第7章 第4讲 数列求和-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第4讲　数列求和

1.探索并掌握等差、等比数列前n项和公式，及其推导用到的“倒序相加法”“错位相减法”和其他一些重要的求和方法.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差、等比关系，并解决相应的问题．

1．公式法

(1)等差数列的前n项和公式：

Sn＝＝na1＋d.

(2)等比数列的前n项和公式：

Sn＝

2．分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可先分组，分别求和后再相加减．

3．并项求和法

一个数列的前n项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

4．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．

5．倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．

6．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

　常见的拆项类型

(1)分式型：＝，

＝，

＝等．

(2)指数型：＝－，＝－

等．

(3)根式型：＝(－)等．

(4)对数型：logm＝logman＋1－logman，an>0，m>0且m≠1.

1．(人教B选择性必修第三册习题5－5B T4改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝(　　)

A．1   B. 

C.   D.

答案：B

解析：∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…＋－＝.故选B.

2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)

A．2n＋n2－1   B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2   D．2n＋n－2

答案：C

解析：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.故选C.

3．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(2n－1)，则该数列的前100项和为(　　)

A．－200   B．－100

C．200   D．100

答案：D

解析：根据题意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故选D.

4．(人教B选择性必修第三册习题5－5B T3改编)Sn＝＋＋…＋＝________．

答案：

解析：∵通项公式为an＝＝＝，∴Sn＝＝＝.

5．(人教A选择性必修第二册习题4.3 T3(2)改编)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________．

答案：

解析：记Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1　①，当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝，当x≠1时，xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋(n－1)xn－1＋nxn　②，由①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋x3＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，所以Sn＝－(x≠1)．所以原式＝

考向一　分组求和与并项求和

角度1　分组求和

(2024·浙江台州一模)已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若an＋1＋an＋2＝12an(n∈N*)，S5＝121.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝an＋ln an，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，

因为an＋1＋an＋2＝12an，即anq＋anq2＝12an，

且an≠0，可得q2＋q－12＝0，

解得q＝3或q＝－4(舍去)．