第5章 素能培优（六） 解三角形中的最值、范围问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

解三角形中的最值、范围问题的常见题型有：(1)求角的最值或范围；(2)求边和周长的最值或范围；(3)求面积的最值或范围．解决此类问题的关键是建立起角与边的关系，然后利用三角函数，正、余弦定理，基本不等式等工具进行解决.2022年新高考Ⅰ卷出现在第18题，考查了利用基本不等式求与三角形三边有关的代数式的最值，难度中等．

　         考向一　利用基本不等式求最值(范围)

(2025·江苏盐城高三四校联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，(sinA－sinB)(b＋a)＝c(sinB＋sinC)，则△ABC面积的最大值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案：C

解析：在△ABC中，由(sinA－sinB)(b＋a)＝c(sinB＋sinC)及正弦定理，得(a－b)(b＋a)＝c(b＋c)，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，得cosA＝＝－，sinA＝＝，则3＝a2＝b2＋c2＋bc≥3bc，当且仅当b＝c＝1时取等号，因此bc≤1，△ABC的面积S＝bcsinA＝bc≤，所以当b＝c＝1时，△ABC的面积取得最大值，为.故选C.

　利用基本不等式求最值(范围)的步骤

(1)利用正、余弦定理进行边角互化；

(2)将所求周长、面积、线段长等用角或边表示出来；

(3)利用基本不等式求最值(范围)．

注意：解题时要注意角或边的范围，基本不等式成立的条件要注意验证．

　(2025·安徽A10联盟高三段考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＋＝＋.

(1)求证：a＋c＝3b；

(2)若b＝4，且D是边AC的中点，求BD的最小值．

解：(1)证明：∵＋＝＋，

∴＋＝＋，

整理，得sinA＋sinC＝3(sinAcosC＋cosAsinC)＝3sin(A＋C)＝3sinB，

由正弦定理，得a＋c＝3b.

(2)∵b＝4，D是边AC的中点，

∴AD＝CD＝2，

由余弦定理，得＝－，

则2BD2＝a2＋c2－8.

∵b＝4，∴a＋c＝3b＝12，

由a2＋c2≥2ac，得a2＋c2≥＝72(当且仅当a＝c＝6时，等号成立)，

∴2BD2＝a2＋c2－8≥64，∴BD≥4，

故BD的最小值为4.

考向二　利用三角函数求最值(范围)

(2025·黑龙江大庆实验中学实验二部高三期末)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(sinC－sinB，b－a)，n＝(b＋c，sinA)，且m·n＝0.

(1)求角C；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC周长的取值范围．

解：(1)因为m·n＝0，所以sinA(a－b)＋(sinB－sinC)(b＋c)＝0，

利用正弦定理化简，得a(a－b)＋(b－c)(b＋c)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，

由余弦定理，得cosC＝＝，

又因为C∈(0，π)，所以C＝.

(2)由(1)得A＋B＝，即B＝－A，

又因为△ABC为锐角三角形，

所以

解得<A<，因为c＝1，

由正弦定理，得＝＝＝＝，

所以a＝sinA，b＝sinB，

所以a＋b＝sinA＋sinB

＝sinA＋sin

＝sinA＋sin

＝sinA＋cosA＝2sin，

因为<A<，所以<A＋<，所以<2sin≤2，则a＋b的取值范围为(，2]，所以△ABC周长的取值范围为(1＋，3]．

　利用三角函数求最值(范围)的步骤

(1)利用正、余弦定理以及三角恒等变换等知识将所求周长、面积等用只含一个角的三角表达式表示出来；

(2)利用三角形内角和及题中条件确定角的范围；

(3)利用三角函数的单调性求最值(范围)．

　(2025·山东烟台名校联考)在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若b＝a＋2，c＝a＋4，是否存在正整数a，使得∈N*，且△ABC为钝角三角形？若存在，求出a；若不存在，说明理由；

(2)若a＝b＝c＝4，D为BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF＝90°，∠CDF＝θ(0°<θ<90°)，求△DEF的面积S的最小值及此时对应的θ的值．

解：(1)假设存在正整数a满足题设．

因为a<b<c，所以C为钝角，

由－1<cosC＝<0，得解得2<a<6.

因为a∈N*，∈N*，所以a＝4.