精品解析：福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试题

福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试 时间：120分钟 满分：150分 命题：高三集备组 审核：高三集备组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数是奇函数，则a的值为（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D. 0 4. 将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是 A. B. C. D. 8. 在中，，为内一点，，，则（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则或 D. 若且，则 10. 某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ） A. 中位数为3，众数为2 B. 均值小于1，中位数为1 C. 均值为3，众数为4 D. 均值为2，标准差为 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为__________. 13. 的展开式中常数项为______． 14. 已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是______；若，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码 1 2 3 4 5 64 55 5.0 48 3.8 （1）求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； （2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程； （3）预测2024年酸雨区面积占国土面积的百分比． （回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 附：样本相关系数，． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的值 17. 如图，在三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，且EF⊥平面． （1）求棱BC的长度； （2）若，且的面积，求二面角的正弦值． 18. 设F是双曲线：左焦点，经过F的直线与相交于M，N两点． （1）若M，N都在双曲线的左支上，求面积的最小值． （2）是否存在x轴上一点P，使得为定值?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省福州市福建师范大学附属中学2024届高三下学期校模拟考试数学试 时间：120分钟 满分：150分 命题：高三集备组 审核：高三集备组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和对数不等式化简集合，再求交集. 【详解】不等式解得或，集合或， 不等式，解得，集合 ． 故选：A． 2. 已知等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可得，进而可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，得， 因为，所以， 所以， 故选：C． 3. 若函数是奇函数，则a的值为（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇函数的概念可得，进而结合对数的运算即可求出结果. 【详解】因为是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即恒成立，所以，即 恒成立，所以，即． 当时，，定义域为，且，故符合题意； 当时，，定义域为，且，故符合题意； 故选：C. 4. 将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人共有的选择数，再求出甲、乙两人被分到同一个工作岗位的选择数，再利用古典概型求概率公式及对立事件求概率公式进行求解即可. 【详解】甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人， 则必有2人分配到同一个工作岗位，先从4人中选出2人，有种选择， 再进行全排列，有种选择，故总的方法有种， 其中甲、乙两人被分到同一个工作岗位的情况：从3个岗位中选出一个分配给甲乙， 再将剩余的丙丁和剩余的两个岗位进行全排列，有种选择， 所以甲､乙二人分配到同一个工作岗位的概率为， 故甲､乙二人分别去了不同工作岗位的概率为. 故选：D 5. 设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以有， 故选：D 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由求出，再由条件概率公式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 所以，则. 故选：D 7. 如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，故选A. 考点：抛物线标准方程及其性质 8. 在中，，为内一点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，，即可表示出，，在中利用正弦定理得到，再由两角差的正弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可得解. 【详解】在中，设，令， 则，， 在中，可得，， 由正弦定理， 得， 所以， 可得，即． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题解答关键是找到角之间的关系，从而通过设元、转化到中利用正弦定理得到关系式. 二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则或 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过列举特殊复数验证A；设，则，通过复数计算即可判断B；由得，即可判断C；设，通过复数计算即可判断D. 【详解】对于A，设，则，所以，而， 所以，故A不正确； 对于B，设， 则，故B正确； 对于C，若，所以，所以， 所以 或，所以至少有一个为0，故C正确. 对于D，设，则， 所以，而， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ） A. 中位数为3，众数为2 B. 均值小于1，中位数为1 C. 均值为3，众数为4 D. 均值为2，标准差为 【答案】BD 【解析】 【分析】先设出7天体温高于人数，并按大小关系排好顺序. A，C可通过列举法判定；B，D可通过放缩法判定. 【详解】设连续7天体温高于人数依次为 ，，，，，，，则，. 将，，，，，， 按顺序从小到大依次记为，，，，，，，且，. A选项： 由中位数为3得，又众数为2，所以，，的值无法确定，故选项A错误； B选项： 由中位数为1得，由均值小于1得， 有，，故选项B正确； C选项： 由均值为3得，，， 取，，，，满足众数为4， 但有1天有7人体温高于，故选项C错误； D选项： 由均值为2得，，， 由标准差为得， 所以，所以，故选项D正确. 故选：BD. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式即可判断C；利用不等式即可判断D. 【详解】对A，由图可知：与交点， 与的交点， 根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称， 故，，故A正确； 对B，由A知，故B错误； 对C，由知，则，设，， 则，则当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则，则恒成立，即，当时取等； 令，则有，因为，则，即，故C错误； 对D，设，，则， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 则，即在上恒成立， 即在上恒成立，当时取等， 令，则，即，因为，则，则， 故，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD选项的关键在于两个不等式和的运用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的上､下底面的面积分别为，侧面积为，则该圆台的高为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的性质和有关公式进行计算可得结果. 【详解】做圆台的轴截面，如图： 由题意得：圆台的上､下底面的半径分别为2，6，设圆台的母线长为，高为， 则该圆台的侧面积，解得， 所以. 故答案为：. 13. 的展开式中常数项为______． 【答案】49 【解析】 【分析】利用多项式乘法法写出展开式的通项，令次数为0即为常数项． 【详解】展开式的通项公式为 ，， 当时，常数项为1； 当时，得常数项为； 当时，得常数项为； 所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是______；若，则的值为______． 【答案】 ①. 答案不唯一 ②. ## 【解析】 【分析】根据单调区间，以及可得，进而可得对称中心；先根据单调区间求出的可能取值，然后根据得到和的关系，根据关系以及的可能取值对照验证计算即可. 【详解】因为在区间上单调， 且，， 所以， 所以图象的一个对称中心是； 由题设，的最小正周期， 故，由，得， 由为的一个对称中心， 所以①； 因为，所以或. 若②，①-②得， 即，不存在整数，使得. 若③，①-③得， 即，不存在整数使得，当时，. 此时，由， 得. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：解决本题的思路是通过确定，联立和可得或，分别验证是否有，即可求得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比： 年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 年份代码 1 2 3 4 5 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8 （1）求2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01）； （2）请用样本相关系数说明该组数据中与之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出关于的经验回归方程； （3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比． （回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 附：样本相关系数，． 【答案】（1） （2） （3）预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15% 【解析】 【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数 ，即可得出答案； （2）由（1）知，接近1，即可说明线性相关关系极强；根据（1）中求出的数据，即可求出，，进而得到回归直线方程； （3）将代入回归直线方程，即可预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比. 【小问1详解】 由己知可得，， ， 由题可列下表： 0 1 2 1.3 0.4 ， ． 【小问2详解】 由小问1知，与的相关系数接近1，所以与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行描述． 由小问1知，， ， 所求经验回归方程为． 【小问3详解】 令，则，预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为2.15%． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求的值 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由，得，当时，不符合题意；当时，最小值为，若恒成立，则，设．根据导数研究的最大值，即可求出的值. 【小问1详解】 定义域为，由，得， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 定义域为，， ①当时，，不符合题意． ②当时，令，解得， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为． 所以. 17. 如图，在三棱柱中，，，E，F分别为，的中点，且EF⊥平面． （1）求棱BC的长度； （2）若，且的面积，求二面角的正弦值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行关系可得，再结合垂直关系可得，即可得结果； （2）根据题意分析可得平面ABC，，建系，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 取AC中点D，连接ED，BD， ∵分别为的中点，则且， 又∵为三棱柱，且分别为的中点，则且， 可得且，即四边形DEFB为平行四边形，故， 又∵平面，则平面， 平面，可得， 又∵D为AC的中点，则△ABC为等腰三角形， ∴. 小问2详解】 由（1）可知：，且，即， ∴， 则可得，且， ∵平面，平面，则， ∴，解得， 由（1）知平面，平面，则， 又∵，则 又∵，，则， ，平面ABC， ∴平面ABC， 平面ABC，则， 且，可得， ∴为直角三角形，则， 以为坐标原点，向量，，方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， ∵平面的一个法向量为， 设二面角平面角为， 可得， ∴， 故二面角的正弦值为. 18. 设F是双曲线：的左焦点，经过F的直线与相交于M，N两点． （1）若M，N都在双曲线的左支上，求面积的最小值． （2）是否存在x轴上一点P，使得为定值?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在这样的定点 【解析】 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，即可由弦长公式以及点到直线距离公式求解长度，利用面积公式以及二次函数的性质即可求解， （2）由向量数量积的坐标运算，即可结合韦达定理化简求解. 【小问1详解】 设直线MN的方程为，，． 由可得， 由根与系数的关系可知，①． 此时． 原点O到直线MN的距离为， 此时． 由M，N都在双曲线的左支上知，，得， 令，则， 由于，所以当，即时，此时取最大值，则， 当，即时，等号成立． 【小问2详解】 假设存在这样的定点． 当直线的斜率不为0时，由（1）知 ②． 将①代入②可得， 此时要想为定值，则，得，从而． 即存在这样的定点满足题意． 当直线的斜率为0时，易知，若，则，满足题意.综上，存在满足题意． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”； （2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和． ①求数列{bn}的通项公式； ②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值． 【答案】（1）见解析； （2）①bn=n；②5. 【解析】 【分析】（1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论； （2）①由题意利用递推关系式讨论可得数列{bn}是等差数列，据此即可确定其通项公式； ②由①确定的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值． 【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0. 由，得，解得． 因此数列为“M—数列”. （2）①因为，所以． 由得，则. 由，得， 当时，由，得， 整理得． 所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n. ②由①知，bk=k，. 因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）=，则． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x） 极大值 因，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$