2026届高三数学一轮复习课时作业23：导数与函数的极值、最值

3.3　导数与函数的极值、最值 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是(　　) A.1 B. C.-3 D.(-3，8) 2.(2024·楚雄模拟)已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则(　　) A.f(x)在(-2，2)上先增后减 B.f(x)有极小值f(2) C.f(x)有2个极值点 D.f(x)在x=-3处取得最大值 3.(2025·苏州模拟)设0<x<π，则函数f(x)=+的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D. 4.(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e，则a等于(　　) A.1 B.2 C.e D.3 5.若函数f(x)=ex-ln(x+m)的最小值为2+ln 2，则m等于(　　) A.-2 B.-ln 2 C.- D.+ln 2 6.已知函数f(x)=ln x-ax有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)，则下列说法不正确的是(　　) A.a的取值范围是(-∞，1) B.x1是极小值点 C.当x∈(x2，+∞)时，f'(x)<0 D.= 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知函数f(x)=x3-3x2，则(　　) A.f(x)在(0，1)上单调递减 B.f(x)的极大值点为2 C.f(x)的极大值为-2 D.f(x)有2个零点 8.(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若函数f(x)=x3-4x+m在[0，3]上的最小值为4，则m=　　　　　　.  10.若函数f(x)=x2-ax+ln x在(0，2)上有极值，则实数a的取值范围是　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知函数f(x)=+x(a∈R). (1)若f'(0)=0，求实数a的值；(5分) (2)讨论函数f(x)的极值.(8分) 12.(15分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.(10分) 【提升练】 13.设ab≠0，若a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则(　　) A.a<b B.a>b C.ab<b2 D.ab>b2 14.若不等式a+2x+|ln x|-1≥0恒成立，则a的取值范围是　　　　　　　　　　.  15.(2024·曲靖模拟)已知函数f(x)=2ax-ex2+18，其中a>0且a≠1.若f(x)存在两个极值点x1，x2，则实数a的取值范围为　　　　　　.  16.(2025·湘潭模拟)已知函数f(x)=x-aln x(a>0)，记函数y=f(x)，y=f(f(x))的值域分别为M，N，若NM，则a的取值范围是　　　　　　.  答案精析 1.A　2.B 3.D　[因为0<x<π，令t=sin x，则t∈(0，1]，由g(t)=+(0<t≤1)可得g'(t)=-当t∈(0，1]时，g'(t)<0，则g(t)单调递减，所以当t=1时，g(t)有最小值g(1)=+2=即f(x)有最小值.] 4.B　[由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1-a.令f'(x)>0，得x>ea-1； 令f'(x)<0，得0<x<ea-1. 所以函数f(x)在区间(0，ea-1)上单调递减，在区间(ea-1，+∞)上单调递增. 则函数f(x)的极小值点是ea-1，无极大值点， 故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e， 解得a=2.] 5.B　[易知f(x)的定义域为(-m，+∞)，f'(x)=ex- 易知f'(x)在区间(-m，+∞)上单调递增， 又当x→-m时，f'(x)→-∞；当x→+∞时，f'(x)→+∞， 所以存在唯一x0∈(-m，+∞)，使得f'(x0)=0，即x0=-ln(x0+m)， 所以当x∈(-m，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0， 所以f(x)在区间(-m，x0)上单调递减，在区间(x0，+∞)上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(x0)=-ln(x0+m)=+x0=2+ln 2=eln 2+ln 2， 所以x0=ln 2，所以eln 2=解得m=-ln 2.] 6.A　[令f'(x)=+-a=-a=0， 由题意，方程=a在(0，+∞)上有两根x1，x2(x1<x2)， 设g(x)= g'(x)== 当0<x<1时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)max=g(1)=1>0， 当x→0时，g(x)=→-∞，当x→+∞时，g(x)=→0， 所以a的取值范围是(0，1)，故A不正确； 由A选项分析可知0<x1<1<x2， 当0<x<x1时，f'(x)<f'(x1)=0，f(x)单调递减， 当x1<x<x2时，f'(x)>f'(x1)=0=f'(x2)，f(x)单调递增， 当x>x2时，f'(x)<f'(x2)=0，f(x)单调递减， 所以x1是极小值点，故B，C正确； 对于D，因为==a，所以=故D正确.] 7.AD　[由函数f(x)=x3-3x2，可得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)， 令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2， 所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(-∞，0)，(2，+∞)上单调递增， 当x=0时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)=0； 当x=2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)=-4， 又由x→+∞时，f(x)→+∞且f(2)=-4<0，f(0)=0，所以函数f(x)只有两个零点， 所以A，D正确，B，C不正确.] 8.BCD　[函数f(x)=aln x++的定义域为(0，+∞)，则f'(x)=--= 因为函数f(x)既有极大值也有极小值， 则函数f'(x)在(0，+∞)上有两个变号零点，而a≠0， 因此方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根x1，x2， 于是 即有b2+8ac>0，ab>0，ac<0， 显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确.] 9. 解析　f'(x)=x2-4， 当x∈[0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，3]时，f'(x)>0， 所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增， 所以f(2)为f(x)在[0，3]上的极小值，也是最小值， 故×8-4×2+m=4， 解得m=. 10.(2，+∞) 解析　f(x)=x2-ax+ln x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=x-a+ 要使函数f(x)=x2-ax+ln x在(0，2)上有极值，则f'(x)=x-a+在(0，2)上有变号零点， 令g(x)=x+x∈(0，2)， 则g(x)=x+≥2=2， 当且仅当x=1时等号成立，所以a≥2. 当a=2时，f'(x)=x-a+=x+-2≥0，函数f(x)单调递增， 则函数f(x)=x2-ax+ln x在(0，2)上没有极值，故a>2， 即实数a的取值范围是(2，+∞). 11.解　(1)由函数f(x)=+x， 可得f'(x)=1-= 所以f'(0)==1-a=0， 解得a=1. (2)函数f(x)=+x的定义域为R， 且f'(x)=1-= 当a≤0时，f'(x)>0恒成立， 所以f(x)在R上单调递增，f(x)无极值； 当a>0时，令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 所以f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增， 所以f(x)的极小值为1+ln a，无极大值. 综上所述，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为1+ln a，无极大值. 12.解　(1)当a=1时， 则f(x)=ex-x-1， f'(x)=ex-1， 可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1， 即切点坐标为(1，e-2)， 切线斜率k=e-1， 所以切线方程为 y-(e-2)=(e-1)(x-1)， 即(e-1)x-y-1=0. (2)方法一　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0， 即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 则g'(a)=2a+>0， 可知g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)=ex-a， 若f(x)有极小值， 则f'(x)=ex-a有零点， 令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a， 可知y=ex与y=a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a； 令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3， 无极大值，符合题意， 由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0， 令g(a)=a2+ln a-1，a>0， 因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，+∞)上单调递增， 且g(1)=0， 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，+∞). 13.C　[由三次函数的性质可知，要使a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则 当a>0时，函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则0<a<b，此时ab<b2； 当a<0时，函数f(x)的大致图象如图(2)所示，则b<a<0，此时ab<b2. 综上，ab<b2.] 14.[-ln 2，+∞) 解析　不等式a+2x+|ln x|-1≥0恒成立， 即a≥1-2x-|ln x|恒成立， 设f(x)=1-2x-|ln x|，x∈(0，+∞)， 当x≥1时，f(x)=1-2x-ln x， f'(x)=-2-<0， ∴f(x)在[1，+∞)上单调递减，此时f(x)max=f(1)=-1； 当0<x<1时，f(x)=1-2x+ln x， ∴f'(x)=-2+= ∴当x∈时，f'(x)>0， 当x∈时，f'(x)<0， ∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，此时f(x)max=f =ln =-ln 2. 综上可知，a的取值范围是[-ln 2，+∞). 15.∪(1，e) 解析　对函数f(x)=2ax-ex2+18求导得 f'(x)=2axln a-2ex=2(axln a-ex)， 因为f(x)存在两个极值点，所以f'(x)有两个变号零点. 令f'(x)=0，有axln a=ex， 令h(x)=axln a，g(x)=ex， 所以h(x)与g(x)的图象有两个交点. 当a>1时，h(x)=axln a， h'(x)=ax(ln a)2， 设过原点的直线与h(x)=axln a的切点坐标为(x0，ln a)， 切线斜率为k=(ln a)2， 所以切线方程为y-ln a=(ln a)2(x-x0)， 将原点坐标带入切线方程得x0=. 此时切线的斜率为k=(ln a)2=e(ln a)2， h(x)=axln a的函数图象与g(x)=ex的函数图象有两个交点， 即k=e(ln a)2<e， 因为a>1，有ln a>0，所以0<ln a<1，所以1<a<e； 同理知当0<a<1时，ln a<0，k=e(ln a)2<e， 即-1<ln a<0，所以<a<1. 综上，a的取值范围为∪(1，e). 16. (0，1) 解析　因为f(x)=x-aln x(a>0)，x>0， 则f'(x)=1-=， 当x∈(0，a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x=a时，f(x)取得极小值，也是最小值f(a)=a-aln a， 所以M={y|y≥a-aln a}， 当a-aln a≤0时，M=N，不符合题意， 当a-aln a>0，即0<a<e时， 令f(x)=t，则y=f(f(x))=f(t)，t≥a-aln a， 因为NM，所以必有f(a-aln a)>f(a)， 显然不可能有a-aln a≤a，否则M=N，不符合题意，所以a-aln a>a，解得0<a<1， 所以a的取值范围是(0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$