第7章 第3讲 等比数列-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第3讲　等比数列

1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．

1．等比数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0)，定义的表达式为＝q(n∈N*，q≠0)．

(2)等比中项

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝ab．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式

Sn＝

　等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝amqn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则aman＝apaq＝a.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{anbn}，(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(5)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2·…·a3m，…成等比数列(m∈N*)．

(6)若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.

(7)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，q＝－1且n为偶数除外．

(8)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．

(9)等比数列前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)．

(10)在等比数列中Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*.

1．(人教A选择性必修第二册4.3.1练习T2改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　)

A．5   B．±5 

C．4   D．±4

答案：C

解析：设等比数列{an}的公比为q.∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4.又a5＝a3q2>0，∴a5＝4.故选C.

2．(人教A选择性必修第二册4.3.2练习T1(3)改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝，S3＝，则a2的值为(　　)

A.   B．－3

C．－   D．－3或

答案：D

解析：设等比数列{an}的公比为q.由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，∴a2＝＝或－3.故选D.

3．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值为(　　)

A．5   B．10 

C．15   D．20

答案：A

解析：根据等比数列的性质，得a2a4＝a，a4a6＝a，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3

＋a5)2.而a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，∴(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5＝5.故选A.

4．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)

A．7   B．8 

C．9   D．10

答案：A

解析：解法一：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.故选A.

解法二：因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n项和公式，得两式相除，得q2＝，＝8，所以S6＝＝7.故选A.

5．(人教A选择性必修第二册4.3.2练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．

答案：1，3，9或9，3，1

解析：设这三个数为，a，aq，则解得或∴这三个数为1，3，9或9，3，1.

 

考向一　等比数列的基本运算

(2025·山西太原模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列{Sn}的前n项和．

解：(1)因为2Sn＝3an＋1－3，故2Sn－1＝3an－3，

所以2an＝3an＋1－3an(n≥2)，即5an＝3an＋1，

故等比数列的公比为q＝，

故2a1＝3a2－3＝3a1×－3＝5a1－3，故a1＝1，

故an＝.

(2)由等比数列的求和公式得