2.5　二次函数与幂函数（2大考点+9大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

2.5　二次函数与幂函数 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、幂函数 3 二、二次函数 3 常用二级结论 4 03 探究核心题型 6 题型一：幂函数的图象与性质 6 题型二：二次函数的解析式 7 题型三：二次函数的图象 7 题型四：一元二次方程根的分布问题 9 题型五：二次函数的单调性与最值 10 题型六：二次函数双重最值问题 11 题型七：二次函数含参数的最值问题 11 题型八：利用幂函数的性质解不等式与比较大小 12 题型九：活用幂函数各类性质 13 04 好题赏析（一题多解） 15 05 数学思想方法 16 ①数形结合 16 ②转化与化归 16 ③分类讨论 17 06 课时精练（真题、模拟题） 18 基础过关篇 18 能力拓展篇 18 1、通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2、掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 一、幂函数 1、定义：函数做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、常见的五种幂函数的图象 3、幂函数的性质 ①所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 ②时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸 ③时，幂函数的图象在上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. ④在经过点平行于轴的直线的右侧，图像从下往上幂指数由小到大分布 ⑤幂指数的分母为偶数时，图象只在一象限 幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称 幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于原点对称 幂函数，（，且互质）可分别化为：，，再研究函数性质. 二、二次函数 1、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图像和性质 函数 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 常用二级结论 1、二次方程根的分布 ①两根与的大小比较（以为例） 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ②两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 ③根在区间上的分布（以为例） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内，另一根在内 大致图像 得出的结论 或 题型一：幂函数的图象与性质 【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【解题总结】 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即所分区域.根据的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【变式1-1】（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【变式1-2】已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【变式1-3】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【变式1-4】（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 题型二：二次函数的解析式 【例2】（2025·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【解题总结】 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 【变式2-1】图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 题型三：二次函数的图象 【例3】如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线. 下面四个结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 数形结合 【变式3-1】二次函数的图象如图所示，那么此函数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为，篮框中心点为，他可以选择让篮球在运行途中经过，，，四个点中的某一点并命中，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的线路是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数，如果且，则它的图象可能是（   ） A．   B．   C． D．   题型四：一元二次方程根的分布问题 【例4】若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【解题总结】 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 【变式4-1】已知、、，关于不等式的解集为． (1)若方程一根小于，另一根大于，求的取值范围； (2)在（1）条件在证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 【变式4-2】关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式4-3】已知关于的方程两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 题型五：二次函数的单调性与最值 【例5】已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 【变式5-1】已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·贵州黔南·三模）设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】若函数在区间上的最小值、最大值分别为，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六：二次函数双重最值问题 【例6】（2025·高三·上海·期中）已知函数，其中常数，若的最大值记为，则的最小值为 . 【解题总结】 解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制. 【变式6-1】已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为 . 【变式6-2】已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ． 【变式6-3】（2025·高三·浙江宁波·开学考试）已知，，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为 . 【变式6-4】当时，函数的最大值记为，则的最小值为 ． 题型七：二次函数含参数的最值问题 【例7】已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 【解题总结】 根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析 【变式7-1】已知函数．是否存在实数，使得在区间上的最小值为2?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】已知函数在区间[m，n]上的最小值是，最大值是，求，的值． 【变式7-3】已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 【变式7-4】已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 题型八：利用幂函数的性质解不等式与比较大小 【例8】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 在比较幂值大小时，需根据幂值的具体形式（如底数、指数的正负及取值范围）选择合适的函数工具，并利用其单调性进行系统分析。 【变式8-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选题）若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】若，则实数的取值范围是 ． 【变式8-4】已知函数．若不等式成立，则在的条件下，可以取的值为 ． 【变式8-5】已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是 . 题型九：活用幂函数各类性质 【例9】（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数（）始终经过点和 C．当时，函数的图象始终在函数的图象下方 D．若函数，则对于任意的有 【解题总结】 幂函数的性质 ①所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 ②时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸 ③时，幂函数的图象在上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 【变式9-1】（多选题）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．当时， 【变式9-2】（多选题）当时，下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（多选题）已知函数与的图象如图所示，则（   ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 1．已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为    A． B． C． D． 2．方程的两根均大于1的充要条件是          ． ①数形结合 1．设方程和方程的根分别为，设函数，则    A． B． C． D． 2．已知方程的两根都大于2，则实数m的取值范围是    A．或 B． C． D．或 3．已知方程的两根都大于2，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 ②转化与化归 4．若对任意，都至少存在三个互不相等的整数x，使得，则m的取值范围是    A． B． C． D． 5．若关于x的方程有两相异实根，，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数的图象经过点，是函数图象上的任意两点，给出以下结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确结论的序号是    A．①② B．①③ C．②④ D．②③ ③分类讨论 7．已知幂函数是R上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是     A． B． C． D． 8．已知二次函数甲同学：的解集为；乙同学：的解集为，丙同学：的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为     A． B． C． D． 9．已知定义在R上的函数是偶函数，当时，，若关于x的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是     A． B． C． D． 基础过关篇 1．（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 4．已知幂函数的图象经过点，则 ． 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 6．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 7．（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 . 8．（2025·广东揭阳·三模）已知函数在处的切线方程为，则的最小值为 . 9．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 10．若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . 能力拓展篇 11．（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 12．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 13．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为，则的取值范围是 ． 14．已知在上满足，求的最大值． 15．已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 16．已知函数，求当时，的最大值． 17．对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”. (1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值； (2)若函数是“倍值函数”，求的取值范围； (3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值. 18．已知函数，求函数在闭区间上的最大值． 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5　二次函数与幂函数 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、幂函数 3 二、二次函数 3 常用二级结论 4 03 探究核心题型 6 题型一：幂函数的图象与性质 6 题型二：二次函数的解析式 8 题型三：二次函数的图象 10 题型四：一元二次方程根的分布问题 12 题型五：二次函数的单调性与最值 16 题型六：二次函数双重最值问题 18 题型七：二次函数含参数的最值问题 21 题型八：利用幂函数的性质解不等式与比较大小 24 题型九：活用幂函数各类性质 27 04 好题赏析（一题多解） 30 05 数学思想方法 32 ①数形结合 32 ②转化与化归 34 ③分类讨论 36 06 课时精练（真题、模拟题） 39 基础过关篇 39 能力拓展篇 42 1、通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2、掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 一、幂函数 1、定义：函数做幂函数，其中是自变量，是常数. 2、常见的五种幂函数的图象 3、幂函数的性质 ①所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 ②时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸 ③时，幂函数的图象在上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. ④在经过点平行于轴的直线的右侧，图像从下往上幂指数由小到大分布 ⑤幂指数的分母为偶数时，图象只在一象限 幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于轴对称 幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于原点对称 幂函数，（，且互质）可分别化为：，，再研究函数性质. 二、二次函数 1、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 2、二次函数的图像和性质 函数 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 顶点坐标 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 常用二级结论 1、二次方程根的分布 ①两根与的大小比较（以为例） 分布情况 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 大致图像 得出的结论 ②两根分别在区间外 大致图像 得出的结论 ③根在区间上的分布（以为例） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内，另一根在内 大致图像 得出的结论 或 题型一：幂函数的图象与性质 【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【解析】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立， 因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减. 因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，， 所以，即，D错误. 故选：C. 【解题总结】 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即所分区域.根据的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【变式1-1】（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【解析】由题意可得. 故选：A 【变式1-2】已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 【变式1-3】若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 【变式1-4】（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 题型二：二次函数的解析式 【例2】（2025·陕西·模拟预测）设函数的定义域为，且，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由题意可得①；②． 令，由①得：， 令，由②得，因为， 所以，即. 令，由①得， 解得，所以． 故选：D． 【解题总结】 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式. (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. 【变式2-1】图象是以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设图象是以为顶点的二次函数（）． 因为图象过原点，所以，，所以． 故选：A 【变式2-2】已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. 【变式2-3】若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于函数，当时，， 所以函数过定点， 设以为顶点且过原点的二次函数， 因为过原点， 所以，解得：， 所以的解析式为：， 故选：A. 题型三：二次函数的图象 【例3】如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线. 下面四个结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为二次函数图象过点，对称轴为直线， 所以，解得： 因为二次函数开口方向向下，所以， 对于A：因为二次函数的图象与轴有两个交点， 所以，所以，故选项A不正确； 对于B：因为，所以，故选项B不正确； 对于C：因为，故选项C不正确； 对于D：因为，所以，故选项D正确. 故选：D 【解题总结】 数形结合 【变式3-1】二次函数的图象如图所示，那么此函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象经过可设其解析式为，代入点则有方程，，解得，故其解析式为，化简为. 故选：C. 【变式3-2】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为，篮框中心点为，他可以选择让篮球在运行途中经过，，，四个点中的某一点并命中，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最小的线路是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】篮球上升阶段越短, 被“盖帽”的可能性最越,则对称轴越靠近轴越好, 设抛物线方程为，当经过时， 列方程组，二次函数解析式为，对称轴为直线， 同理可得经过时，对称轴为直线，经过时，对称轴为直线，经过时，对称轴为直线， 可知经过时篮球处于上升阶段的水平距离最短. 故选：C. 【变式3-3】已知函数，如果且，则它的图象可能是（   ） A．   B．   C． D．   【答案】A 【解析】由题意，函数， 因为，令，可得，即函数图象过点． 又由，可得，，所以抛物线的开口向上，可排除D项， 令，可得，可排除B、C项． 故选：A． 题型四：一元二次方程根的分布问题 【例4】若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【解析】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 【解题总结】 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 【变式4-1】已知、、，关于不等式的解集为． (1)若方程一根小于，另一根大于，求的取值范围； (2)在（1）条件在证明以下三个方程：，，中至少有一个方程有实数解． 【解析】（1）因为关于不等式的解集为， 即的解集为， 故，且1，3为的两根， 则，即， 又方程一根小于，另一根大于， 设，而，则， 即， 结合，可得的取值范围为. （2）证明：假设，，都没有实数解， 则它们的判别式都小于0， 即，即，解得， 这与的取值范围为矛盾， 故，，中至少有一个方程有实数解． 【变式4-2】关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 【变式4-3】已知关于的方程两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得， 解得. 故选：B. 【变式4-4】若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】当时,不符合题意， 所以，记对称轴为，且 ①当时，，解得; ②当时，，所以， 综上或． 故选：D. 题型五：二次函数的单调性与最值 【例5】已知二次函数的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数经过原点，所以，即， 所以，图象开口向下，对称轴为， 所以函数的单调增区间为. 故选：B 【解题总结】 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 【变式5-1】已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为上的增函数，所以， 解得， 故选：C. 【变式5-2】（2025·贵州黔南·三模）设函数，当时，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 即， 当时，函数的大致图象如图， 当时，，所以，又，得； 当时，函数的大致图象如图， 当时，， 所以，又，得， 综上：. 故选：. 【变式5-3】若函数在区间上的最小值、最大值分别为，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得或， ∵函数定义域为，∴，即函数在处取得最小值， 且，即，则， ∵函数的值域为，∴， 当时，有，即， 解得，即；当时，有， 即，解得，即． 综上，实数a的取值范围为，故D正确. 故选：D． 题型六：二次函数双重最值问题 【例6】（2025·高三·上海·期中）已知函数，其中常数，若的最大值记为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】当时，，函数的最大值为， 所以当时，， 因为与轴交于与， 当时，由二次函数的图象，对称轴为，， 又，若，则有，解得， 所以若时，， 若时，， 当时，对称轴，所以， 当时，对称轴，，所以， 综上所述：， 当时，单调递减，所以， 当时，单调递增，， 当时，单调递增，， 所以的最小值为. 故答案为：. 【解题总结】 解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制. 【变式6-1】已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】根据题意，，是偶函数， 当时，， 由二次函数的性质，在上的最大值为或， 由偶函数对称性，在上的最大值为或， ，则， 即. ，即的最小值为. 故答案为：. 【变式6-2】已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ． 【答案】2 【解析】， 上述函数可理解为当横坐标相同时，函数，,与函数，,图象上点的纵向距离， 则即为函数与函数图象上点的纵向距离的最大值中的最小值， 作出函数图象，如图， 由图象可知，当函数的图象刚好为时此时，取得最小值为2. 故答案为：2 【变式6-3】（2025·高三·浙江宁波·开学考试）已知，，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为 . 【答案】 【解析】根据的定义，设的最大值为，根据二次函数的性质，分类讨论求出的最大值，求出，再求出其最小值.设，对称轴方程为， 当， 在单调递增， 当， 在单调递减， ， 所以的最小值为. 故答案为:. 【变式6-4】当时，函数的最大值记为，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由去绝对值可得 当时， 当时，， 当时，， 当时，, 即函数的对称轴方程为或, 即或为函数的极值点, 由函数在闭区间上的最值定理可得:在的最大值为，，， 中之一，则有：，， ，， 四式相加得+， 又， ， 即， 即， 故答案为. 题型七：二次函数含参数的最值问题 【例7】已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（1）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 可得，解得或， 故实数的取值范围为． 【解题总结】 根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析 【变式7-1】已知函数．是否存在实数，使得在区间上的最小值为2?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】由题意得 ， 当时，在上，，故在上是增函数． 因此当时，有最小值，解得，满足题意． 当时，在上，是减函数， 在[a，1]上是增函数，因此当时， 有最小值，解得，均不合题意，故此时无解． 当时，在上，，故在上是减函数． 因此当时，有最小值，解得，满足题意． 综上，或． 【变式7-2】已知函数在区间[m，n]上的最小值是，最大值是，求，的值． 【解析】由知，， 则． 所以在[m，n]上，当增大时也增大， 所以， 所以是方程，即的两个不同实数根，且， 所以． 【变式7-3】已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 【解析】（1）由题意有函数，可得二次函数的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 综上，当时，函数的最大值为； 当时，的最大值为． 【变式7-4】已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最小值． 【解析】（1）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为； 当时，函数在上单调递减，所以的最小值为， 综上可得，在上的最小值为 题型八：利用幂函数的性质解不等式与比较大小 【例8】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为幂函数，得 ∴，所以，所以， 又，所以， 又，所以， 由换底公式得，， 所以， 又，所以，得. 又在区间内单调递减，所以. 综上，. 故选：B. 【解题总结】 在比较幂值大小时，需根据幂值的具体形式（如底数、指数的正负及取值范围）选择合适的函数工具，并利用其单调性进行系统分析。 【变式8-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在幂函数的图象上，则，解得， 所以，可得，故， 因为，，， 且函数在上为增函数， 又因为，则，故. 故选：C. 【变式8-2】（多选题）若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由得， 令，则． 因为函数在上都是增函数，所以在上是增函数， 所以，故A正确． 当时，，故B错误． 因为函数在上单调递增，所以由得，故C正确． 因为函数在上单调递减，所以由得，故D正确． 故选：ACD． 【变式8-3】若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于函数在上单调递增， ∴，解得． 故答案为： 【变式8-4】已知函数．若不等式成立，则在的条件下，可以取的值为 ． 【答案】，，， 【解析】∵，∴． 要使，在上应大于0， ∴当为奇函数，即当时显然不成立． 下面验证为偶函数的情况： 当时，，符合题意． 当时，，不符合题意，舍去． 当时，，符合题意． 当时，，，而，∴，符合题意． 当时，，，而，∴，符合题意． 综上，的可能取值有四个，分别为，，， 故答案为：，，， 【变式8-5】已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题可设，因为函数过点， 所以，所以函数， 所以函数是定义在上的增函数， 所以若，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型九：活用幂函数各类性质 【例9】（多选题）下列说法正确的是（   ） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数（）始终经过点和 C．当时，函数的图象始终在函数的图象下方 D．若函数，则对于任意的有 【答案】BD 【解析】选项A：设幂函数解析式为，因为幂函数的图象经过点， 所以，解得，所以解析式为，A说法错误； 选项B：由幂函数的性质可得幂函数（）始终经过点和，B说法正确； 选项C：当时，，，因为， 所以，则当时，函数的图象始终在函数的图象上方，C说法错误； 选项D：对于任意的，，， 因为， 则， 所以，D说法正确； 故选：BD 【解题总结】 幂函数的性质 ①所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点 ②时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸 ③时，幂函数的图象在上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 【变式9-1】（多选题）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．当时， 【答案】AD 【解析】设幂函数为 将代入解析式得，故，所以， 定义域为， 因为，故函数为奇函数，故A正确； 函数，故B错误； 显然的值域为，故C错误； 当时，， 即满足，故D正确 故选：AD 【变式9-2】（多选题）当时，下列不等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】为减函数， 又，均错； 又和均为增函数，B错； 对于D，，而，∴D正确. 故选：. 【变式9-3】（多选题）已知函数与的图象如图所示，则（   ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】AC 【解析】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则，, 但，，，故B错误； 对于C，，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，令，则， 当接近正无穷大时，函数值接近0，故的值域不能为，故D错误； 故选：AC. 1．已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为    A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 方法一：若，恒有，只需， 设函数在上的最小值为， 则当，即时，， 即，所以 当，即时，， 即，此时不满足题意； 当，即时，， 所以，即，得， 则 综上，实数a的取值范围是 方法二：若，恒有， 所以对任意的恒成立， 而， 当且仅当，即时取等号， 所以因此，实数a的取值范围是 2．方程的两根均大于1的充要条件是          ． 【答案】  【解析】 法一：设方程的两根为、，则使、都大于1的充要条件是    所以方程的两根均大于1的充要条件是         法二：设， 则：方程有两个大于1的实数根 所以方程的两根均大于1的充要条件是 故答案为： ①数形结合 1．设方程和方程的根分别为，设函数，则    A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 由得，由得， 所以令，这3个函数图象如下图所示： 设与交于点B，与交于点C， 由于的图象关于直线对称， 而直线与 垂直且交点为，所以， 注意到函数的对称轴为直线，即，且二次函数的图象是开口向上的抛物线， 从而 故选： 2．已知方程的两根都大于2，则实数m的取值范围是    A．或 B． C． D．或 【答案】B  【解析】 根据题意，二次函数的图象与x轴的交都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得，即实数m的取值范围为 故选： 3．已知方程的两根都大于2，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B  【解析】 方程的两根都大于2，即函数的图象与x轴的两个交点都在2的右侧， 可得，即， 解得 故选： ②转化与化归 4．若对任意，都至少存在三个互不相等的整数x，使得，则m的取值范围是    A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 因为，所以， 所以问题转化为不等式至少有3个整数解， 因为的图象关于直线对称， 所以0，1，2是的3个整数解， 所以， 故选 5．若关于x的方程有两相异实根，，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】因为关于x的方程有两相异实根，，且， 所以关于x的方程有两相异实根，，且， 因此直线与函数的图象有两个不同的交点， 且交点的横坐标分别为，，且 作直线与函数图象如下： 由图象知：，因此实数a的取值范围是 故选： 6．已知幂函数的图象经过点，是函数图象上的任意两点，给出以下结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确结论的序号是    A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D  【解析】 依题意，设，则有，即， 所以，，于是由于函数在定义域内单调递增， 所以当时，必有，从而有，故②正确； 又因为与分别表示直线OP与OQ的斜率， 得直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故，则③正确． 故选 ③分类讨论 7．已知幂函数是R上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是     A． B． C． D． 【答案】A  【解析】因为幂函数是R上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为R的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则 故选： 8．已知二次函数甲同学：的解集为；乙同学：的解集为，丙同学：的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为     A． B． C． D． 【答案】C  【解析】若的解集为， 则； 若的解集为， 则； 若的对称轴在y轴右侧， 则， 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学的论述为假， 综上， 故选： 9．已知定义在R上的函数是偶函数，当时，，若关于x的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是     A． B． C． D． 【答案】C  【解析】由题意可知，函数的图像如下图所示： 根据函数图像，函数在上单调递增，在上单调递减； 且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图像的渐近线． 令，则关于x的方程即可写成， 此时关于t的方程应该有两个不相等的实数根其他情况不合题意， 设为方程的两个实数根， 显然，有以下两种情况符合题意： ①当时，此时，则， ②当，时，此时，则， 综上可知，实数a的取值范围是 故选： 基础过关篇 1．（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 2．设集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，则，即，， 由，，，，则， 所以，共有个元素， 所以集合的非空真子集的个数为. 故选：B. 3．（2025·天津·二模）已知函数，则此函数是（   ） A．偶函数，且在区间上单调递减 B．偶函数，且在区间上单调递增 C．奇函数，且在区间上单调递减 D．奇函数，且在区间上单调递增 【答案】C 【解析】因为函数，定义域为， ，所以是奇函数， 因为在区间上单调递增，，所以函数在区间上单调递减， 故选：C. 4．已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【解析】，，，. 故答案为：. 5．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意. 故答案为：3.（答案不唯一） 6．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【解析】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 7．（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】由，在R上都单调递减，且都是奇函数， 所以是单调递减的奇函数， 故，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 8．（2025·广东揭阳·三模）已知函数在处的切线方程为，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】已知在处的切线斜率为5，而， 所以，解得，所以， 所以切点为，代入可得， 所以，故其最小值为. 故答案为：. 9．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为在上单调递减，所以当时，恒成立， 则恒成立． 设，所以， 因为，所以， 所以（此时）， 所以，又因为， 所以a的取值范围是． 故答案为：. 10．若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】时函数取得最小值， 所以由的最小值在内取得，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 能力拓展篇 11．（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【解析】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 12．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对任意的，存在，使得， 的值域是值域的子集， 当时，的值域为， 是定义在上的函数，其图像关于原点对称， 是奇函数，且， 当时，，的对称轴方程为， 当时，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减， 在时的范围是， 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 若，则，， ，或解得，或，； 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 13．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为函数， 可知函数图象的对称轴为直线，且函数的最小值为． 令，解得或4， 因为在区间上的最大值为5，最小值为， 所以的取值范围是． 故答案为：. 14．已知在上满足，求的最大值． 【解析】由题意知， ， 由绝对值三角不等式得： ． 由绝对值三角不等式得： ． 从而． 当时，， 所以的最大值为17． 15．已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 又因为的最小值为1，可设， 且，解得， 所以． （2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 因为在区间上单调， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为． 16．已知函数，求当时，的最大值． 【解析】二次函数开口向上， ， 当时，， ； 当时，， ， 综上有 17．对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”. (1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值； (2)若函数是“倍值函数”，求的取值范围； (3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值. 【解析】（1）因为函数在上单调递增，且是 “倍值函数”. 所以，，其值域为. 则，又，解得. （2）函数，对称轴为. 设的 “倍值区间” 为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得： ，，. 因为，所以，，即. 若，在上单调递增， 则， 即有两个不同的大于的根. 令，则， 解得或， 解得，解得，此时无解. 若，，，与矛盾. 综上，的取值范围是. （3）因为函数是 “倍值函数”， “倍值区间”为开口向下，对称轴为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得: ，，， 代入得， ，，无解. 若，在上单调递增， 则， 即有两个不同的小于的根. 令，则，解得. 因为存在唯一的 “倍值区间”， 由，根据韦达定理，. 两根为， 要使区间唯一，则，此方程无解. 再考虑在上不单调的情况，因为对称轴， 所以，且，则，得且. 又，， 消去得（无解）， 或者，解得或（舍去）. 所以. 18．已知函数，求函数在闭区间上的最大值． 【解析】题意得， 函数与的对称轴均为，均过点， ①当时，，在上，单调递增，． 当时，，由对称性 在上单调递减，在上单调递增． ⅰ）当时，，因此，在上，． ⅱ）当时，，因此，在上，． ②当时，在上，单调递增． 在[0，2]上，单调递增，且均有， 因此在上单调递增，故． ③当，即时，在上单调递减，在[0，2]上单调递增， 的最大值是与中的较大者．． 当时，，因此． ④当，即时， 在上单调递增，在上单调递减，在[0，2]上单调递增， 的最大值是与中的较大者． ． 令，即， 解得或． ∵，∴不存在． 即当时，恒成立， ∴．故此时． 综上， 27/27 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$