第7章 素能培优（七） 数列中的构造问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 素能培优（七） 数列中的构造问题 考情分析！数列中的构造问题是高考的核心命题点之一，选填题、解答题均可出现。其 总的思想是根据数列的递推公式，利用待定系数、配凑、取倒数等构造方法转化为特殊的数 列（等差、等比或可用累加、累乘求解的数列）进行求解。 核心考向 考向一形如a+1=pa,十m)型多角度探完突破 角度1a+1=pa,十qp≠0,1，q≠0，其中a=a) 例口（多选）2025广东珠海模拟)数列{a,}是首项为1的正项数列，a+1=2a,+3,S,是数列 {a}的前n项和，则下列结论正确的是() A.a3=13 B.数列a,十3}是等比数列 C.an=4n-3 D.Sn=2"+1-n-2 答案：AB 解析：a.+1=2an+3,∴am+1+3=2(au+3),又a1+3=4≠0，，数列{an+3}是等比数列， ∴.an+3=4×2-,,∴an=2+-3,∴.a=13,.Sn=-3n=2+2-3n-4故选AB 答题启示先把a+1=pa,+4p≠0,1，g≠0)转化为a+1+M=p(a+M,再利用待定系 数法求出M的值，最后用换元法转化为等比数列求解 目对点训练，某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为 10%,且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn},即 c=1200,则co大约为( (参考数据：1.1≈2.144,1.1≈2.358,1.10≈2.594,1.1≈2.853) A.1429 B.1472 C.1519 D.1571 答案：B 解析：由题意可知cn=(1+10%)c.-1-100=1.1cm1-100,设c,+k=1.1(cw·1+),解得k= -1000,即cm-1000=1.1(cw-1-1000),故数列{cm-1000}是首项为c-1000=200,公比为 1.1的等比数列，所以cm-1000=200×1.1·',则cm=200×1.1·'+1000,所以c10= 200×1.19+1000≈200×2.358+1000≈1472.故选B. 角度2an+1=pa十qn十c(p≠0,1,9≠0) 例2(2025广东广州联考)在数列{a}中，a1=3,且a+1=3a+4n一6n∈N),则{a,}的通 1 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 项公式为 答案：an=3-2(n-1) 解析：因为aw+1=3a.+4n-6(n∈N门，设a+1+pn+1)+q=3(an+pn+q,其中p,geR, 整理可得an+1=3an+2pn+2g-p,所以解得所以am+1+2(n+1)-2=3(an+2n-2),且a1+ 2×1-2=a1=3,所以数列{a。+2n-2}是首项为3，公比为3的等比数列，所以am+2n-2 =3×3-1=3",解得an=3"-2(n-1). 【答题启示！与角度1构造方法很相似，在构造时我们也保持跟题干一样的结构，加一项 pn再构造等比数列就可以，即令a+1+p(n+1)+g=A(an+pn+q),然后与已知递推公式各 项的系数对应相等，解得p,g,从而得到数列{a+pn+q}是公比为A的等比数列 目对点训练· (2025·重庆模拟)已知a1=1,当n≥2时，an=am-1十2n-1,则an= 答案：十4n一6 解析：设an+pn+q=[am-1+p(n-1)+q小，即an=am-1~pn-p~g,与原式比较，得解得a -4+6=3,所以{an-4n+6}是以3为首项，为公比的等比数列，所以an-4n+6=3×,所 以an=+4n-6. 角度3aa+1=pa,十q(p≠0,1，q≠0,1) 例3(2025山西大同模拟)已知数列{a}满足a,=3,a+1=3a,十23*1，n∈N,则数列{a 的通项公式为 答案：an=(2n一1)3 解析：由an+1=3an+23*,得=+2，∴.-=2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列 ∴.=2n-1,故an=(2n-1)3 答题启示】形如a+1=pa,+g的数列，一般等式两边同除以，转化为b+1=仙，+ m(k≠0,1)的形式，利用角度1的方法求解 对点训练· 在数列{am}中，a=l,ae+1=an十(n∈N门，则aa 是这个数列的 第 项 答案：7 解析：由题意得an=a-1+(n≥2)，3"an=3"-la.1+1(n≥2)，即3"am-3-1aa1=1(n≥2). 又a=1,∴3'a,=3,数列{3"a}是以3为首项，1为公差的等差数列，3"am=3+(n- 1)X1=n+2,an=(n∈N.由=，得n=7. 考向二相邻项的差为特殊数列（形如aw+i=pa。十qa-) 例4已知数列{a}满足a,=1,a=2,且a+1=2a,十3a。-1n≥2，n∈N),求数列{a,}的通 项公式 2 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：解法一：因为aa+1=2am+3aa-i(n≥2，n∈N, 设bn=an+1+an 所以===3， 又因为b1=a2+a=3, 所以数列b}是首项为3，公比为3的等比数列 所以bn=am+1+an=3X3"-1=3, 从而+·=， 不妨令Cn=,即cm+1+Cn=, 故Cm+1-=-, 即=·， 又因为c-=-=, 所以数列是首项为，公比为·的等比数列， 故cn·=X=-, 从而an=, 解法二：由题意可得该数列的特征方程为x2=2x+3,因为方程2=2x+3的两根为-1,3， 故可设an=c(-1)y°1+c3', 由a1=1,a2=2,解得c1=,c3=, 所以an=. 1答题启示（1)形如a1=pa,+qaip,g为常数)的数列可以化为a+1~x1a,=a,~xa ),其中x,x是方程x2-px-g=0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a-a。 },若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{}的通项。 (2)形如a。+1=pa.+gai(p,q为常数)的二阶递推数列也可以用特征根法求通项a,其特征 方程为x2=px+q,若特征方程有两异根a,B,则可令am=c1-·+c'(C,c2为待定常数)； 若特征方程有两重根a=B,则可令an=(c1+nc)d~'(c,c为待定常数)，然后利用已知条件 中a,a2的值求得c,c,进而求得通项an 目对点训练已知数列{a,}满足at2=4a+1一4a.(n∈N,且a1=4,a=12,证明{aw一 2an}是等比数列，并求{am}的通项公式. 解：解法一：由an+=4am+1-4a 得an+2-2am+1=2(an+1-2an, ,a1=4,a2=12,,∴.a2-2a1=12-8=4, .=2, 3 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则数列{am+1-2an}是首项为4，公比为2的等比数列， an+1-2an=4X2m-1=2m+, -=1, 即数列是首项为2，公差为1的等差数列， ∴.=2+1×(n-1)=n+1, 则a。=(n+1)2 解法二：由题意可得该数列的特征方程为x2=4x-4, 即x2-4x+4=0,因为该特征方程有两重根2， 故可设an=(e1+nc2"-, 由a1=4,a2=12,得 解得 故a。=(2+2n)21=(m+1)2 考向三倒数为特殊数列（形如a+1=型） 例5(12025-广东湛江模拟)在数列{a.}中，a=1,a+1=,则a4= 答案 解析：因为a=1,a+:=,所以==3+，即-=3，所以是以1为首项，3为公差的等差数 列，所以=1+3(n-1)=3n-2,则an=,所以a4==. (2)(2025云南昆明一中模拟)在数列b.}中，b,=一1，b.+1=,n∈N°，则数列{b}的通项公 式为bn= 答案： 解析：递推公式b.+1=两边同时取倒数，得=，即=2：+3，因此+3=2·，又+3=2，故数 列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以+3=2”，可得b.=, 答题启示先将a1=两边同时取倒数转化为=·+的形式，即考向一中角度1的类型， 进而求出的通项公式，得到{a;的通项公式， 目对点训练(2025八省联考改编)已知数列{a}中，a=3,a+=,则数列{a}的通项公 式为aw= 答案： 解析：由a+1=,a1=3,可知an≠0，所以==·+，则1-=-·=，又1-=，所以数列是 首项为，公比为的等比数列，所以1·=×=，所以4。==. 4