第7章 素能培优(八) 子数列问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

子数列问题是近几年高考的重点和热点，常出现在解答题中．其一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.2023年新课标Ⅱ卷出现在第18题，考查了奇偶项问题，难度中等．

　              考向一　奇偶项问题

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝

(1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；

(2)求{an}的前20项和．

解：(1)由已知，a1＝1，a2＝a1＋1＝2，a3＝a2＋2＝4，a4＝a3＋1＝5，

所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝5，

因为a2n＋1＝a2n＋2＝a2n－1＋1＋2＝a2n－1＋3，即a2n＋1－a2n－1＝3，

所以数列{an}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列，

所以当n为奇数时，

an＝1＋×3＝，

因为a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，即a2n＋2－a2n＝3，所以数列{an}的偶数项构成以2为首项，3为公差的等差数列，

所以当n为偶数时，an＝2＋×3＝，

而bn＝a2n＝＝3n－1，

所以bn＝3n－1.

(2)由(1)，知{an}的前20项和

S20＝a1＋a2＋…＋a20

＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)

＝10×1＋×3＋10×2＋×3

＝300，

所以{an}的前20项和为300.

　对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1＝S2k－a2k求S2k－1.

　(2025·山东潍坊模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＋1＝

(1)证明：{a2n－2}是等比数列；

(2)求满足S2n>0的所有正整数n.

解：(1)证明：由已知得a2n＋2＝a2n＋1＋2n＋1＝(a2n－4n)＋2n＋1＝a2n＋1，

所以a2n＋2－2＝(a2n－2)，

其中a2＝，a2－2＝－≠0，

所以{a2n－2}是以－为首项，为公比的等比数列．

(2)由(1)知a2n－2＝－·，

所以a2n＝－＋2，

a2n－1＝6－4n－，

所以a2n－1＋a2n＝8－4n－3·，

所以S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)

＝8n－4(1＋2＋…＋n)－3

＝－2n2＋6n－3＋3×

＝－2＋＋3×，

当n≥2时，{S2n}递减，其中S2＝，S4＝，S6＝－，

所以满足S2n>0的所有正整数n为1，2.

考向二　公共项问题

(2025·河南安阳模拟)已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且bn∈N*，若a1＝b2＝2，a1＋a2＋a3＝b1＋b2＋b3＋b4＝15.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；