第5章 第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第3讲　简单的三角恒等变换 1.知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 公式名 公式 二倍角的正弦 sin2α＝2sinαcosα 二倍角的余弦 cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1 二倍角的正切 tan2α＝ 3.半角公式 sin＝±，cos＝±，tan＝±． 1．公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－＝－1. 2．降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；sinαcosα＝sin2α. 3．升幂公式：1＋cosα＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝；1－sinα＝. 4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝－等． 5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－θ). 1．(人教A必修第一册习题5.5 T6(1)改编)sin20°·cos10°－cos160°sin10°＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：D 解析：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝. 2．cos2－cos2＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝.故选D. 3．(多选)(人教A必修第一册习题5.5 T12改编)化简：sinx＋cosx＝(　　) A.sin B.sin C.cos D.cos 答案：AC 解析：sinx＋cosx＝＝sin＝cos＝cos.故选AC. 4．(人教A必修第一册5.5.1例3改编)已知α∈，且sinα＝，则tan的值为________． 答案：－ 解析：因为α∈，且sinα＝，所以cosα＝－＝－，tanα＝＝＝－，所以tan＝＝＝－. 5．已知θ∈且sinθ＝，则sin＝________，cos＝________． 答案：－　－ 解析：∵θ∈，且sinθ＝，∴cosθ＝－，∈，∴sin＝－＝－，cos＝－＝－. 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式 考向一　公式的直接应用 (1)(2025·辽宁沈阳模拟)已知角α终边上一点的坐标为(－3，4)，则cos＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：D 解析：由角α终边上一点的坐标为(－3，4)，得sinα＝，cosα＝－，则cos＝cosαcos－sinαsin＝×＝－.故选D. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C. D．3m 答案：A 解析：因为cos(α＋β)＝m，所以cosαcosβ－sinαsinβ＝m，又tanαtanβ＝2，所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，故cosαcosβ－2cosαcosβ＝m，即cosα·cosβ＝－m，从而sinαsinβ＝－2m，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.故选A. (3)古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus，公元前417～公元前369年)详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，….如图，则cos∠BAD＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：记∠BAC＝α，∠CAD＝β，由题意知cosα＝＝，sinα＝＝，cosβ＝＝，sinβ＝＝，所以cos∠BAD＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.故选B. 　利用三角函数公式解题时的注意点 (1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”． (2)应注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 　1.(2024·全国甲卷)已知＝，则tan＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C. D．1－ 答案：B 解析：因为＝，所以＝，所以tanα＝1－，所以tan＝＝2－1.故选B. 2．(2025·山东济南模拟)若α∈，且cos2α＝cos，则α＝________． 答案： 解析：由cos2α＝cos，得cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)，因为α∈，所以cosα＋sinα≠0，则cosα－sinα＝，则cos＝，由α∈，得α＋∈，则α＋＝，解得α＝. 考向二　公式的逆用和变形用 (1)tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：D 解析：因为tan120°＝＝－，所以tan70°＋tan50°－tan70°tan50°＝－.故选D. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossinβ，则(　　) A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1 C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1 答案：C 解析：由已知得sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝2(cosα－sinα)sinβ，即sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C. 　两角和与差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形 sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ； cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ； tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)． (3)倍角公式变形：降幂公式． 　1.(多选)已知θ∈(0，2π)，O为坐标原点，θ终边上有一点M，则(　　) A．θ＝ B．OM＝ C．tanθ<1 D．cosθ> 答案：AB 解析：tanθ＝＝＝－tan＝tan，故θ＝＋kπ(k∈Z)，又sin－cos>0，sin＋cos>0，故θ是第一象限角，又θ∈(0，2π)，故θ＝，故A正确；OM2＝＋＝2，故OM＝，故B正确；tanθ＝tan>tan＝1，故C错误；cosθ＝cos<cos＝，故D错误．故选AB. 2．(2025·皖江名校联盟联考)已知cosα＋cosβ＝，sinα＋sinβ＝，则cos(α－β)＝________． 答案：－ 解析：由cosα＋cosβ＝，可得cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝　①，由sinα＋sinβ＝，可得sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝　②，由①＋②，可得1＋2cosαcosβ＋2sinαsinβ＋1＝1，所以2cos(α－β)＝－1，所以cos(α－β)＝－. 考向三　角的变换 (1)(2025·江西抚州模拟)已知sin＝＋cosα，则cos＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 解析：因为sin＝sinα＋cosα＝＋cosα，整理可得sinα－cosα＝sin＝，所以cos＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝－.故选A. (2)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sin2α＝________． 答案：－ 解析：因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<，由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝，由sin(α＋β)＝－，得cos(α＋β)＝－，则sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－. 1．求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． 2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等． 　1.(2025·江苏常州期末)已知角α的终边经过点P(1，3)，角β为钝角，且cos(α＋β)＝－，则sinβ＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：由题意知cosα＝，sinα＝，cos(α＋β)＝－，则sin(α＋β)＝±，若sin(α＋β)＝，则cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝>0，与β为钝角矛盾，舍去，故sin(α＋β)＝－，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝.故选D. 2．(2025·湖南长沙模拟)已知2cos·cos－cos3x＝，则cos＝__________． 答案：－ 解析：因为2coscos－cos3x＝，所以2coscos－cos＝，所以coscos＋sin·sin＝，所以cos＝，所以cos＝2cos2－1＝－. 课时作业 一、单项选择题 1．－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：原式＝－sin(180°－47°)cos(180°＋17°)－cos47°cos(90°－17°)＝sin47°cos17°－cos47°·sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝. 2．已知钝角α满足sinα＝，则cos＝(　　) A．－ B．－ C. D. 答案：B 解析：由α为钝角，可知cosα<0，所以cosα＝－＝－，所以cos＝(cosα－sinα)＝×＝－.故选B. 3．(2025·陕西咸阳模拟)已知角α的始边为x轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点P(1，－2)，则sin2α＋cos2α＝(　　) A. B．－ C．－ D．－ 答案：C 解析：因为角α的终边经过点P(1，－2)，所以sinα＝＝，cosα＝＝，所以sin2α＋cos2α＝2sinαcosα＋2cos2α－1＝2××＋2×－1＝－.故选C. 4．(2025·江苏宿迁模拟)若tan＝2，则sin2α＝(　　) A. B．－ C. D．－ 答案：B 解析：由tan＝＝2，得tanα＝－3，所以sin2α＝2sinαcosα＝＝＝－.故选B. 5．(2025·湖南长沙联考)已知sin(α＋β)＝－，＋＝2，则sinαsinβ＝(　　) A．－ B. C．－ D. 答案：A 解析：因为sin(α＋β)＝－，＋＝＋＝＝＝2，所以sinαsinβ＝－.故选A. 6．已知cos＝，α∈，则cos＝(　　) A. B. C．－ D. 答案：C 解析：因为α∈，所以α＋∈，又cos＝，所以sin＝＝，所以cos＝cos＝coscos－sinsin＝×－×＝－.故选C. 7．已知sin＝－，x∈，则tan＝(　　) A. B．－ C．2 D．－2 答案：B 解析：因为x∈，所以x＋∈，由sin＝－<0，得x＋∈，因此cos＝－，所以tan＝，由二倍角公式可得tan＝＝，tan＝－tan＝－tan＝－.故选B. 8．(2024·河南新乡一中二模)已知sin(130°＋α)＝2cos20°cosα，则tan(α＋45°)＝(　　) A．－2＋ B．2－ C．2＋ D．－2－ 答案：A 解析：sin(130°＋α)＝sin[150°＋(α－20°)]＝cos(α－20°)－sin(α－20°)，2cos20°cosα＝cos(α＋20°)＋cos(α－20°)，因为sin(130°＋α)＝2cos20°cosα，所以cos(α－20°)－sin(α－20°)＝cos(α＋20°)＋cos(α－20°)，所以－cos(α－20°)－sin(α－20°)＝cos(α＋20°)，即cos[120°＋(α－20°)]＝cos(α＋20°)，即cos(100°＋α)＝cos(α＋20°)，所以100°＋α＝α＋20°＋k·360°或100°＋α＋α＋20°＝k·360°，k∈Z，所以α＝－60°＋k·180°，k∈Z，故tanα＝tan(－60°＋k·180°)＝－(k∈Z)，所以tan(α＋45°)＝＝－2.故选A. 二、多项选择题 9．(2025·重庆南开中学第二次质检)已知α，β∈，tan2α＝－，tan(α＋β)＝7，则下列说法正确的是(　　) A．tanα＝2 B．tanβ＝ C．β＝α＋ D．β＝α－ 答案：ABD 解析：由tan2α＝＝－，解得tanα＝2或tanα＝－(舍去)，故A正确；由tan(α＋β)＝＝7，解得tanβ＝，故B正确；由tan(α－β)＝＝1，且α－β∈，得α－β＝，故C错误，D正确． 10．下列各式中，值为的是(　　) A．sinsin B.－cos215° C.＋ D．cos72°cos36° 答案：AD 解析：对于A，sinsin＝sincos＝sin＝；对于B，－cos215°＝(1－2cos215°)＝－cos30°＝－≠；对于C，＋＝ ＝＝＝4≠；对于D，cos72°cos36°＝ ＝＝＝.故选AD. 11．已知≤α≤π，π≤β≤，sin2α＝，cos(α＋β)＝－，则(　　) A．cosα＝－ B．sinα－cosα＝ C．β－α＝ D．cosαcosβ＝－ 答案：BC 解析：对于A，因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin2α＝＞0，故≤2α≤π，≤α≤，所以cos2α＝－＝2cos2α－1，可得cos2α＝，可得cosα＝，故A错误；对于B，(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝，由A项分析知≤α≤，所以sinα＞cosα，所以sinα－cosα＝，故B正确；对于C，由A项分析知≤α≤，而π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－＜0，所以≤α＋β≤，所以sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝cos(α＋β)cos2α＋sin(α＋β)sin2α＝－×＋×＝－，又≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，则β－α＝，故C正确；对于D，cos(α＋β)＝－，可得cosαcosβ－sinαsinβ＝－，由C项分析知，cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，两式联立得cosαcosβ＝－，故D错误．故选BC. 三、填空题 12．已知sin(β－α)cosβ－cos(α－β)sinβ＝，α为第三象限角，则cos＝________． 答案：－ 解析：∵sin(β－α)cosβ－cos(α－β)sinβ＝sin[(β－α)－β]＝－sinα＝，∴sinα＝－，又α为第三象限角，则cosα＝－，cos＝cosαcos－sinαsin＝－×＋×＝－. 13．(2025·江淮十校联考)已知cos2x＝cos2，则tanx＝________． 答案：－1或 解析：cos2x＝cos2，cos2x－sin2x＝(cosx＋sinx)2，即(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＝(cosx＋sinx)2，当cosx＋sinx＝0时，sinx＝－cosx，tanx＝－1；当cosx＋sinx≠0时，cosx＋sinx＝2cosx－2sinx，cosx＝3sinx，tanx＝.综上，tanx＝－1或. 14．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝＋1，则sin(α＋β)＝________． 答案：－ 解析：解法一：由题意，得tan(α＋β)＝＝＝－2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因为tan(α＋β)＝－2<0，则α＋β∈，k，m∈Z，则sin(α＋β)<0，则＝－2，与sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1联立，解得sin(α＋β)＝－. 解法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0，cosβ<0，cosα＝＝，cosβ＝＝，则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝cosαcosβ·(tanα＋tanβ)＝4cosαcosβ＝＝＝＝－. 四、解答题 15．已知α∈，sinα＝. (1)求sin的值； (2)求cos的值． 解：(1)因为α∈，sinα＝， 所以cosα＝－＝－. 故sin＝sincosα＋cossinα ＝×＋×＝－. (2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－， cos2α＝1－2sin2α＝1－2×＝， 所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－. 16．已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝. (1)求sin2β的值； (2)求cos的值． 解：(1)解法一：因为cos＝coscosβ＋sinsinβ＝cosβ＋sinβ＝， 所以cosβ＋sinβ＝，所以1＋sin2β＝， 所以sin2β＝－. 解法二：sin2β＝cos＝2cos2－1＝－. (2)因为0<α<<β<π， 所以<β－<，<α＋β<. 所以sin>0，cos(α＋β)<0， 所以sin＝，cos(α＋β)＝－. 所以cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝－×＋× ＝. 17．(2025·深圳中学模拟)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos2α与tan2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 解：(1)因为tanα＝，tanα＝， 所以sinα＝cosα. 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝， 因此cos2α＝2cos2α－1＝－. 因为tanα＝，所以tan2α＝＝－. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－， 所以sin(α＋β)＝＝， 因此tan(α＋β)＝－2. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝＝－. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$