第8章 第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

:学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.com 您身边的互联网+教辅专家 第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系 课程标准,借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空 间点、直线、平面的位置关系的定义,并了解基本事实和定理。 基础知识整合 知识梳理 1. 基本事实与推论 (1)基本事实1:过sup1(01)不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面,即sp1(02)不共 线的三点确定一个平面. (2)基本事实2:如果一条直线上的sp1(03)两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面 内. (3)基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过spl(04)该 点的公共直线. (4)三个推论 推论1:经过一条直线和sp1(05)这条直线外一点,有且只有一个平面 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2. 空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线的定义 把不同在spl(06)任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 (2)位置关系的分类 空间直线共面直线blc\jCavs4alcol(相交直线supl(07)平行直线)异面直线:不同在任何一 个平面内,没有 公共点 (3)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线sp1(08)平行 (4)定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角sap1(09)相等或互补 (5)异面直线所成的角 ①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a/a,b'/b,把a与b 所成的角叫做异面直线a与所成的角(或夹角); ②范围:supl(10)lavs4alcoI(0, ffa2) 3. 空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系 位置关系 符号语言 图形语言 公共点 _ 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 aa=A 相交 1个 直线与平 面 平行 a/a 0个 在平面内 aca 无数个 平行 a/B 0个 平面与平 面 相交 a0-1 无数个 知识拓展 1. 异面直线判定的一个方法 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线 2. 唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 双基自测 1. 已知异面直线a,b分别在平面a,B内,且aO一c,那么直线c一定( ) A:与a,b都相交 B. 只能与a,b中的一条相交 C. 至少与a,b中的一条相交 D. 与a,b都平行 答案:C 解析:由题意易知,c与a,b都可相交,也可只与其中一条相交,故A,B错误;若c与a; b都不相交,则c与a,b都平行,根据基本事实4,知a//b,与a,b为异面直线矛盾,D 错误,故选C 2. (人教A必修第二册8.41练习T.改编)下列说法中正确的是( __ A.三点确定一个平面 B. 四边形确定一个平面 C. 梯形确定一个平面 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.con 您身边的互联网+教辅专家 D. 空间任意两条直线确定一个平面 答案:C 解析:不共线的三点确定一个平面,故A错误;四边形有可能是空间四边形,故四边形不一 定能确定一个平面,故B错误;因为梯形有一组对边平行,所以梯形确定一个平面,故C正 确:两条异面直线不能确定一个平面,故D错误,故选C 3.(人教A必修第二册8.6.1练习T4改编)如图,在直三柱ABC一A.BC中,D为AB的 中点,AB=BC=2,BB =1,AC=22,则异面直线BD与AC所成的角为( ) A.30{ B.45* C. 60” D. 90{ 答案:C 解析:如图,取B.C.的中点E,连接BE,DE,则AC//A.C/DE,则乙BDE(或其补角)即为 异面直线BD与AC所成的角:由条件知,BD=DE=EB-2,则 BDE=60{*.故选C 17 4.(多选)如图,aOB=l.AEa,CEB,C1,直线ABOl=D,A,B.C三点确定的平 面记为,则平面与的交线必过( - A.点A B. 点B C.点C D. 点D 答案:CD 解析:因为ABOI-D,所以DEAB.又A,B,C三点确定平面y,所以CEy,DEv.又C. DEB,故C,D在和B的交线上,故选CD 5. 设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题 ①若a/b,b/c,则a/c: ②若al,blc,则a/c; n :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交 ④若ac平面a,bc平面B,则a,b一定是异面直线. 上述命题中为假命题的是 (写出所有假命题的序号) 答案:②③④ 解析:由基本事实4知①为真命题;当a上b,b1c时,a与c可以相交、平行或异面,故② 为假命题;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行或异面,故③为假命题;a Ca,bCB,并不能说明a与b不同在任何一个平面内,故④为假命题. 核心考向突破 考向一 基本事实与推论的应用 1已知在正方体ABCD-A.B.CD.中,E,F分别为C.D,B.C:的中点,ACOBD=P, ACOFF-Q 求证:(1)B,D,E,F四点共面 (2)若AC交平面BDEF于点R,则P,Q,R三点共线; (3)DE,BF,CC三线交于一点. 证明:(1)如图所示,连接BD 由题意知,EF是△BC.D:的中位线, 所以EF/BD 在正方体ABCD一AB.CD 中,BD//BD, 所以EF//BD,所以EF,BD确定一个平面, 即B,D,E,F四点共面. (2)设平面ACCA;为a,平面BDEF为{ 因为QEAC,所以QEa 又QEEF,所以QEB. 所以Q是a与的公共点, 同理,P是a与的公共点, 所以aO)-PQ 又A.COj=R,所以REAC,且RE{ 又ACca,所以REa,所以REPO. 故P,O,R三点共线. 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)因为EF//BD,且 EF-BD 所以DE与BF相交, 设交点为M,则由MEDE,DEC乎面D.DCC1,得ME平面D.DCC. 同理,ME平面BBCC1 又平面D.DCC.O平面BBCC.一CC. 所以MECC 所以DE,BF,CC:三线交于一点. 触类旁通 1. 证明点或线共面问题的两种方法 (1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内. (2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合 2. 证明点共线问题的两种方法 (1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上. (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上 3. 证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 提醒:点共线、线共点等都是应用基本事实3,证明点为两平面的公共点,即证明点在交线 上. 即时训练。 如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC CD上,且.BG:GC=DH:HC=1:2 (1)求证:E,F,G,四点共面; (2)设直线EG与直线FH交于点P求证:P,A,C三点共线. 证明:(1)';E,F分别为AB,AD的中点 '.EF/BD 在△BCD中,BGGC=DHHC=12. '.GH//BD,..EF//GH ..E,F,G,H四点共面. (2)'FGOFH-P. ..PEEG. 1 :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.com 您身边的互联网+教辅专家 .FGC平面ABC. 'PE乎面ABC同理PE平面ADC 'P为平面ABC与平面ADC的公共点; 又平面ABCO平面ADC=AC '.PEAC,..P,A,C三点共线 考向二 空间两条直线的位置关系 2 (1)(2025山东荷泽模拟)在三锥D一ABC中,点E,F,G,H分别在AB,BC,CD. DA上,且EF//GH,则下列说法中正确的是( ) A. 直线EH与FG一定平行 B. 直线EH与FG一定相交 C. 直线EH与FG可能异面 D. 直线E与FG一定共面 答案:D 解析:如图1,由于EF//GH,所以E,F,G,H四点确定一个平面EFGH,因此直线EH 与FG一定共面,故D正确,C错误:如图2,当EF//GH,EF=GH时,四边形EFGH为 平行四边形,此时EH//FG,故B错误;如图3,当EF//GH且EFGH时,四边形EFGH 为梯形,此时EH与FG交于一点,故A错误,故选D 图1 图2 (2)在底面半径为1的圆柱OO,中,过旋转轴OO,作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2. E是的中点,F是AB的中点,则( _~ A. AE一CF,AC与EF是共面直线 B. AE字CF,AC与EF是共面直线 C. AF一CF,AC与FF是异面直线 D. 4E关CF,AC与EF是异面直线 答案:D 解析:由题意,圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形,E是的中点,F是AB的中点, :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxK.CoT 您身边的互联网+教辅专家 ACC平面ABC,所以EF与平面ABC相交,且与AC无交点,所以AC与EF是异面直线。又 CF=12+22-5,AE-22+(r(2))2=6,所以AE字CF故选D I触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法 回&时 异面直线:直接法或反证法 可构 造几 乎行直线:可利用中位线性 判定 技巧 何模 质,基本事实4,线面、面 方法 型(长 面平行的性质定理 方体 或正 垂直关系:利用线面垂直的 方体) 性质判定 即时训练: 1.已知平面a和直线1,则a内至少有一条直线与l _~ A.平行 B.相交 C. 垂直 D. 异面 答案:C 解析:直线1与平面a斜交时,在平面a内不存在与1平行的直线,.'A错误;当lCa时,在 平面a内不存在与1异面的直线,..D错误;当1//a时,在平面a内不存在与1相交的直线, ..B错误;无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直,..C正确,故选C 2. 如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互 为异面直线的对数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:还原的正方体如图所示,是异面直线的共三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与 GH 1 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C(G) aF 考向三 异面直线所成的角 0③ (1) 如图,在三锥D一ABC中,AC=BD,且AC1BD,E,F分别是校DC,AB的 中点,则EF与AC所成的角为( ) A.300 B.45* C.60 D.90 答案:B 解析:如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG'.'E,F分别为DC,AB的中点,.'.FG//AC, EG/BD,且FG=12AC,EG=12BD,.. EFG(或其补角)为EF与AC所成的角..AC=BD ,.'.FG=EG.AC1BD,.'.FG1EG,.. FGE=90*,.'.△EFG为等腰直角三角形,:. EFG-45*,即EF与AC所成的角为45*故选B (2)在长方体ABCD一ABCD;中,AB=BC=1,AA;=3,则异面直线AD.与DB所成角的 余弦值为( ) A.15 B.5)6 C.5)5 D.22 答案:C 解析:解法一(补形法):如图,补上一相同的长方体CDEF一C.D.EF,连接DE1,BE.易知 AD./DE,则乙BDE(或其补角)为异面直线AD,与DB;所成的角,因为在长方体ABCD一 A$ B$C D 中,AB=BC=1.AA =3.所以DE =21DE2+EE=12+(r(3))2=2,$DB$= +12+(r(3))2-5,BE=2121A1B+A1E=12+22=5,在△BDE;中,由余弦定理,得 cos BDE;-5))2-((5))22x2x/r(5)-5)5,即异面直线AD.与DB;所成角的余弦值为 55.故选C :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxK.Co 您身边的互联网+教辅专家 解法二(平移法):如图,连接BD,交DB,于O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O 为BD,的中点,所以AD.//OM,则MOD(或其补角)为异面直线AD,与DB;所成的角。因 为在长方体ABCD-ABCD 中,AB=BC=1,AA =3,所以AD =21AD2+DD=2,DM= rc! 2)$AB)s\upl2(2)=5)2,DB:=21AB2+AD2+A4=5,所以OM=12AD=1,OD=12DB=5 2. 于是在△DMO中,由余弦定理,得cos乙MOD=re)Qavs4allcol(for(52- bleereoouivstaootefo(s2r(52一5)5,即异面直线AD,与DB,所成角的余弦值为5)5.故选C 触类旁通求异面直线所成角的方法 将异面直线中的某一条直线平移,使其与另一条直线相交,一般采用图中已有的 平移法 平行线或作平行线,形成三角形求解 在该几何体的某俐补接上同样一个几何体,在这两个几何体中找异面直线相应的 补形法 位置,形成三角形求解 坐标法 如果几何图形便于建系,可以将问题坐标化,借助向量求解 注意:平移法求异面直线所成的角时,选点要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通 过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角, 即时训练 1.在正方体ABCD-A.B.C.D.中,P为B.D.的中点,则直线PB与AD.所成 的角为( _ A.2 B.3 C.4 D.π6 答案:D 解析:如图,连接AC,BC,因为AD/BC,所以乙PBC(或其补角)为直线PB与AD。所 成的角。 :学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxK.Con 您身边的互联网+教辅专家 设正方体的校长为2,则PB=6,PC.=2,BC.=22,则PB+PC21=BC21,所以PB1P$C$ △PBC;为直角三角形.在Rt△PBC;中,因为sin PBC.-PCIBCI一=I2,所以直线PB与 AD,所成的角为z6故选D 2. 如图,圆台OO,的上底面半径为OA=1,下底面半径为OA=2,母线长AA;=2,在下 底面内过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C,则异面直线OO.与AC所成角的大小为 () A.30。 B.45。 C. 60* D.90 答案:B 解析:在直角梯形OO,A4中,:B为O4的中点,OA=2,..OA;=OB=AB=1,连接A B 易知四边形OOAB为矩形..'.OO./AB,.BAC(或其补角)为异面直线OO;与AjC所成 的角:在Rt△AA;B中,AA.=2,AB=1,.'.AB=3.连接OC,在Rt△OBC中,由OB=1. OC-2,得BC=3.在Rt△ABC中,BC=AB,..BAC-45*,即异面直线OO;与AC所 成角的大小为45。. 课时作业 一、单项选择题 1.(2025浙江宁波模拟)若a,b是空间中的两条直线,则“a,b异面”是“a,b没有公共点 ”的() A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 10