 【答案】(1) (2)①②③④ (3)图见解析， 【分析】此题考查了利用图形面积研究因式分解、平方差公式，此类题的解题思路为：原面积等于拼剪后的面积，掌握解题思路是解题的关键． （1）观察图形，根据面积列出等式即可； （2）根据图中每个图形的面积之间的关系，即可判断出正确的有几个； （3）画出的矩形边长分别为和即可； 【详解】（1）解：由图可知， 故答案为： （2）①，故正确； ②由图可知，，，，故正确； ③由图可知，，，则，故③正确； ④， ∴，故④正确 综上，正确的选项为：①②③④． （3）如图， 故答案为： 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$