第4章 第3讲 导数与函数的极值、最值.-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第3讲　导数与函数的极值、最值

1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系．

1．导数与函数的极值

 

2.导数与函数的最值

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)上的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．

3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，就必定是极值．

1．下列四个函数中，在x＝0处取得极值的是(　　)

①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.

A．①②   B．②③ 

C．③④   D．①③

答案：B

解析：对于①，y′＝3x2≥0恒成立，所以函数在R上单调递增，无极值点，①不符合题意．对于②，y′＝2x，当x>0时，函数单调递增；当x<0时，函数单调递减，且y′|x＝0＝0，②符合题意．对于③，结合该函数图象可知函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合题意．对于④，y＝2x在R上单调递增，无极值点，④不符合题意．故选B.

2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)

A．1－e   B．－1 

C．－e   D．0

答案：B

解析：因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.故选B.

3.(多选)(人教A选择性必修第二册习题5.3 T4改编)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　)

A．函数y＝f(x)在区间上单调递增

B．当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值

C．函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增

D．当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值

答案：BC

解析：对于A，函数y＝f(x)在区间上有增有减，故A不正确；对于B，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；对于C，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故C正确；对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正

确．

4．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．

答案：4

解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上是减函数，在(2，3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.

5．(人教B选择性必修第三册6.2.2练习A T3改编)若函数f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，则a＝________．

答案：－e2

解析：∵f(x)＝ex＋ax在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝e2＋a＝0，解得a＝－e2，经检验，符合题意．

考向一　导数与函数的极值

角度1　知图判断函数极值情况

设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)3f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3) 

B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) 

C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3) 

D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)

答案：D

解析：当x＜－3时，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＜0，可得f′(x)＜0，则f(x)单调递减；当x＝－3时，(x－1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；当－3＜x＜1时，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＜0，可得f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x＝1时，(x－1)3·f′(x)＝0，但是f′(x)是否等于0，不能确定；当1＜x＜3时，(x－1)3f′(x)＞0且x－1＞0，可得f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x＝3时，(x－1)3f′(x)＝0，可得f′(x)＝0；当x＞3时，(x－1)3f′(x)＜0且x－1＞0，可得f′(x)＜0，则f(x)单调递减．故f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)．故选D.