精品解析：2025年福建省莆田市仙游县中考模拟冲刺卷 数学试题

2025年福建省莆田市仙游县中考模拟冲刺卷数学试题 本卷满分：150分 作答时间：120分钟 一、单项选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. “月壤砖”是指利用月球表面的土壤（即月壤）作为主要原料，通过特定的技术手段制成的砖块，这种砖块在未来的月球基地建设和月球居住等方面具有重要的科学研究价值和潜在的实际应用前景．某种型号的“月壤砖”的结构如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的袋子里装有1个红球和3个白球，它们除颜色外均相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. “一夜秋风起，天地桂花香．”桂花是仙游县的县花，其花粉的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列实数中最小的是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 5. 将一块含有角的三角板和一把直尺按图中方式摆放．当时，（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，过上一点作的切线，交的延长线于点．若的半径为4，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 1 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题4分．在给出的四个选项中，符合要求的选项不止一个．全部选对得4分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 10. 如图，在中，．将线段绕点顺时针旋转得到线段．再将沿方向平移至，使直线经过点，连接交于点．下列推断正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是_____． 12. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 13. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______． 14. 已知反比例函数（为常数，且），当时，的最大值是，则当时，的最小值为_______． 15. 仙游古典家具制作技艺，简称为“仙作”，入选国家级非物质文化遗产名录，“仙作”家具集国画艺术，雕刻艺术与家具制作技艺的巧妙融合，款式典雅，结构严谨．一种“仙作”花窗的花瓣由六条等弧连接而成，所对应的弦构成一个正六边形，如图所示．设正六边形的中心为点，所在圆的圆心恰好是的外心．若，则花窗的面积（实线所围区域的面积）为_______． 16. 在中，，，，是上一个动点，将沿折叠得到，当平行的一边时，点到边的距离为_______． 四、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）已知平面内一点，将点向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求的值． 21. 4月23日是世界读书日．为迎接第30个世界读书日，某校举行了“‘阅’见未来”主题诵读比赛． 本次比赛的评委由专业老师和优秀学生组成．组委会现有两种评分方案： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，作为选手的最后得分； 方案二：从评委所给的分数中去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余分数的平均数，作为选手的最后得分． 选手小涛的得分情况如下：（百分制） 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数 71 73 75 72 99 72 72 71 65 70 （1）按方案一和方案二分别计算小涛的最后得分．你认为方案一和方案二哪个较为合理，简要说明理由． （2）组委会经过讨论，认为评分方案的制定要突出专业老师的权威性，适当考虑学生评委的喜爱度．如果1至4号评委由专业老师担任，5至10号评委由优秀学生担任．请以上表选手的得分为例，结合所学的统计知识帮助组委会另外设计一个合理的方案． 22. 定义：如果一个正整数可以被4整除，且可以表示为两个正整数的平方差，我们把这个数称为“特色数”．例如，16可以被4整除，且，所以16为“特色数”． （1）8是否为“特色数”？说明理由； （2）在数学上常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数．若是一个“特色数”，且，求． 23. （1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．） （2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC． （注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注） 24. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 25. 已知为的直径，是的一条弦，为上的一个点，于点，交于点，交于，连接． （1）如图1，当于点时，求证； （2）如图2，当，时， ①求的长； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年福建省莆田市仙游县中考模拟冲刺卷数学试题 本卷满分：150分 作答时间：120分钟 一、单项选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. “月壤砖”是指利用月球表面的土壤（即月壤）作为主要原料，通过特定的技术手段制成的砖块，这种砖块在未来的月球基地建设和月球居住等方面具有重要的科学研究价值和潜在的实际应用前景．某种型号的“月壤砖”的结构如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形即可得解，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，该几何体的主视图为： ， 故选：D． 2. 一个不透明的袋子里装有1个红球和3个白球，它们除颜色外均相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，即随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．本题根据题目中总的球的个数和红球个数，可以计算出从袋中任意摸出一个球是红球的概率． 【详解】解：由题意可得，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为． 故选：D． 3. “一夜秋风起，天地桂花香．”桂花是仙游县的县花，其花粉的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 故选B． 4. 下列实数中最小的是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，估算得出，再根据实数的大小比较法则即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴实数中最小的是， 故选：D． 5. 将一块含有角的三角板和一把直尺按图中方式摆放．当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 又∵是的外角，，， ∴， 故选：C． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算、积的乘方与幂的乘方运算以及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的运算法则、积的乘方与幂的乘方运算法则以及合并同类项法则计算各项即可判断出结果． 【详解】解：A、，计算正确，故选项A符合题意； B、 ，原选项计算错误，故选项B不符合题意； C、 与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D、 ，项D错误，不符合题意； 故选：A 7. 如图，是的直径，过上一点作的切线，交的延长线于点．若的半径为4，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，根据三角形内角和是求得，根据等角对等边可得，即可作答．本题考查了切线的性质，三角形的外角性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为4， 即 故选：A． 8. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 9. 已知点在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，整式的混合运算，不等式的解答，掌握知识点是解题的关键． 将分别代入二次函数，求出，再代入不等式，化简即可求解． 【详解】解：将分别代入二次函数，得 ． ∴ ∵ ∴， 即，解得． 故选D． 二、多项选择题：本题4分．在给出的四个选项中，符合要求的选项不止一个．全部选对得4分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 10. 如图，在中，．将线段绕点顺时针旋转得到线段．再将沿方向平移至，使直线经过点，连接交于点．下列推断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据平移得出，，根据平行线的性质得出即可判断A正确；先证明，得出，根据三角函数定义得出，设，则，求出，得出，证明，得出，即可判断B错误；证明，得出，求出，判断C正确；根据，得出不一定相似，即可判断D错误． 【详解】解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵将沿方向平移至， ∴，， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∵，不一定等于， ∴， ∴不一定相似，故D错误． 故选：AC． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 三、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ． 12. 如图，在中，D，E分别是边，的中点，，则的长为_____． 【答案】 6 【解析】 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点，， ∴. 13. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知反比例函数（为常数，且），当时，的最大值是，则当时，的最小值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，由题意可得反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随着的增大而减小，再结合反比例函数的增减性求解即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当时，的最大值是， ∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，随着的增大而减小， ∴当时，，即， ， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为； 故答案为：1． 15. 仙游古典家具制作技艺，简称为“仙作”，入选国家级非物质文化遗产名录，“仙作”家具集国画艺术，雕刻艺术与家具制作技艺的巧妙融合，款式典雅，结构严谨．一种“仙作”花窗的花瓣由六条等弧连接而成，所对应的弦构成一个正六边形，如图所示．设正六边形的中心为点，所在圆的圆心恰好是的外心．若，则花窗的面积（实线所围区域的面积）为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式，连接并延长交于，求出是等边三角形，得到，结合题意可得，，求出，再结合花窗的面积（实线所围区域的面积）为计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接并延长交于， ∵六边形是正六边形，点是中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵所在圆的圆心恰好是的外心， ∴， ∴垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴花窗的面积（实线所围区域的面积）为， 故答案为：． 16. 在中，，，，是上一个动点，将沿折叠得到，当平行的一边时，点到边的距离为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，由勾股定理可得，解直角三角形得出，，再分两种情况：当时，延长交于；当时，令交于；分别求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，， 如图：当时，延长交于， ， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴，即此时点到边的距离为； 如图，当时，令交于， ， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴，即此时点到边的距离为； 综上所示，即此时点到边的距离为或； 故答案为：或． 四、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简绝对值、特殊角的三角形函数值，乘方，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． ． 18. 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入进行计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 20. 平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）已知平面内一点，将点向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数的解析式、坐标的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （2）求出将向左平移2个单位长度得，再代入二次函数的解析式计算即可得解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ， ； 函数解析式为：， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解： 将向左平移2个单位长度得， 把代入得， ． 21. 4月23日是世界读书日．为迎接第30个世界读书日，某校举行了“‘阅’见未来”主题诵读比赛． 本次比赛的评委由专业老师和优秀学生组成．组委会现有两种评分方案： 方案一：取各位评委所给分数的平均数，作为选手的最后得分； 方案二：从评委所给的分数中去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余分数的平均数，作为选手的最后得分． 选手小涛的得分情况如下：（百分制） 评委编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分数 71 73 75 72 99 72 72 71 65 70 （1）按方案一和方案二分别计算小涛的最后得分．你认为方案一和方案二哪个较为合理，简要说明理由． （2）组委会经过讨论，认为评分方案的制定要突出专业老师的权威性，适当考虑学生评委的喜爱度．如果1至4号评委由专业老师担任，5至10号评委由优秀学生担任．请以上表选手的得分为例，结合所学的统计知识帮助组委会另外设计一个合理的方案． 【答案】（1）方案二更合理，理由： 方案一小涛的最后得分（分）， 方案二小涛的最后得分：（分）， 方案二更合理，理由：因为平均数受极端值的影响较大，所以去掉极端值的平均数更接近实际水平． （2） 设计方案：专业老师1至4号评委的平均分占， 优秀学生5至10号评委去掉一个最高分和一个最低分后的平均分占比例， 最终得分为：（分）， 理由是：突出专业老师权威性，同时适当考虑学生评委意见并减少极端值影响． 【解析】 【分析】本题考查了求平均数、加权平均数，熟练掌握计算公式是解此题的关键． （1）根据平均数的计算公式分别计算即可； （2）根据题意设计方案专业老师1至4号评委的平均分占， 优秀学生5至10号评委去掉一个最高分和一个最低分后的平均分占比例，再由加权平均数的计算公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 定义：如果一个正整数可以被4整除，且可以表示为两个正整数的平方差，我们把这个数称为“特色数”．例如，16可以被4整除，且，所以16为“特色数”． （1）8是否为“特色数”？说明理由； （2）在数学上常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数．若是一个“特色数”，且，求． 【答案】（1）是， 理由如下： ， 可以被4整除， ， 是特色数； （2）40 【解析】 【分析】本题考查了“特色数”的定义，平方差公式，正确理解“特色数”的定义是解此题的关键． （1）根据“特色数”的定义判断即可得解； （2）根据题意可得这个两位数是13或22或31或40，再结合“特色数”的定义判断即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，得m，n为整数，且，． ， 的值为1，2，3，4，的相应值为3，2，1，0． 这个两位数是13或22或31或40， ，，不能被4整除， ，，不是特色数， ． 23. （1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．） （2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC． （注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注） 【答案】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC， ∴设AB=2x，BC=x，则AC=. ∴AD=AE=.∴． （2）△ABC即为所求. 【解析】 【分析】（1）利用位置数表示出AB，AC，BC的长，进而得出AE的长，进而得出答案. （2）根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可． 【详解】解：（1）略 （2）底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求. 考点：1.新定义；2.作图（应用与设计作图）；3.勾股定理；4.等腰三角形的性质；5.待定系数法的应用． 24. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含m，n，的式子表示）． （3）拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）①． 理由： 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； 【小问2详解】 解：①略 ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 25. 已知为的直径，是的一条弦，为上的一个点，于点，交于点，交于，连接． （1）如图1，当于点时，求证； （2）如图2，当，时， ①求的长； ②求的值． 【答案】（1） 证明：于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，由等角的余角相等可得，最后结合对顶角相等即可得证； （2）①解法一：连接，，由圆周角定理可得，由勾股定理可得，从而得出，结合圆周角定理得出，证明，由相似三角形的性质即可得解；解法二：连接，，连接并延长交于点，连接，由圆周角定理可得，由勾股定理可得，解直角三角形得出，即可得解；解法三：连接，，连接并延长交于点，连接，由解法二可得，，再证明即可得解；解法四：连接，，，，，由圆周角定理可得，由勾股定理可得，再证明，即可得解；②连接，，由①中的解法二得，证明得出①，解直角三角形得出②，计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①解法一：如图，连接，， 为的直径， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解法二：如图，连接，，连接并延长交于点，连接， 为的直径， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ，， 在中，； 解法三：如图，连接，，连接并延长交于点，连接， 由解法二可得，， ， ， ， 为的直径， ，， ， ； 解法四：如图，连接，，，，， 为的直径， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，即； ②解：如图，连接，， 由①中的解法二得， ， ， ， ， ①， ， ， 在中，， 由①中的解法二得， ② 由①②得， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 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