第05讲 分式（4知识点+15大考点+5拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

第05讲 分式（4知识点+15大考点+5拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：分式的相关概念 1.分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 2.分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 3.分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 4.分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 5.分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点2：分式的四则运算 1、分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点3：分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点4：分式方程的实际应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 考点一：分式的意义 例1．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式1-1】若分式的值为，则的值为（   ） A．7 B． C．7或 D．0 【变式1-2】设m，n均不为零，若与是同类项，则代数式的值为 ． 【变式1-3】观察下列各式：用含n的等式表示这个规律 ．（n表示正整数，） 考点二：分式的基本性质 例2．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．缩小为原来的 【变式2-1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】化简： ． 【变式2-3】下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三：将分式的分子分母各项系数化为整数 例3．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 【变式3-3】不改变分式的值，使下列各分式的分子和分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 考点四：约分、通分 例4．若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【变式4-1】化简的结果等于（   ） A．3 B． C． D． 【变式4-2】已知，，，则 ． 【变式4-3】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点五：分式的乘除法 例5．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】计算： (1)； (2)． 【变式5-2】计算：． 【变式5-3】分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 考点六：分式的加减法 例6．计算： (1)； (2)． 【变式6-1】化简： 【变式6-2】计算： (1)． (2)． 【变式6-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点七：分式的混合运算 例7．计算： (1) (2) 【变式7-1】计算： (1)； (2) 【变式7-2】计算 ． 【变式7-3】化简：． 考点八：分式运算的实际应用 例8．甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 【变式8-1】列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 【变式8-2】从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 【变式8-3】小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 考点九：分式化简求值 例9．先化简，再求值：，其中． 【变式9-1】先化简，再求值：，其中． 【变式9-2】先化简，再求值：，其中从，，中选取一个合适的值代入． 【变式9-3】阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即 所以 所以的值为 这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：．求 (1)的值； (2)的值． 考点十：分式方程的相关概念 例10．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式10-1】下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【变式10-3】下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 考点十一：解分式方程 例11．解方程：． 【变式11-1】解方程： 【变式11-2】解方程： (1) (2) 【变式11-3】解方程： (1)． (2)． 考点十二：根据分式方程解的情况求值 例12．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-1】若关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【变式12-2】已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【变式12-3】已知关于x的分式方程． (1)若方程的解为，求m的值； (2)若方程的解为正数，求出m的取值范围． 考点十三：分式方程的增根问题 例13．若方程有增根，则n的值为（    ） A．0 B． C．5 D．以上都不对 【变式13-1】已知关于x的方程有增根，那么 ． 【变式13-2】若关于的分式方程有增根，求的值． 【变式13-3】已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 考点十四：分式方程的无解问题 例14．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【变式14-1】已知关于x的分式方程无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C．或4 D．4 【变式14-2】关于的方程无解，则的值为 ． 【变式14-3】已知关于的分式方程，若方程无解，求的值． 考点十五：分式方程的实际应用 例15．小轮车泥地竞速（）是一项结合速度、技巧与爆发力的自行车竞技项目，年，北京奥运会首次将其列为正式比赛项目，年巴黎奥运会，中国选手顾权权（女）成为首位凭实力直通奥运会的中国车手．在巴黎奥运会小轮车泥地竞速的训练中，运动员小林通过优化自己的过弯技术，将骑行的平均速度提升到原来的倍，已知赛道全场米，调整技术后，她完成一圈的时间比原来减少了秒，问：小林原来的平均骑行速度为多少米每秒？ 【变式15-1】从2025年春晚到两会，具身智能逐步进入大众视野，具身机器人在提高效率，降低成本等方面潜力巨大．仓储物流是当前具身机器人商业化最前沿的领域之一，某智慧物流园快递分拣车间计划采用，两种型号的具身机器人分拣快递，已知型具身机器人比型具身机器人每小时多分拣30件快递，型具身机器人分拣600件快递所用时间与型具身机器人分拣480件快递所用时间相等，则两种具身机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【变式15-2】据网络平台数据显示，截至年4月日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某商场决定各用元购进了，两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共个．求购进，两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 【变式15-3】中国的文房器物，既体现了中华民族的文化风俗，又为世界文化的进步和发展作出了贡献，最典型的是被称为“文房四宝”的书写工具：笔，墨，纸，砚．某校为践行美育教育，组织全校师生开展书法鉴赏与研习活动，现花费7520元购买了甲，乙两种型号的“文房四宝”共84套，其中购买甲种型号的“文房四宝”花费了5120元，已知每套乙种型号“文房四宝”的价格是每套甲种型号价格的倍，求甲，乙两种型号“文房四宝”每套的价格分别是多少元？ 拓展训练一：分式混合运算综合 1．（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 2．已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 3．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 4．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 拓展训练二：分式值求整问题 1．阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 2．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 3．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 4．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 拓展训练三：分式方程的求参问题 1．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 2．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 3．已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 4．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 拓展训练四：分式方程的实际问题 1．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 2．某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍． （1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？ （2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？ 3．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 4．根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 拓展训练五：分式方程的新定义问题 1．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 2．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 3．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 4．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 1．（2025·浙江·模拟预测）已知分式（a，b为常数）满足如下表格，根据表格信息，下列结论中错误的是（   ） x的取值 2 3 d 分式的值 无意义 0 c A． B． C． D． 2．（2025·浙江台州·二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）设，我们用符号表示两数中较小的一个，如，按照这个规定：方程的解为（　　） A． B． C．或 D． 4．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）实数满足，则（    ） A．186 B．188 C．190 D．192 7．（2025七年级下·浙江·专题练习）若有意义，则的取值范围是 ． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）已知，则分式的值为 ． 9．（2025·四川成都·二模）化简： ． 10．（2025七年级下·浙江·专题练习）如果是正数，且满足，，那么的值为 ． 11．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）关于的分式方程有增根，则的值是 ． 12．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）用面积都为1的长方形纸片①、②围成长方形，如图所示，其中四边形也是长方形．设，，且． （1） ； （2）若，则 ． 13．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 小聪解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式＝…① …② …③ 当时，原式． 15．（2025·浙江宁波·二模）先化简，再求值：，其中． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）解分式方程： (1)． (2)． 17．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 18．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）临近期末，某校七年级一班打算购买一些记录本和笔作为休学式当天班内学期表彰的奖品．已知一本记录本的价格比一支笔的价格高1元，用180元可以购得的本子数量和用150元可以购得的笔的数量相同． (1)求记录本和笔的单价． (2)本次计划使用120元班费全部用于购买记录本和笔（经费无剩余且两种奖品都要购买），请问有哪几种购买方案？ 20．（24-25八年级上·浙江台州·期末）某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元． 水果店 销售方式 质量 单价 甲 不分类 400千克 25元／千克 乙 小果 免费 中果 240千克 大果 (1)乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？ (2)求乙店小果的质量； (3)若甲店先以元／千克的批发价售卖千克的葡萄，再以元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若均为正整数，求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 分式（4知识点+15大考点+5拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：分式的相关概念 1.分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 2.分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 3.分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 4.分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 5.分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点2：分式的四则运算 1、分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 知识点3：分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 知识点4：分式方程的实际应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 考点一：分式的意义 例1．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解．． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ ∴且， 故选：． 【变式1-1】若分式的值为，则的值为（   ） A．7 B． C．7或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为0，理解并掌握分式的值的计算是关键． 根据分式的值为0，得到，且． 【详解】解：分式的值为， ∴，且， 解得，，且， ∴， 故选：B ． 【变式1-2】设m，n均不为零，若与是同类项，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】解题思路是先根据同类项的定义求出m和n的关系，再将其代入到给定的代数式中进行化简求值．本题主要考查了同类项的定义以及分式的化简求值，熟练掌握同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项）以及分式的化简方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，，即，所以 ． 【变式1-3】观察下列各式：用含n的等式表示这个规律 ．（n表示正整数，） 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，分式的规律问题，利用数字之间的联系与运算的方法，得出规律，进一步利用规律，解决问题． 根据题干得到等号左边的分数的分子与第一个因数相同，分母比第一个因数大1，等号右边为等号左边的两个因数相减，即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴用含n的等式表示这个规律为：， 故答案为：． 考点二：分式的基本性质 例2．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据x，y的变化找出分子分母的变化．依题意，x和y都扩大为原来的倍，那么分母扩大倍，即，分子扩大倍，即，整理式子即可作答． 【详解】解：∵把分式中的x和y都扩大为原来的3倍， ∴分母扩大倍，即， ∴分子扩大倍，即， 那么， 所以缩小为原来的， 故选：D． 【变式2-1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 【变式2-2】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，先对分子分母因式分解，再约分即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-3】下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (2)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 (3)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (4)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 【分析】本题考查分式的基本性质， （1）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （2）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （3）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （4）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； 正确观察分式的分子与分母变化是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （2）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边； （3）∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （4）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边． 考点三：将分式的分子分母各项系数化为整数 例3．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式3-1】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 【变式3-2】将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 分式的分子分母都乘以10，可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3-3】不改变分式的值，使下列各分式的分子和分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键． （1）直接把分子的“”号提到分式的前面即可得到答案； （2）把分式的分子和分母同时乘以负1即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 考点四：约分、通分 例4．若分式化简后可以得到一个整式，则整式A不可能是（   ） A． B．x C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的约分，因式分解是本题的关键． 对分子进行分解因式，根据是的因式判断即可， 【详解】解：∵化简后可以得到一个整式， ∴是的因式， ∵选项中BCD都是的因式，A不是的因式， ∴整式A不可能是， 故选：A． 【变式4-1】化简的结果等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简，分子将括号打开，再合并同类项，最后提取公因式，分母根据完全平方公式分解因式，最后约分即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 【变式4-2】已知，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式4-3】通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； 【分析】本题主要考查分式的通分运算，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，通分时，取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，掌握分式的性质及分式的计算是关键． （1）公分母是，由通分计算即可求解； （2）公分母是，由通分计算即可求解； （3）公分母是，由通分计算即可求解； （4）公分母是，由通分计算即可求解；． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，； （3）解： ，； （4）解： ，． 考点五：分式的乘除法 例5．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则，是解题的关键： （1）直接约分化简即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先进行乘方运算，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 【变式5-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （）由分式的乘除和约分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 【变式5-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题关键． 根据分式的乘除法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 【变式5-3】分式乘除运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算规则是解题关键； （1）直接利用分式的乘法运算法则计算即可； （2）先将除法变成乘法，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （3）先对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； （4）先将除法变成乘法，同时对各分式的分子分母进行因式分解，再利用分式的乘法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点六：分式的加减法 例6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据同分母分式加法法则求解即可； （2）先通分，然后根据同分母分式加法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式6-1】化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减法，先通分，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，即可求解． 【详解】解： ． 【变式6-2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减运算．分式的加减运算先看是同分母加减还是异分母加减，异分母加减关键是通分，通分的关键是找最简公分母． （1）按同分母分式加减运算法则，先将分子相减，再化简成最简分式或整式． （2）先将原式通分化成同分母的分式再进行运算，能约分的要约分． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式6-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）根据分式的减法运算法则求解即可； （2）首先要对分母进行因式分解，找到最简公分母，然后根据分式的基本性质将两个分式通分，再按照同分母分式减法法则进行计算，最后化简得到结果； （3）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 ，然后通过约分，约去分子分母的公因式，从而得出结果； （4）先对括号内的式子进行通分计算，然后将两个式子相乘，根据分式乘法法则计算，最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解：原式 ＝1； （2）原式 ； （3）原式 =； （4）原式 ． 考点七：分式的混合运算 例7．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算是解题的关键； （1）根据同分母分式的加法进行计算即可求解； （2）先计算括号内，同时把第一个分式的分母因式分解，然后把除法转换为乘法，最后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式7-1】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘除法计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式7-2】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 【变式7-3】化简：． 【答案】． 【分析】此题考查了分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算括号内的异分母分式减法，同时将除法化为乘法，将分式的分母分子分解因式，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 考点八：分式运算的实际应用 例8．甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． (1)若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． (2)请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 【答案】(1)， (2)乙的平均单价更便宜，见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，弄清平均价格是解本题的关键． （1）利用两次加油的价格以及购买的质量与钱数得出即可； （2）根据总钱数除以总千克数求出甲乙两人加油的平均价格，利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，， （2）解：， ， ， ，， 即， 答：乙的平均单价更便宜． 【变式8-1】列式计算： (1)当把甲、乙两种饮料按质量比混合在一起，可以调制成一种混合饮料．调制这种混合饮料需___________甲种饮料？ (2)小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为字，那么她用电脑打3000字比手抄少花多长时间？ (3)甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修米，乙工程队每天修米（其中），则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 【答案】(1) (2) (3)甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍 【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的混合运算的应用，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （1）设调制这种混合饮料需甲种饮料，根据甲种饮料千克数：溶液总质量甲种饮料质量：甲乙两种饮料质量和，列出方程计算即可求解； （2）先利用速度公式分别表示出电脑打字和手写的时间，然后求它们的差即可； （3）首先表示出甲乙所用时间为：、，计算其比值，化简即可得出结果． 【详解】（1）解：设调制这种混合饮料需甲种饮料，依题意有 ， 解得， 故调制这种混合饮料需甲种饮料； （2）解：设他手写的速度为字，则用电脑打字的速度为字， 则他电脑打3000字比手抄少花的时间为，即． （3）解：由题意可知甲工程队修900米所用时间为：， 乙工程队修600米所用时间为：， 则其比值为：， ∴甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的倍． 【变式8-2】从甲地到乙地有两条路，每条路的长度都是，其中第一条路是平路，第二条有的上坡路、的下坡路．小强在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为． (1)当小强走第二条路时，他从甲地到乙地需要多少时间？ (2)他走哪条路花费时间少？少用多少时间？ 【答案】(1) (2)走第一条路花费时间少，少 【分析】本题考查了速度，路程，时间之间的关系，异分母分式的加减运算的实际应用，解题的关键是理解题意，掌握速度，路程，时间之间的关系． （1）分别表示出上坡路的时间和下坡路的时间，然后相加即可； （2）表示出走第一条路所用时间，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：走第二条路所用时间：； （2）解：走第一条路所用时间： ∴ ∴走第一条路花费时间少，少． 【变式8-3】小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 【答案】(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【分析】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 考点九：分式化简求值 例9．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式乘法计算法则约分，再计算分式加法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：                               ，     当时，原式． 【变式9-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，. 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： 把代入上式，得原式. 【变式9-2】先化简，再求值：，其中从，，中选取一个合适的值代入． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值．掌握分式的混合运算法则是解题的关键，特别注意使分式有意义的条件．根据分式的混合运算法则计算，即可化简．再根据使分式有意义的条件确定x可取的值，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ∵分式的分母不等于， ∴， 把代入得，原式． 【变式9-3】阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即 所以 所以的值为 这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：．求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再利用完全平方公式变形，将代入可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 考点十：分式方程的相关概念 例10．下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 【变式10-1】下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 【变式10-2】下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【答案】⑤ 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 【变式10-3】下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：依题意，②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； ∴是分式方程的是②④， 故答案为：②④ 考点十一：解分式方程 例11．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可，熟练掌握求解步骤是解题关键． 【详解】解：原方程两边都乘， 得：， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 【变式11-1】解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解： 去分母得到， 解得， 当时， ∴是增根，分式方程无解 【变式11-2】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．即去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验． （1）根据解分式方程的步骤，逐步判断即可; （2）根据解分式方程的步骤，逐步判断即可. 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是原方程的解． 故原分式方程的解为； （2）解： 去分母得： 去括号得： 即 解得， 检验：把代入得：， 是原方程的解． 故原分式方程的解为． 【变式11-3】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根． （1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可； （2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的增根；原方程无解． 考点十二：根据分式方程解的情况求值 例12．已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 【变式12-1】若关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非正数求出的范围即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 由方程的解是非正数，得到，且， 解得：． 故选：A． 【变式12-2】已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 【变式12-3】已知关于x的分式方程． (1)若方程的解为，求m的值； (2)若方程的解为正数，求出m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式方程的解：使分式两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解不等式． （1）先化为整式方程得到，再把代入得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可； （2）先把整式方程整理得到，再利用方程的解为正数得到，解得，由于分母不为零，则，解得，于是得到m的取值范围为且． 【详解】（1）， 去分母得，， 把代入得， 解得； （2）把整理得， ∵， ∴，解得， 又∵，即， ∴， 解得， ∴m的取值范围为且． 考点十三：分式方程的增根问题 例13．若方程有增根，则n的值为（    ） A．0 B． C．5 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程的增根即为最简公分母为0时，的值．已知方程两边都乘以去分母后求出的值，由方程有增根得到，即可求出的值． 【详解】解：已知方程去分母得， 解得， 由分式方程有增根得， ， ． 故选：C． 【变式13-1】已知关于x的方程有增根，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根,得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得， 由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程， ， 解得， 故答案为：． 【变式13-2】若关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得． 【变式13-3】已知关于x的方程． (1)当此方程的解为时，求k的值； (2)当此方程会产生增根时，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的解，分式方程的增根， （1）先根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1得，再结合得出方程，求出解即可； （2）当时原方程有增根，可得方程，求出解即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 因为，所以． 当此方程的解为时，，解得； （2）当此方程会产生增根时，， 即， 所以， 解得． 考点十四：分式方程的无解问题 例14．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键．先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解． 【详解】解： ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：当或时，分式方程无解， 故选：D． 【变式14-1】已知关于x的分式方程无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C．或4 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将方程去分母，整理得．分两种情况讨论：①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时；②若，则整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到当时，，从而求得．综合即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ①若，则该整式方程无解，原分式方程无解， 此时； ②若，则整式方程的解为：， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， 解得：， 综上所述，a的值为4或． 故选：C． 【变式14-2】关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为1，得 ， ∵该方程无解，则， ∴，解得． 故答案为：1． 【变式14-3】已知关于的分式方程，若方程无解，求的值． 【答案】或或 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出的值；由分式方程无解求出的值，代入整式方程求出的值即可．此题考查了分式方程的无解问题，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 【详解】解：， 去分母得：， ， ， 由分式方程无解，得到，即或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，方程无解，此时分式方程无解，解得． 故的值是或或． 考点十五：分式方程的实际应用 例15．小轮车泥地竞速（）是一项结合速度、技巧与爆发力的自行车竞技项目，年，北京奥运会首次将其列为正式比赛项目，年巴黎奥运会，中国选手顾权权（女）成为首位凭实力直通奥运会的中国车手．在巴黎奥运会小轮车泥地竞速的训练中，运动员小林通过优化自己的过弯技术，将骑行的平均速度提升到原来的倍，已知赛道全场米，调整技术后，她完成一圈的时间比原来减少了秒，问：小林原来的平均骑行速度为多少米每秒？ 【答案】小林原来的速度是米/秒 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设小林原来的平均速度是米/秒，则优化技术后，平均速度为米/秒，根据题意可列分式方程，求解检验即可． 【详解】解：设小林原来的平均速度是米/秒，则优化技术后，平均速度为米/秒， 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：小林原来的速度是米/秒． 【变式15-1】从2025年春晚到两会，具身智能逐步进入大众视野，具身机器人在提高效率，降低成本等方面潜力巨大．仓储物流是当前具身机器人商业化最前沿的领域之一，某智慧物流园快递分拣车间计划采用，两种型号的具身机器人分拣快递，已知型具身机器人比型具身机器人每小时多分拣30件快递，型具身机器人分拣600件快递所用时间与型具身机器人分拣480件快递所用时间相等，则两种具身机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】型具身机器人每小时分拣150件快递，型具身机器人每小时分拣120件快递 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据型具身机器人比型具身机器人每小时多分拣30件快递，得型具身机器人每小时分拣件快递，再结合题条件列式进行解方程，即可作答． 【详解】解：设型具身机器人每小时分拣件快递，则型具身机器人每小时分拣件快递， 依题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：型具身机器人每小时分拣150件快递，型具身机器人每小时分拣120件快递． 【变式15-2】据网络平台数据显示，截至年4月日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某商场决定各用元购进了，两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共个．求购进，两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ 【答案】A种玩偶价格为元，则B种玩偶价格为元 【分析】设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：设A种玩偶价格为x元，则B种玩偶价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：A种玩偶价格为元，则B种玩偶价格为元． 【变式15-3】中国的文房器物，既体现了中华民族的文化风俗，又为世界文化的进步和发展作出了贡献，最典型的是被称为“文房四宝”的书写工具：笔，墨，纸，砚．某校为践行美育教育，组织全校师生开展书法鉴赏与研习活动，现花费7520元购买了甲，乙两种型号的“文房四宝”共84套，其中购买甲种型号的“文房四宝”花费了5120元，已知每套乙种型号“文房四宝”的价格是每套甲种型号价格的倍，求甲，乙两种型号“文房四宝”每套的价格分别是多少元？ 【答案】甲种型号“文房四宝”每套价格为80元，乙种型号“文房四宝”每套价格为120元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是列出分式方程，进行求解，不要忘记对根进行检验，设甲种型号“文房四宝”每套价格为元，乙种型号“文房四宝”每套价格为元，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设甲种型号“文房四宝”每套价格为元，乙种型号“文房四宝”每套价格为元， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ， 答：甲种型号“文房四宝”每套价格为80元，乙种型号“文房四宝”每套价格为120元． 拓展训练一：分式混合运算综合 1．（1）已知，求的值． （2）已知，先化简再求值：． 【答案】；． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、运用乘法公式进行化简．乘法公式包括完全平方公式和平方差公式，完全平方公式是，平方差公式是． 首先把整理，可得：和，把多项式整理可得：原式，再整体代入进行求值即可； 整理可得，把整理可得：原式，再整体代入求值即可． 【详解】解：， 移项得：， 把两边同时除以可得：， ， ； 解：， 两边同时乘以可得：， 整理得：， ． 2．已知，求证： (1)三个数中必有两数之和为零； (2)对于任意奇数，均有． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先去分母转化为整式，然后分解因式为解题即可； （2）由（1）可得中必有一个为0，不妨设，然后代入得到，然后再根据即可得到结论． 【详解】（1）证明：，. . . ， ∴， 或或， ∴三个数中必有两数之和为0； （2）证明：中必有一个为0， 不妨设，则. 为奇数， ， ， ， ， ， ∴． 3．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 4．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 拓展训练二：分式值求整问题 1．阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数． 【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值． 【详解】解：（1）， ； （2）， 当，即； 当，即； 当，即； 当，即， 综上，，3，，时，分式的值也为整数． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 3．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 4．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 拓展训练三：分式方程的求参问题 1．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 2．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 【答案】或或 【分析】本题主要考查分式方程，将方程两边同时乘以，整理得，当时，当时，分情况讨论即可． 【详解】解：将方程两边同时乘以． 得 整理得① 当时，有 ∴ 将代入① 中，得 ∴．经检验：是分式方程的解； 当时，有 ∴ 若是方程的增根， 则将代入①中 得 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去)． 故原分式方程只有一个实数解． 当是方程的增根， 则将代入①中， 求得． 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去) 故原分式方程只有一个实数解． 综上所述，当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为． 3．已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2)或或8 【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根； （2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可． 【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到， 解得：， 将分式方程化为整式方程：， 整理得：， 将代入得：， 即若方程有增根，则． （2）解：∵是方程的解， 将代入得：， 整理得：， ∴， ∴，且 ∵，均为整数且， ∴或2或（舍去）或， 当时，即，； 当时，即，； 当时，即 当时，即，； 当时，即，； 综上，的值为或或8． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 4．已知，关于的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求为何值时，分式方程无解； (3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3，55 【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案； （2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可； （3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值． 【详解】（1）解：把，代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， 所以原分式方程的解是； （2）解：把代入分式方程， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， ①当时，即，方程无解， ②当时，， 时，分式方程无解，即，不存在； 时，分式方程无解，即，， 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得：， ∵，且为正整数，为整数， ∴必为65的因数，， ∵， ∴65的因数有1，5，13，65， 1，5小于11， 可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55， 满足条件的可取3，55这两个数． 【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根． 拓展训练四：分式方程的实际问题 1．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？ （2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？ 【答案】（1）扶梯露在外面的部分有48级；（2）在楼梯上，176级 【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a＋b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a＋b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可； （2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m−1）遍、走过楼梯（n−1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m−n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果． 【详解】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为级，扶梯每分钟向上运动级， 由题意得：， ①÷②得：， 整理得：， 代入②得． 答：扶梯露在外面的部分有48级； （2）设追上乙时，甲扶梯走了遍，楼梯走了遍，则乙走扶梯遍，走楼梯遍． 由题意得：， 整理得：， 这里，中必有一个是整数，且． ①若为整数，则． ∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件） （不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去） ②若n为整数，， ∴，，，…，这些均不符合要求， ∴，此时，甲在楼梯上． ∴（级）． 【点睛】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． 2．某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍． （1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？ （2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？ 【答案】（1）每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元；（2）每辆A型货车运吨，型货车运吨 【分析】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型车运费为1.2元；根据题意，列分式方程并求解，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，可得A型货车和型货车的数量；结合题意，设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨，列二元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型货车运费为1.2元 由题意得：， 解得： 经检验，时，，   ∴每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元； （2）根据（1）的结论，A型货车的数量为：辆 ∴型货车的数量为：辆 设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨， 由题意得：， 解得：， ∴每辆A型货车运吨， 型货车运吨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、分式方程的性质，从而完成求解． 3．宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了A、B两款人形机器人． (1)已知该公司生产5件A款人形机器人和生产6件B款人形机器人的成本相同；每件A款人形机器人的成本比每件B款人形机器人的成本多2万元．该公司生产的A款人形机器人和B款人形机器人每件的成本各是多少万元？ (2)如果该公司把这两种人形机器人在网上进行预约销售，并且每件B款人形机器人的售价比每件A款人形机器人的售价少，根据网上预约的情况，该公司售出的这两款人形机器人的销售额都为600万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出10件．则该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是多少万元？ 【答案】(1)12万元，10万元 (2)15万元 【分析】（1）设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得，解方程即可． （2）设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设A款机器人价格为ｘ万元，则B款机器人价格为万元，根据题意，得， 解得， ∴， 答：A款机器人价格为12万元，B款机器人价格为万元． （2）解：设A款机器人销售价格为ｘ万元，则B款机器人销售价格为万元，根据题意，得， 解得． 答：该公司确定的每件A款人形机器人在网上的售价是15万元． 4．根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 【答案】任务1：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个；任务2：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；任务三：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋 【分析】任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解； 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答． 【详解】解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个， 根据素材1可列方程；，解得 经检验，是原方程的解， ∴（元/个） 答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个． 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个， 根提素材2可列方程：， ∴， ∵，都不少于20，且是10的倍数， ∴，，． 答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张， 设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋， 即：， 结合任务2可知， 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即：， ∵，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即， ∵，，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即，不符合题意舍去； 综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用等知识，明确题意，正确列式，是解答本题的关键. 拓展训练五：分式方程的新定义问题 1．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 2．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 3．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 4．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为．∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2022 【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为， ， 故答案为：，． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ， ∵， ∴原式． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． 1．（2025·浙江·模拟预测）已知分式（a，b为常数）满足如下表格，根据表格信息，下列结论中错误的是（   ） x的取值 2 3 d 分式的值 无意义 0 c A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，当时，求得的值，最后根据时，原分式值为，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时分式无意义，即 ∴，故A正确， 当时，原分式值为0， ∴ 解得：，故B正确 ∴原分式为， ∵时，原分式值为， ∴，故C选项正确， ∵当时，分式的值为 ∴ 解得：，经检验，是原方程的解，故D选项不正确， 故选：D． 2．（2025·浙江台州·二模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程． 设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：． 故选D． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）设，我们用符号表示两数中较小的一个，如，按照这个规定：方程的解为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，新定义，根据题意分当和当列出分式方程，然后解分式方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当，即时， 方程化为：，解得：， 经检验:是分式方程的解； 当，即时， 方程化为：，解得：（不合题意，舍去）； 综上，方程的解为， 故选：． 4．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考据分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解的问题是解题的关键． 根据分式方程无解的问题可进行求解． 【详解】解：由方程可得：，整理得：， ∵该方程无解， ∴当时，则有，即； 当时，则； 故选：B． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，再根据分式方程有增根可得整式方程的解为或，进而代入整式方程即可判断求解，理解增根的定义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 整理得，， ∵分式方程有增根， ∴整式方程的解为或， 当时，； 当时，不是整式方程的解； ∴分式方程的增根可能是， 故选：． 6．（24-25八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）实数满足，则（    ） A．186 B．188 C．190 D．192 【答案】D 【分析】本题考查的是求解分式的值，平方差公式的应用，先由条件可得，可得，同法可得，，再进一步计算即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 故选：D． 7．（2025七年级下·浙江·专题练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂的定义，熟练掌握零指数幂的定义是解答本题的关键． 根据零指数幂的定义解答即可． 【详解】解：有意义， ， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握整体代入的思想是解题关键； 根据，可得，代入，即可求解； 【详解】解：根据， 可得： 则； 故答案为： 9．（2025·四川成都·二模）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练化简分式是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 10．（2025七年级下·浙江·专题练习）如果是正数，且满足，，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， ∵方程有增根， ∴， 把代入得， 解得， 故答案为：2． 12．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）用面积都为1的长方形纸片①、②围成长方形，如图所示，其中四边形也是长方形．设，，且． （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 5 【分析】本题考查的是图形面积与分式的运算，由题意可得①的宽为，②的长为，可得，再分别表示长方形的面积为，长方形的面积为：，进一步可得答案． 【详解】解：∵面积都为1的长方形纸片①、②围成长方形，，， ∴①的宽为，②的长为， ∴， ∴长方形的面积为， 长方形的面积为：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：， 13．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 14．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 小聪解答过程如下，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式＝…① …② …③ 当时，原式． 【答案】错误；过程见解析 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，第一步时，应该是把两个分式通分，而不是把两个分式乘以，先把两个分式通分，再把分子合并同类项后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解：错误， 原式 当时，原式． 15．（2025·浙江宁波·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 16．（24-25八年级下·江苏南京·期中）解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是熟练运用分式方程的解法． （1）根据分式方程的解法即可求出答案． （2）根据分式方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）解： ； 当时，， 故是该分式方程的解； （2）解： ， 当时，； 故该方程无解 17．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件，得到x的合适的值代入求值即可． 【详解】解： ， 要使原分式有意义，则 ， ∴且， ∴当时，原式． 18．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②，则；，则； (3) 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正数， ∴， ∴的值为． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）临近期末，某校七年级一班打算购买一些记录本和笔作为休学式当天班内学期表彰的奖品．已知一本记录本的价格比一支笔的价格高1元，用180元可以购得的本子数量和用150元可以购得的笔的数量相同． (1)求记录本和笔的单价． (2)本次计划使用120元班费全部用于购买记录本和笔（经费无剩余且两种奖品都要购买），请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)笔的单价为元，则记录本的单价为元； (2)有三种购买方案，分别为：方案一，购买记录本5本，笔18支；方案二，购买记录本10本，笔12支；方案三，购买记录本15本，笔6支． 【分析】本题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用．熟练掌握根据数量关系列分式方程求解单价，以及根据总价、单价和数量的关系列二元一次方程并结合正整数条件确定购买方案是解题的关键．在解分式方程时要注意验根，确保得到的解符合实际情况． （1）设笔的单价为未知数，进而表示出记录本的单价，再根据“数量 = 总价÷单价”以及两种奖品数量相同这一关系列出方程，求解方程得到笔的单价，进而求出记录本的单价． （2）设购买记录本的数量为未知数，根据总价列出方程，再结合两种奖品都要购买（即数量都为正整数）这一条件，确定未知数的取值，从而得到购买方案． 【详解】（1）解：设笔的单价为元，则记录本的单价为元． ， 经检验是原方程的解， 记录本的单价为：（元） ∴笔的单价为元，则记录本的单价为元； （2）解：设购买记录本本，购买笔支． 因为，为正整数， 所以只能取的倍数． 当时，； 当时，； 当时，． 综上，有三种购买方案，分别为：方案一，购买记录本5本，笔18支； 方案二，购买记录本10本，笔12支； 方案三，购买记录本15本，笔6支． 20．（24-25八年级上·浙江台州·期末）某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元． 水果店 销售方式 质量 单价 甲 不分类 400千克 25元／千克 乙 小果 免费 中果 240千克 大果 (1)乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？ (2)求乙店小果的质量； (3)若甲店先以元／千克的批发价售卖千克的葡萄，再以元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若均为正整数，求的值． 【答案】(1)乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克； (2)乙店小果的质量为千克； (3) 【分析】此题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用、二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，据此列方程，解方程并检验即可； （2）设乙店的大果有千克，乙店的总售价比甲店多260元．据此列方程，解方程即可； （3）根据总售价恰好与乙店相等列方程，由均为正整数，，即可求出答案． 【详解】（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克， 则， 解得 经检验，是方程的解且符合题意， ， 答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克； （2）设乙店的大果有千克， 则， 解得， ∴， 答：乙店小果的质量为千克； （3）由题意可得， 方程可化为， ∵均为正整数，， ∴ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$