第11章 第6讲 二项分布、超几何分布、正态分布-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

:学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.coT 您身边的互联网+教辅专家 第6讲二项分布、超几何分布、正态分布 课程标准。1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题2. 了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题3.了解服从正态分布的随机变量及其特 征4了解正态分布的均值、方差及其含义 基础知识整合 知识梳理 1. n重伯努利试验及其特征 (1)n重伯努利试验的概念 我们把只包含sy1(07)两个可能结果的试验叫做伯努利试验 将一个伯努利试验supl(02)独立地sapl(03)重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利 试验。 (②)n重伯努利试验的共同特征 ①同一个伯努利试验spl(04)重复做n次; ②各次试验的结果spI(05)相互独立 2. 二项分布 (1)一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为n(0y1),用X表示事 件A发生的次数,则X的分布列为 P$[=k)=supl(06)(Ckny(1-p-,k=0.1,2,.,n 称随机变量x服从二项分布,记作sapl(07.X~Bn,p) (2)若X~B(n,p),则E(X)-supl(08)np,D(X)-spI(09)np(1-p) 3. 超几何分布 (1)定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不 放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为 P=k)=kMn-kN-MnNCCC,k=m,m+1,m+2,..,r 其中n,N,mEN',M<N,n<N,m=max{o,n-N+M},,=minn,M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布 (2)均值ECX)-supI(10)nMN 1 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 4. 正态分布 (1)正态曲线 密度曲线,简称正态曲线. (②)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为fx),则称随机变量x服从正态分布,记为 sapl(11~N,o.特别地,当u=0,o-1时,称随机变量x服从标准正态分布. (③)正态曲线的特点 ①xER,fx)>0,它的图象在x轴的sapl(12)上方 ②曲线与x轴之间的区域的面积为sapl(13)1 ③曲线是单峰的,它关于直线spl(14)x一对称. ④曲线在sapl(15)x=u处达到峰值Iov(2x) 当无限增大时,曲线无限接近sl(16x轴 当spl(17)一定时,曲线的位置由u确定,曲线随着supl(18u的变化而沿x轴平移,如 图①. 当一定时,曲线的形状由o确定,a较小时,峰值高,曲线“瘦高”,表示随机变量X的 分布比较集中;a较大时,峰值低,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图 ② ### -3-2-10 123 ① ② (4)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值及3o原则 Pu-o<u+o)~spl(19)0.6827 Pu-2oYu+2o)~supl(20j09545 P-3oYu+3o)~supI(2109973 在实际应用中,通常认为服从于正态分布N, o2)的随机变量x只取-3o,n+3o]中的 值,这在统计学中称为3o原则. 12 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 知识拓展 1. 二项分布与超几何分布的关系 在n次试验中,某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. ①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球),X服从二项分布; 区别 ②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球),X服从超几何分布 在不放回n次试验中,如果总体数量N很大,而试验次数n很小,此时超几何 联系 分布可近似转化成二项分布 2.若X~NQu,o2),则X是连续型随机变量. 3. 二项分布与正态分布 随机变量X~B(n,p),当n→十co时,二项分布近似地服从正态分布,即正态分布是二项分 布的极限形式. 双基自测 1. 从一批含有13件正品,2件次品的产品中,不放回地任取3件,则取得次品数为1的概 率是( ) A. 3235 B. 1235 C.335 D. 235 答案:B 解析:设随机变量X表示取出次品的个数,X服从超几何分布,其中N-15,M-2,n-3 X的可能取值为0,1,2,所以所求概率为P-1)-12213315CCC-1235.故选B 2.(人教A选择性必修第三册741例3改编)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三 胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为23,则甲以3:1 的比分获胜的概率为( ) A.827 B. 6481 C.49 D. 89 答案:A 解析:第四局甲第三次获胜,且前三局甲获胜两次,所以所求概率为P一C23× alvs4allcoI(f(23))2×13X23-827.故选A 3.(人教A选择性必修第三册7.5例题改编)李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记 3 :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D7xxK.Cof 您身边的互联网+教辅专家 录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,通过统计相关数据后,发现坐公交车用时X和 骑自行车用时了都近似服从正态分布,绘制了概率分布密度曲线,如图所示,则下列哪种情 况下,应选择骑自行车( (_ x的密度曲线{ 的密度曲线 0 26303438 min A. 有26min可用 B. 有30min可用 C. 有34min可用 D. 有38min可用 答案:D 解析:由题意,应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具,根据X和Y的概率分布密 度曲线图可知,P(<26)→P(<26),P(30)→P(<30),P($34)→P(Y<34),P($ 38$ <P(Y<38).所以如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车,故 选D 4. (2022新高考11卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,o,且P(2<X<2.5)=0.36,则P (>25)- 答案:0.14lalvs4)allcol(或(750)) 解析:因为X~N(2,),所以P(X<2)-P(>2)=0.5,因此P(>2.5)-P[C>2)-P (2<<2.5)-0.5-0.36=0.14 5.一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中目标记0分,某人每次击 中目标的概率为23,则此人得分的数学期望与方差分别为 答案:20,2003 解析:记此人三次射击击中目标X次,得分为Y分,则X~Bavs4lallcol(3,f23),Y=10X 所以E($-10E($=10$3$23=2 20,$D($=100D($ =100$3$t23$13-$ 0 0$$$ 核心考向突破 考向一 n重伯努利试验与二项分布 1(2025-河北衡水中学模拟)已知甲口袋有m(m>1,mEN)个红球和2个白球,乙口袋 有nn1,nN)个红球和2个白球,小明从甲口袋有放回地连续摸球2次,每次摸出1个 4 :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.coT 您身边的互联网+教辅专家 球,然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次,每次摸出1个球 (1)当m=4.n=2时. ①求小明4次摸球中,至少摸出1个白球的概率; ②设小明4次摸球中,摸出白球的个数为X,求X的数学期望; (2)当m一n时,设小明4次摸球中,恰有3次摸出红球的概率为P,则当m为何值时,P最 大? 解:(1)小明从甲口袋有放回地摸出1个球,摸出白球的概率为24十2-13. 从乙口袋有放回地摸出1个球,摸出白球的概率为22十2-12 ①设“小明4次摸球中,至少摸出1个白球”为事件A,则“小明4次摸球中,摸出的都是 红球”为事件,且P( )-laivs4lalcol(1-(13)2xavs4lallcol(1-(12))2=19, 所以P(4)=1-P()-1-19-89 ②X的所有可能取值为0,1,2,3,4. 由①,得P(-0)-P()-19 PX=1)=C12xalvs4allcol(1-f(13)×13xalvs4allcol(1-jf(l2))2+alvs4allcol(l f13)2×C12xavs4allcol(1-(12)×12=13. P[X=2)=alvs4al/col(f(13))2×alvs4al)col(1-f(12))2+alvs4al/col(1- /13)2x avs4allcolf(12)2+C12×avs4alcol(1-f13)×13xC12xavs4alcol(1-(12)x12= 1336. PX=3)-alvs4alcol((13))2xC12×aws4allcol(1-f(12)x12+Ci2xalvs4allcol(1- f(13)×13×avs4allcoI(0f(12)2=16. P[X=4)=alvs4allcol(f(13))2×avs4lallcol(f(12))2=136, 所以E0Y=0$19+1$×13+2$1336+3$16+4$136=5 (2)由m一n,可视为小明从甲口袋中有放回地摸出1个球,连续摸4次,相当于4次独立重 复试验, 设小明每次摸出1个红球的概率为k0~k~1). 则P(k)-C34k(1-)-4(k3-) 因为P'(k)一-16k2}aivs4allcol(k-j(34) 所以当0k34时,P()>0; 1 :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.7xxK.CoT 您身边的互联网+教辅专家 当34k1时,P()<0. 所以P(k)在alvs4allcol(0,f34))上单调递增,在aivs4lallcol(f(34),1)上单调递减, 所以当k一34时,P(取得最大值, 此时k=mm十2-34,解得m=6,故当m=6时,P最大 触类旁通 1. n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验; (2)分拆:判断所求事件是否需要分拆: (3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式 计算。 2. 求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),则 用公式E(X)=mp,D(X一np(1一p)求解,可大大减少计算量 l即时训练。 (2025黑龙江大庆模拟)2024年7月12日,国家疾控局会同教育部、国家卫 生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》,其中一 级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料,足量饮水”,某中学准 备发布健康饮食的倡议,提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息,其中学生饮用含糖饮料 的统计结果如下:学校有14的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升,这些学生的肥释率为 13;而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为29 (1若从该中学的学生中任意抽取一名学生,求该学生肥胖的概率 (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生,记X表示这三名学生中肥胖的人数,求X的分布 列和数学期望. 解:(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A,则P(4)一14,P()-34 设“该学生肥胖”为事件B,则P(BA)一13,P(B )一29 由全概率公式可得P(B)=P(A)P(BA)+P( )P(B )=14X13+34X29-14 所以从该中学的学生中任意抽取一名学生,该学生肥胖的概率为14 (2)由题意可知,X~Blalvs4allcol(3,f(14),且X的可能取值为0,1,2,3,则 P(-0)=aivs4lallcol(1-(14))3-2764, :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.coT 您身边的互联网+教辅专家 P[$=1)=C13x14xavs4lallcol(1-f(14))2=2764 P[X=2)=C23×alvs4allcol(f14))2aws4allcol(I-f14))=964 P[=3)=avs4allcol(f(14)3=164, 所以X的分布列为 0 2 / 3 2764 2764 964 164 数学期望F(X0-3×14-34 考向二 超几何分布 2某校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道 题,按照题目要求独立完成全部实验操作,规定:至少正确完成其中2道题便可通过,已知 6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每道题正确完成的概率都 是23,且每道题正确完成与否互不影响 (1)分别写出考生甲、乙正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望; (2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力 解:(1)设考生甲正确完成实验操作的题数为,则2的可能取值是1,2,3 P-1)-142236CCC-15,P(-2)-241236CCC=35 P(-3)-340236CCC=15. 所以的分布列为 2 15 35 5 则E( -1×15+2×35+3×15-2 设考生乙正确完成实验操作的题数为n,易知n~Bavs4lallcol(3, /(23) 所以Pn=0)=C03xavs4lallcol(1-(23)3-127. Pn=1)-C13x23xavs4allcol(1-f23))2-29 Pn=2)-C23×alvs4lallcolf(23)2xalvs4allcol(1-f(23)-49 Pn-3)=C33×alvs4lalicoI(f(23)3-827, 所以n的分布列为 7 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 P 127 29 40 827 所以E(n)-3×23-2 (②)由(1),知E(=E()-2. $(-(1-2)$15+(2-2)$35+(3-2t15= 5$ D[n)-3x23xavs4allcol(1-(23)-23 P(2)-35+15-45. P2)-49+827-2027. 所以D(Dn),P(2)>Pn2). 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析,两人水平相当; 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析,甲的水平更稳定; 从至少正确完成2道题的概率方面分析,甲通过的可能性更大 触类旁通超几何分布的特点 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数, (2)超几何分布的特征是:①考查对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个 体,考查某类个体个数X的概率分布. (3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型 即时训练。 (2024辽宁大连期末)某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗,鸡苗 成年后又自行繁育,今年为了估计山里成年鸡的数量N,从山里随机捕获400只成年鸡,并 给这些鸡做上标识,然后再放养到大山里,过一段时间后,从大山里捕获1000只成年鸡,x 表示指获的有标识的成年鸡的数目 (1)若N-10000,求X的数学期望; (2)已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识,试求V的估计值(以使得PCX一20)最大的N 的值作为N的估计值). 解:(1)由题意可知,X服从超几何分布,且N=10000,M-400,n=1000,则E(X0一nMN -1000×40010000-40 (②当N~1380时,P(-20)=0: 当N三1380时,P(Y-20)-20400980N-4001000NCCC 令fM)-204001000N-4001000NCCC 8 :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.7xxK.CoT 您身边的互联网+教辅专家 则f(N+1)f(N)=20400980N+1-4001000N+120400980N-4001000NCCCCCC =(N+1-1000)(N+I-400)(N+I)(N+1-400-980) -N2-1398N+999×300N2-1378N-1379 由N2-1398N+999X399M2-1378N-1379,得N<19999 则当1380<N19999时,fMfN+1); 当N20000时,fNfN+1). 所以当N-19999或20000时,fN)最大,所以N的值为19999或20000 考向三正态分布 ③ (1)(2024河南信阳一模)对A,B两地国企员工上班迟到情况进行统计,可知两地国企 员工的上班迟到时间均符合正态分布,其中A地员工的上班迟到时间为X(单位:min),X~ M(2,4),对应的曲线为C,B地员工的上班迟到时间为Y(单位:min),Y~Nalvs4allcol(3 (79),对应的曲线为C,则下列图象正确的是( ) C D 答案:B 解析:由=2~=3,故曲线C.的对称轴在曲线C的左侧,排除C,D;由o2X-4o2Y= 19, 故曲线C比曲线C瘦高,曲线Ci比曲线C2矮胖,排除A故选B (2)(多选)(2025广东八校开学考试)随机变量X服从正态分布N(qu,o),若P(X三1)一P(X<3 ,则( ) A. -2 B. P(>2)-12 C. P(X>212 D. P()P(2 答案:AB 2 :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D7xxK.Cof 您身边的互联网+教辅专家 解析:对于A,由P(X三1)一P(X<3),知u是1和3的中间值,故u-2,故A正确;对于B C,在正态分布X~N(2,o)中,P(>2)-P(X>2)=I2,故B正确,C错误;对于D,当。 E(0,1)时,0<o2<o<1,由正态曲线的特征可得,P(Y→o)~P[C三o^},故D错误,故选AB (3)某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100,o).质量指标介于99至101之间的 产品为良品,为使这种产品的良品率达到95.45%,则需调整生产工艺,使得o至多为 (若XN,o),则P(X-~2o)~0.9545) 答案:12 解析:依题意可知,n一100,根据题意及正态曲线的特征可知,一100~2o的解集A C(99,101),由[X-1002可得100-20~~100+2,所以100-20>99,100+20101,)解 得。12,故g至多为12 I触类旁通{①正态分布下的概率计算常见的两类问题 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x一u对称,及曲线与x轴之间的区域的面积为1的性质. (2)利用3o原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的u, o进行对比联系. 确定它们属于-,+o],-2o,+2],[-3o,+3o]中的哪一个。 即时训练 1.(2025江苏常州期末)设随机变量X服从正态分布N(4,o2),若P(X<2a一 1)-PX→a+3),则实数a-( ) A.23 B.1 C.2 D.4 答案:C 解析:由正态分布的对称性,得a十3十2a一12一4,解得a-2.故选C 2. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零 件,并测量其尺寸(单位:cm). 根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的 零件的尺寸服从正态分布N,。. (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在-3o,十3ol之外的 零件数,求P(X二1)及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在u一3o,十3o之外的零件,就认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查 10