第6章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

 

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．

1．平面向量基本定理

2.平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1，0)，j＝(0，1)，0(0，0)．

3．平面向量的坐标运算

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，

a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则＝(x2－x1，y2－y1)，

||＝．

4．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0．

1．平面向量的一个基底是两个不共线向量构成的集合，平面向量的基底可以有无穷多个．

2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

3．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为.

4．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.

1．(人教A必修第二册复习参考题6 T2(6))在下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝

答案：B

解析：两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B.

2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

答案：D

解析：因为a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.故选D.

3．(人教A必修第二册习题6.3 T1改编)如图，在△ABM中，BM＝3CM，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．－   B.

C．－   D.

答案：D

解析：＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，故λ＋μ＝

－＋＝.故选D.

4．已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．

答案：

解析：因为a∥b，所以2×4＝5λ，解得λ＝.

5．(人教A必修第二册习题6.3 T4改编)已知▱ABCD的顶点A(0，－2)，B(3，－1)，C(5，2)，则顶点D的坐标为________．

答案：(2，1)

解析：设D(x，y)，则由＝，得(3，1)＝(5－x，2－y)，所以解得

考向一　平面向量基本定理的应用

如图所示，已知在△OBC中，A是BC的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC与OA交于点E，设＝a，＝b.

(1)用a，b表示向量，；

(2)若＝λ，求实数λ的值．

解：(1)∵A是BC的中点，∴2＝＋，

即＝2－＝2a－b.

＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.

(2)∵＝λ，

∴＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.

∵与共线，∴存在实数k，使＝k，