第6章 第3讲 平面向量的数量积及应用-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第3讲　平面向量的数量积及应用

1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．

1．向量的夹角

2.平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．

规定：零向量与任一向量的数量积为0．

3．投影与投影向量

设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到(如图)，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．

4．向量数量积的运算律

5.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

1．数量积的运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．

2．数量积不满足乘法结合律，即一般情况下，(a·b)c≠a(b·c)．

3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.

4．有关向量夹角的两个结论

(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时也有a·b>0)．

(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时也有a·b<0)．

1．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则·的值为(　　)

A．20   B．－20

C．20   D．－20

答案：B

解析：由题意知〈，〉＝120°，所以·＝||||·cos〈，〉＝5×8×＝－20.

2．设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：由a·b＝|a||b|知cos〈a，b〉＝1，所以〈a，b〉＝0，a与b同向，可推出a∥b，反之，由a∥b推不出a·b＝|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件．

3．(人教A必修第二册6.3.5练习T3改编)已知向量a＝(0，2)，b＝(2，x)，且a与b的夹角为，则x＝(　　)

A．－2   B．2 

C．1   D．－1

答案：B

解析：由题意，得cos＝＝＝，所以x>0，且2x＝，解得x＝2.故选B.

4．(人教A必修第二册习题6.2 T11改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋2b|＝，则a·b＝(　　)

A．－2   B．－1 

C．1   D．2

答案：A

解析：由题设，|a＋2b|＝，得|a|2＋4a·b＋4|b|2＝5，代入|a|＝1，|b|＝，得a·b＝－2.故选A.

5．(人教A必修第二册复习参考题6 T8改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，1)，当λ＝________时，λa＋b与b垂直．

答案：－2

解析：因为λa＋b＝λ(1，2)＋(－1，1)＝(λ－1，2λ＋1)，且λa＋b与b垂直，所以(λa＋b)·b＝(λ－1)·(－1)＋2λ＋1＝λ＋2＝0，所以λ＝－2.

 

考向一　平面向量数量积的运算

(1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝(　　)

A．2   B．1