第5章 第7讲 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第7讲　余弦定理、正弦定理应用举例

能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角

从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如点B的方位角为α(如图②)．

3．方向角

相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为东北方向、西南方向等．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

(3)南偏西等其他方向角类似．

4．坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10°   B．北偏西10°

C．南偏东10°   D．南偏西10°

答案：B

解析：由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B.

2．(人教B必修第四册习题9－2A T2改编)如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)

A．10 m   B．5 m

C．5(－1) m   D．5(＋1) m

答案：D

解析：在直角三角形中，根据三角函数的定义得－＝10，解得AB＝5(＋1) m．故选D.

3.(人教A必修第二册6.4.3练习T1改编)一艘船航行到点B处时，测得灯塔C在其北偏东15°的方向，如图，随后该船以25海里/小时的速度，沿西北方向航行两小时后到达点A，测得灯塔C在其正东方向，此时船与灯塔C间的距离为(　　)

A．25(3＋)海里

B．25(－)海里

C．25(3－)海里

D．25(3－)海里

答案：D

解析：由题意可知∠ABC＝60°，∠A＝45°，∠ACB＝75°，AB＝50海里，由正弦定理可得＝，即＝，解得AC＝25(3－)，所以此时船与灯塔C间的距离为25(3－)海里．故选D.

4.如图，若为测量隔湖相望的A，B两地之间的距离，某同学任意选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案：

①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；

③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B.

其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是________．

答案：②③

解析：解法一：对于①，由正弦定理得，＝，则sinB＝，若AC＞BC且∠A为锐角，则sinB＞sinA，此时∠B可能有两解，所以∠C有两解，AB也有两解；对于②，若已知∠A，∠B，则∠C唯一，由正弦定理知＝，所以AB唯一确定；对于③，已知∠C，AC，BC，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，所以AB唯一确定；对于④，若已知∠A，∠C，∠B，则AB不确定．

解法二：从边和角的已知情况分析四个条件可得①SSA，②AAS，③SAS，④AAA，能判断三角形全等的只有②和③，也就是可确定三角形唯一的只有②③.

5.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝150 m，汽车从C点到B点历时25 s，则这辆汽车的速度为________m/s.

答案：6

解析：由题意可知，AB＝300 m，AC＝150 m，由余弦定理可得BC＝