第6章 第4讲 复数-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第4讲　复数

1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．

1．复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a与b分别叫做它的实部与虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数

a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi平面向量(a，b∈R)．

3．复数的运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i．

(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．

(3)乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

1．(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．

(2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．

2．z＝|z|2＝||2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n(n∈N)．

3．(1)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．

(2)复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数．

1．(2＋2i)(1－2i)＝(　　)

A．－2＋4i   B．－2－4i

C．6＋2i   D．6－2i

答案：D

解析：(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选D.

2．(人教A必修第二册习题7.2 T2改编)在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)

A．1－2i   B．－1＋2i

C．3＋4i   D．－3－4i

答案：D

解析：因为向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，所以向量对应的复数是－2－i，且＝＋，所以向量对应的复数是(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.故选D.

3．以2i－的虚部为实部，i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)

A．2－2i   B．2＋i

C．－＋i   D.＋i

答案：A

解析：2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以所求的新复数是2－2i.故选A.

4．若复数z＝是实数，则实数m＝(　　)

A．－1   B．0

C．1   D．2

答案：A

解析：∵z＝＝＝－i为实数，∴－＝0，解得m＝－1.故选A.

5．给出下列命题：

①两个不是实数的复数不能比较大小；

②复数i－1的共轭复数是i＋1；

③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；

④若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.

其中假命题的序号是________．

答案：②③④

解析：①显然为真命题；对于②，复数i－1的共轭复数是－i－1，所以该命题是假命题；对于③，若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x2－1＝0且x2＋3x＋2≠0，所以x＝1，所以该命题是假命题；对于④，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，可取z1＝i，z2＝0，z3＝1，z1≠z2≠z3，所以该命题是假命题．

 

考向一　复数的运算

(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　)

A．－1－i   B．－1＋i

C．1－i   D．1＋i

答案：C

解析：因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.

(2)(2025·甘肃张掖模拟)已知复数z＝，则|z|＝(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：B

解析：因为z＝＝＝－i，则|z|＝