第7章 高考难点突破（二） 数列的热点、创新题型-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

等差、等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解．

题型一　数列与不等式的交汇

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．

解：(1)因为4Sn＋1＝3Sn－9，

所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9，

两式相减可得4an＋1＝3an，即＝.

当n＝1时，4S2＝4＝－－9，

解得a2＝－，

所以＝.

所以数列{an}是首项为－，公比为的等比数列，

所以an＝－×＝－.

(2)因为3bn＋(n－4)an＝0，

所以bn＝(n－4)×.

所以Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－5)×＋(n－4)×，①

且Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－5)×＋(n－

4)×，②

①－②，得Tn＝－3×＋＋＋…＋－(n－4)×

＝－＋－(n－4)×＝－n×，

所以Tn＝－4n×.

因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，

所以－4n×≤λ(n－4)×恒成立，

即－3n≤λ(n－4)恒成立，

当n<4时，λ≤＝－3－，此时λ≤1；

当n＝4时，－12≤0恒成立；

当n>4时，λ≥＝－3－，此时λ≥－3.

综上，实数λ的取值范围为[－3，1]．

冲关策略 数列中不等式的处理方法 (1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式． (2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．一般地，数列求和中的放缩的“目标数列”为“可求和数列”，如等比数列、可裂项相消求和的数列等． (3)比较方法：作差比较或作商比较．

变式训练1　(2023·新课标Ⅱ卷){an}为等差数列，bn＝记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.

(1)求{an}的通项公式；

(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

而bn＝

则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6，

于是解得

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3，

所以{an}的通项公式是an＝2n＋3.

(2)证法一：由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，

bn＝

当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，

Tn＝·＝n2＋n，

当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn；

当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5，

当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn.

所以当n>5时，Tn>Sn.

证法二：由(1)知，Sn＝＝n2＋4n，

bn＝

当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝·＋·＝n2＋n，

当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，因此Tn>Sn；

当n为奇数时，若n≥3，则

Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝·＋·＝n2＋n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式，因此当n为奇数时，Tn＝n2＋n－5，

当n>5时，Tn－Sn＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，因此Tn>Sn.

所以当n>5时，Tn>Sn.