第7章 素能培优（七） 数列中的构造问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

数列中的构造问题是高考的核心命题点之一，选填题、解答题均可出现．其总的思想是根据数列的递推公式，利用待定系数、配凑、取倒数等构造方法转化为特殊的数列(等差、等比或可用累加、累乘求解的数列)进行求解．

　   考向一　形如an＋1＝pan＋f(n)型

角度1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0，其中a1＝a)

(多选)(2025·广东珠海模拟)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　)

A．a3＝13

B．数列{an＋3}是等比数列

C．an＝4n－3

D．Sn＝2n＋1－n－2

答案：AB

解析：∵an＋1＝2an＋3，∴an＋1＋3＝2(an＋3)，又a1＋3＝4≠0，∴数列{an＋3}是等比数列，∴an＋3＝4×2n－1，∴an＝2n＋1－3，∴a3＝13，∴Sn＝－3n＝2n＋2－3n－4.故选AB.

　先把an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)转化为an＋1＋M＝p(an＋M)，再利用待定系数法求出M的值，最后用换元法转化为等比数列求解．

　某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1200，则c10大约为(　　)

(参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853)

A．1429   B．1472 

C．1519   D．1571

答案：B

解析：由题意可知cn＝(1＋10%)cn－1－100＝1.1cn－1－100，设cn＋k＝1.1(cn－1＋k)，解得k＝－1000，即cn－1000＝1.1(cn－1－1000)，故数列{cn－1000}是首项为c1－1000＝200，公比为1.1的等比数列，所以cn－1000＝200×1.1n－1，则cn＝200×1.1n－1＋1000，所以c10＝200×1.19＋1000≈200×2.358＋1000≈1472.故选B.

角度2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)

(2025·广东广州联考)在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为________．

答案：an＝3n－2(n－1)

解析：因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，设an＋1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，其中p，q∈R，整理可得an＋1＝3an＋2pn＋2q－p，所以解得所以an＋1＋2(n＋1)－2＝3(an＋2n－2)，且a1＋2×1－2＝a1＝3，所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n－1＝3n，解得an＝3n－2(n－1)．

　与角度1构造方法很相似，在构造时我们也保持跟题干一样的结构，加一项pn再构造等比数列就可以，即令an＋1＋p(n＋1)＋q＝A(an＋pn＋q)，然后与已知递推公式各项的系数对应相等，解得p，q，从而得到数列{an＋pn＋q}是公比为A的等比数列．

　(2025·重庆模拟)已知a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，则an＝________．

答案：＋4n－6

解析：设an＋pn＋q＝[an－1＋p(n－1)＋q]，即an＝an－1－pn－p－q，与原式比较，得解得a1－4＋6＝3，所以{an－4n＋6}是以3为首项，为公比的等比数列，所以an－4n＋6＝3×，所以an＝＋4n－6.

角度3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)

(2025·山西大同模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．

答案：an＝(2n－1)·3n

解析：由an＋1＝3an＋2·3n＋1，得＝＋2，∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n.

　形如an＋1＝pan＋qn的数列，一般等式两边同除以qn＋1，转化为bn＋1＝kbn＋

m(k≠0，1)的形式，利用角度1的方法求解．

　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则an＝________，是这个数列的第________项．

答案：　7

解析：由题意得an＝an－1＋(n≥2)，∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即3nan－3n－1·an－1＝1(n≥2)．又a1＝1，∴31a1＝3，∴数列{3nan}是以3为首项，1为公差的等差数列，∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴an＝(n∈N*)．由＝，得n＝7.

考向二　相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)

已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

解：解法一：因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，

设bn＝an＋1＋an，

所以＝＝＝3，

又因为b1＝a2＋a1＝3，

所以数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列．

所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，

从而＋·＝，

不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝，

故cn＋1－＝－，

即＝－，

又因为c1－＝－＝，

所以数列是首项为，公比为－的等比数列，