第7章 第2讲 等差数列-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第2讲　等差数列

1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元一次函数的关系．

1．等差数列的有关概念

(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．

(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．

　等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.

(7)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝.

(8)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．

(9)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝.

(10)若等差数列的前m项和Sm＝n，前n项和Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．

(11)由公式Sn＝na1＋得＝a1＋d＝n＋a1－，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．

(12)等差数列与函数的关系

①an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数．当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；

②Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

1．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1－an＝2，则a5＝(　　)

A．－6   B．6 

C．－10   D．10

答案：B

解析：∵an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差d＝2的等差数列，又a1＝－2，∴a5＝a1＋4d＝－2＋2×4＝6.故选B.

2．(人教A选择性必修第二册4.2.1练习T4改编)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(　　)

A.   B. 

C．2   D．－

答案：A

解析：∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故选A.

3．(人教B选择性必修第三册5.2.2练习A T2改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＝5，a7＝20，则S8＝(　　)

A．90   B．100

C．120   D．200

答案：B

解析：S8＝＝4(a1＋a8)＝4(a2＋a7)＝4×25＝100.故选B.

4．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．

答案：95

解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得则S10＝10a1＋d＝10×(－4)＋45×3＝95.

5．(人教A选择性必修第二册4.2.2练习T5改编)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为________．

答案：29

解析：设项数为2n－1，则该数列的中间项为an＝S奇－S偶＝319－290＝29.

 

考向一　等差数列的基本运算

(1)(多选)记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知S4＝0，a5＝5，则下列说法正确的是(　　)

A．a2＋a3＝0   B．an＝2n－5

C．Sn＝n(n－4)   D．d＝－2

答案：ABC

解析：S4＝＝0，所以a1＋a4＝a2＋a3＝0，故A正确；a5＝a1＋4d＝5　①，a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0　②，联立①②，得所以an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，故B正确，D错误；Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，故C正确．故选ABC.

(2)(2025·江苏镇江模拟)已知数列{an}的各项均为正数，a2＝3a1，Sn为其前n项和．若{}是公差为的等差数列，则a1＝________，an＝________．

答案：　

解析：由题意知，an>0，由a2＝3a1，得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1，又等差数列{}的公差为