精品解析：福建省福州市福九联盟2025届高三5月联考数学试题

福九联盟2025届高三年级5月联合考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，则（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知，则（   ） A. B. C. D. 4. 若，则的一个充要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ） A B. C. D. 8. 已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则( ) A. 关于轴对称 B. 的面积的最大值为 C. 当时， D. 直线的斜率的范围为 11. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，且，则 B 若，且，则对任意，都有 C. 若，，则存实数，使得 D. 若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答） 13. 曲线与的一条公切线的方程为__________.（只需写出其中一条公切线的方程） 14. 如图，已知Rt是圆锥SO的轴截面，C，D分别为SA，SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分.若P在上，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，多面体中，平面，平面平面，，于点． （1）求证：； （2）设，，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 17. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数） （2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004． 18. 已知函数 （1）讨论的单调性; （2）证明:当时， 19. 我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系），记的方程为，左、右顶点为．已知双曲线系中曲线经过两点． （1）求双曲线系的离心率； （2）已知是双曲线系上的动点，其中在第二象限，在第三象限，依次构造点满足当三点共线时，直线的斜率与直线的斜率之比恒为常数． （ⅰ）证明：数列是以为公比的等比数列； （ⅱ）定义：无穷等比递减数列的所有项之和为，其中为的首项，q为的公比，且．设O是坐标原点，的面积的最小值为，求数列的所有项之和T． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福九联盟2025届高三年级5月联合考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数和绝对值不等式解出集合，再求交集即可. 【详解】，， 所以. 故选：B 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】首先计算出，然后根据坐标求模公式计算即可. 【详解】因为，， 两式相加得，即，， 所以， 故选：A 3. 已知，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合同角三角函数的关系化弦为切即可得解. 【详解】. 故选：C. 4. 若，则的一个充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】或，再利用不等式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：∵或或或， 又， ∴的一个充要条件是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用不等式的性质等价转化不等式，属于基础题． 5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 6. 元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的几何体，求出正六棱台两底面积，再利用台体、柱体的体积公式计算作答. 【详解】依题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和， 正六棱台的两个底面积分别为，， 所以花灯的体积 . 故选：C 7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出，结合三角形的面积公式可求出的值； 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】依题意，，， 解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 因为平分，由角平分线定理可得，故， 所以，即， 故，所以. 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 由，得， 所以. 故选：B. 8. 已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，并依据函数的单调性去求解不等式的解集. 【详解】当时，，则 则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数 则是上的偶函数，且在单调递减， 由，可得，则， 则时，不等式 可化为 又由函数在上单调递增，且，， 则有，解之得 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数模的概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 10. 已知，，动点C满足，记的轨迹为.过的直线与交于两点，直线与的另一个交点为，则( ) A. 关于轴对称 B. 的面积的最大值为 C. 当时， D. 直线斜率的范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】首先设，根据条件求得动点的轨迹以为圆心，半径的圆，然后对选项进行逐一判断即可． 【详解】设，由得， ， 整理得的方程为，其轨迹是以为圆心，半径的圆． 由图可知，由于，所以当垂直时，即时，的面积的最大值， 所以，选项B错误； 因为，所以，所以， 又轨迹的轨迹关于轴对称，所以关于轴对称，选项A正确； 当时， ，则为等腰直角三角形， ，选项C正确； 当直线与圆相切时， ，此时， 所以，所以切线的倾斜角为和， 由图可知，可得直线的斜率的取值范围为，选项D错误. 故选：AC 11. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 若，且，则对任意，都有 C. 若，，则存在实数，使得 D. 若，，则对任意的实数，总存在实数，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A，首先根据题意求出，然后求出，即可得到的值；对于选项B，可找出反例证明选项B错误；对于选项C，讨论的不同范围下，的不同范围；令，即可验证选项D的正确性. 【详解】A选项，由，，可得，，因为，所以，，故A错误； B选项，例如：，，满足，但是并不都大于等于，故B错误； C选项，由，， 当，即时，； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得，所以不存在实数a，使得，故C错误； D选项，由，，取，可得，对任意实数a，总存在b使之成立，故D正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答） 【答案】28 【解析】 【分析】利用二项式系数的和求出n，再利用二项式通项公式求出常数项的项，进而求出常数项.. 【详解】∵各项系数和为256，令得，即 该二次展开式中的第项为 令，得，此时常数项为 故答案为：28. 【点睛】本题考查了二项式系数、二项式的通项公式，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 13. 曲线与的一条公切线的方程为__________.（只需写出其中一条公切线的方程） 【答案】或（写出其中一条即可） 【解析】 【分析】方法一：分别设切点，，根据导数的几何意义写出对应切线方程，再利用公切线斜率和截距相等形成方程组，解出方程组即可求出公切线方程； 方法二：利用特殊法，发现指对函数中的一条常用斜率为1的切线，再验证是他们的公切线即可. 【详解】（方法一）设，.公切线与相切于点，与相切于点，因为，，则公切线斜率，所以公切线方程为或， 整理得或， 所以，即. 所以，解得或， 所以公切线方程为或. （方法二）由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.由曲线与直线相切知，曲线与直线相切.所以直线为曲线与的公切线. 故答案为：或.（写出其中一条即可） 14. 如图，已知Rt是圆锥SO的轴截面，C，D分别为SA，SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分.若P在上，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】过点O作，交底面圆于E，F两点，连接SO，DO，CO，根据圆锥性质及线面垂直的判定及性质定理求得平面CEF，则平面CEF为截面，进而有，当OP最大时，DP最大，以C为原点建立平面直角坐标系，求出抛物线方程为，设，结合距离公式利用二次函数性质求得，即可解答. 【详解】过点O作，交底面圆于E，F两点，连接SO，DO，CO， 设，则，所以当DP最大时，最大， 由圆锥的性质得底面，因为底面，所以， 又，且SO，平面SAB，所以平面SAB， 因为平面SAB，所以， 因为C，O分别是SA，AB的中点，所以，又，则， 因为，且CO，平面CEF，所以平面CEF，则平面CEF为截面， 因为D，O为SB，AB中点，所以，所以平面CEF，因为平面CEF， 所以，所以， 则当OP最大时，DP最大. 如图为截面的平面图， 以C为原点，CO为x轴，过点C垂直CO向上的方向为y轴正方向建系， ，，，，则抛物线方程为， 设，， 则， 所以，则此时，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在多面体中，平面，平面平面，，于点． （1）求证：； （2）设，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证平面，再利用线面平行的性质定理即可； （2）以为原点建系，计算平面的法向量，再利用向量夹角的余弦公式求，最后利用线面角与向量夹角之间的关系求即可. 【小问1详解】 如图，因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 【小问2详解】 在平面内过点作． 因为平面，所以平面， 因平面，平面，所以，， 因平面，平面，则平面平面， 又因为，平面平面，则平面， 所以，，两两互相垂直． 以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 由题意，得， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，于是， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为． 16. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； （2）将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即. 因为，，所以， 又，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以； 小问2详解】 设，所以. 在中，由余弦定理得. 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形的面积的最大值为 17. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数） （2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004． 【答案】（1）总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23 （2） 【解析】 【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解； （2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算. 小问1详解】 把男性样本记为，其平均数记为，方差记为； 把女性样本记为，其平均数记为，方差记为．则． 记总样本数据的平均数为，方差为． 由，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为． 根据方差的定义，总样本方差为 由可得 同理，， 因此， 所以， 所以总样本的均值为17，方差为23， 并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23． 【小问2详解】 由（1）知，所以，又因为， 所以， 因为， 所以． 所以3位参与者的脂肪含量均小于的概率为． 18. 已知函数 （1）讨论的单调性; （2）证明:当时， 【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）求导，按照的正负，讨论正负得解； （2）令，分和两种情况讨论，利用导数判断单调性，求出最小值证明. 【小问1详解】 ，， 当时，易知，所以函数在R上单调递减， 当时，令，解得， 令，解得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，函数在R上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 令，， ，令，， 则，所以在上单调递增， 当时，，又， 有，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，而此时， 所以当时，成立； 当时，可得，， 所以 又， 所以存在，使得，即， ，，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， 下面证明，， 令， ， 所以上单调递增， ， 即得证，即成立， 综上，当时，成立. 【点睛】思路点睛：第一问，求出导数，对正负分类讨论，研究导数正负从而得函数的单调性；第二问，令，利用导数研究的单调性，最值，注意分和讨论，对时的情况，结合隐零点和基本不等式求出，问题转化为证明，，构造函数证明. 19. 我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系），记的方程为，左、右顶点为．已知双曲线系中曲线经过两点． （1）求双曲线系的离心率； （2）已知是双曲线系上的动点，其中在第二象限，在第三象限，依次构造点满足当三点共线时，直线的斜率与直线的斜率之比恒为常数． （ⅰ）证明：数列是以为公比的等比数列； （ⅱ）定义：无穷等比递减数列的所有项之和为，其中为的首项，q为的公比，且．设O是坐标原点，的面积的最小值为，求数列的所有项之和T． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件应用点在双曲线上列式得出，进而求出离心率； （2）（ⅰ）由（1）求出双曲线方程，设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线的斜率与直线的斜率，计算即可得出等比数列；（ⅱ）利用（1）求出的面积结合函数值域得出最小值，求出数列的所有项和即可. 【小问1详解】 双曲线系中曲线经过两点 由题意，得，，则， 所以双曲线的离心率为， 所以双曲线系的离心率为； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）及题意，知，，． 设，． 设直线的方程为，其中在第二象限，在第三象限， 联立得方程组， 消去并整理，得， 则， ，， 所以， 则 ， 所以，则． 故数列是以为公比的等比数列． （ⅱ）由（ⅰ）知，直线也恒过定点， 因此 ， 设，则， 则，当时，则 ， ， 所以数列的所有项之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$