重难点培优04 阿波罗尼斯圆、蒙日圆、向量隐圆问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优04 阿波罗尼斯圆、蒙日圆、向量隐圆问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 阿波罗尼斯圆（阿氏圆）（★★★★★） 5 题型02 蒙日圆（★★★★★） 11 题型03 向量中的隐圆（★★★★） 18 03 实战检测·分层突破验成效 23 重难知识巩固 23 创新能力提升 36 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 阿波罗尼斯圆 （1）阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） （2）阿波罗尼斯圆的证明 设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， ①当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； ②当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ （3）阿波罗尼斯圆的相关结论 【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外． 【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然． 【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为． 【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线． 【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角． 证明：如图①，由已知可得（且），，又， 平分．由等角的余角相等可得，平分的外角． 【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分． 证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分． 平分． 知识点02 蒙日圆 （1）蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． （2）蒙日圆的几何性质 【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则． 证明：设点坐标，由，得 ，由其判别式的值为0， 得， ，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，． 【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值． 【结论3】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）． 【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦． 证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点． 【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值． 【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为． 【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为． 知识点03 向量隐圆 1、定值圆（由模长是构造圆）到定点的距离等于定长的圆 记A，B，C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆。有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 2、到两定点距离的平方和为定值的圆 结论：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 3、到两定点的数量积为定值的圆 结论：平面内，若为定点，且则的轨迹是以为圆心为半径的圆 4、对角互补的圆 对角互补的圆：内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 阿波罗尼斯圆（阿氏圆） 【技巧通法·提分快招】 一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线． 1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的值为  （     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设点，运用直接法求得点P的轨迹方程为：，依题意圆心在已知直线上，代入化简即得. 【详解】设点，则由可得，， 两边取平方，， 化简得：，即， 依题意，其圆心在直线上，可得， 故. 故选：B. 2．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上至少3个点到直线的距离等于1，则 【答案】C 【分析】求出轨迹方程判断A；利用圆的几何性质求出圆上的点与点的距离范围判断B；求出圆的轨迹方程，确定两圆位置关系判断C；由已知条件结合点到直线距离列出不等式求解判断D. 【详解】对于A，设点，由，得，整理得， 因此C的方程为，A正确； 对于B：的圆心，半径为，点到圆心 的距离，则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，因此在C上存在点D，使得D到点的距离为3，B正确； 对C：设点，由，则，整理得， 则点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，在C上不存在点M，使得，C错误； 对于D：圆心到直线的距离为，由上至少3个点到 直线的距离等于1，得，即，解得，D正确. 故选：C 3．平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设由题意结合阿波罗尼斯圆定义确定，可得，即可求出Q点坐标，结合平面图形性质即可求得答案.另解：阿波罗尼斯圆中定点未知，需根据“两定点和圆心三点共线”及“性质3的相似比”求出点坐标． 【详解】由动点的轨迹是关于的阿氏圆知点在轴上，设，， 所以．又，所以． 由动点的轨迹是，可知，整理得． 所以，解得，所以． 又,， 所以， 当三点共线时等号成立． 另解：由题意可得圆是关于定点的阿波罗尼斯圆，且，则， 根据点，阿氏圆的圆心三点共线可知点在轴上，且， 可知点的坐标为，所以， 由图形可知，当点位于或时取得最小值，且最小值为． 故选：C 4．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．上的点到直线的最大距离为8 C．过点做直线与圆相切于两点，的正切值为 D．过A做直线与圆C交于两点，使的面积为的直线有4条. 【答案】AC 【分析】设，根据题意求曲线的轨迹方程，即可判断A；对于B：根据圆的性质分析圆上的点到直线距离的最值；对于C：根据切线的性质分析求解即可；对于D：分析可知面积的最大值为，即可判断. 【详解】设，则， 化简得，，即，故选项A正确； 可知曲线是以为圆心，半径的圆， 对于选项B：圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最大距离为，故B错误； 对于选项C：显然轴与圆相切，且切点为，设， 且，可知， 所以的正切值为，故C正确； 对于选项D：因为面积的最大值为， 所以不存在直线，使得的面积为，故D错误； 故选：AC. 5．（多选题）平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是： B．点的轨迹关于直线对称的圆的方程为 C．已知点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则直线CD的方程为 D．已知点为坐标原点，若点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为E，F，则四边形OEMF面积的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析每个命题中涉及的直线与圆的位置关系、弦长公式计算以及四边形面积即可. 【详解】设，又，，所以， 所以，所以， 整理得，故选项A正确； 由，可得圆心为，半径为， 设关于直线的对称点为， 则：的中点为，所以 解得且， 因此，对称圆的圆心为，所以对称圆的方程为，故B错误； 因为，所以，点在圆外，可以作两条切线。 又， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 即，两圆方程相减得， 整理得，故选项C正确； 的方程为，圆心，半径. 因为， 又，所以， 的最小值是点到直线l的距离：， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 6．阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知在中，，则的面积最大值为__________. 【答案】 【分析】构建如下图示的直角坐标系，令，应用两点距离公式求的轨迹，数形结合确定三角形面积最大值. 【详解】由题设，构建如下图示的直角坐标系，令， 由，则， 所以，故在以为圆心，为半径的圆上， 所以的面积最大值为. 故答案为： 题型02 蒙日圆 【技巧通法·提分快招】 1、曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：． 2、双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆． 3、抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上． 1．（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为， 可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为， 又由圆的圆心为，半径为2， 因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切， 可得或， 又因为，所以或， 解得或． 故选：B． 2．（24-25高三上·河南周口·期中）加斯帕尔一蒙日是18—19世纪法国著名的几何学家．他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．现有如图所示半径为的“蒙日圆”，其内接矩形与一椭圆相切（直线与椭圆有且只有一个公共点），且切点为矩形各边的中点，若该矩形的面积为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，椭圆外切矩形的面积为，“蒙日圆”的半径为，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，由此可求出该椭圆离心率的值. 【详解】如下图所示，设椭圆方程为，如下图所示： 过该椭圆的顶点作椭圆的切线、， 则这四条切线围成的矩形的顶点坐标分别为、、、， 且椭圆与这个外切矩形的切点刚好为各边的中点， 所以，该矩形的面积为，可得， “蒙日圆”的半径即为该矩形对角线长的一半，即， 于是有，解得，则， 因此，该椭圆的离心率为， 故选：B. 3．（多选题）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长OP与的蒙日圆交于点，则（    ） A．|PQ|的最大值为 B．若为OQ的中点，则的离心率的最大值为 C．若点在上，则点可能在的蒙日圆上 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】AD 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为OQ的中点建立不等式，化简可推出离心率最值判断B，由点在椭圆上结合基本不等式推出， 据此判断点不在椭圆上可判断C，由基本不等式求出的最小值，即可判断D. 【详解】如图， 对于A，，故A正确； 对于B，若为OQ的中点，则，则，故B错误； 对于C，因为点在上，所以，所以， 由知等号不成立，所以，若点在的蒙日圆上，则， 即，不满足，所以点不在的蒙日圆上，故C错误； 对于D，点在上，所以， 当且仅当时取等号，所以的蒙日圆面积最小为，故D正确. 故选：AD 4．（多选题）（24-25高三上·广西贵港·阶段检测）法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若点在椭圆上，且直线的斜率之和为0，则直线的斜率为 C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】AB 【分析】过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，即可得到交点在圆上，从而求出离心率，即可判断A；依题意可得直线经过坐标原点，则点，关于原点对称，设，由斜率公式求出、即可判断B；设，椭圆的左焦点为，连接，表示出，再由的范围，求出的最小值，即可判断C；依题意可得为圆的直径，则，再由面积公式即可判断D. 【详解】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线， 则这两条垂线的交点在圆上， 所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确； 对于B，由可知，又过点，所以，解得， 所以椭圆方程为， 因为点都在圆上，且，所以为圆的直径， 所以直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称， 设，则，，，， 所以，所以， 又，，所以，故B正确； 对于C，设，椭圆的左焦点为，连接， 因为，即， 所以， 又，所以， 所以则到左焦点的距离的最小值为，故C不正确； 对于D，因为点都在圆上，且，所以为圆的直径，则， 设点到的距离为，则， 所以面积，故D不正确； 故选：AB 5．加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知椭圆的蒙日圆方程为，则______；若为椭圆的一个焦点，点P，Q是上关于原点对称的两点，则的最小值为______． 【答案】 2 8 【分析】（1）由题中定义即可得； （2）根据题意画图，利用椭圆的对称性将所求问题转化为二次函数的最值问题，即可解出. 【详解】由椭圆的蒙日圆方程为，可得，于是． 椭圆的方程为，令为椭圆的左焦点，取椭圆的另一个焦点为，连接PE，EQ，如图所示， 由题意可知四边形EPFQ为平行四边形．设， 由椭圆的对称性得， 其中，即， 所以， 令，， 所以当时，． 故答案为：2；8. 6．已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________. 【答案】/ 【分析】根据蒙日圆的定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可. 【详解】由题意得蒙日圆为，则，， 直线的方程为：， 联立得， ， 解得，， 所以. 故答案为：. 7．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其方程为.已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，则动点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为________（用含的式子表示）；若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据题意求出椭圆的蒙日圆方程，由原点到椭圆上任意一点的距离最大值为，即可求得椭圆上的点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值；当时，得椭圆的方程为，设，，由判断，与椭圆相切，可得直线的方程和直线的方程，同构得到直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出，结合即可求出的范围. 【详解】因为椭圆，其离心率，则，所以， 故该椭圆的蒙日圆方程为，其半径为， 由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为，原点到椭圆上任意一点的距离最大值为， 故椭圆上的点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为；. 若，则椭圆的方程为，即，蒙日圆方程为， 不妨设，因为其在蒙日圆上，所以，设，， 又，由蒙日圆的性质，，与椭圆相切，、分别为切点， 故直线的方程为，直线的方程为， 将代入，的直线方程中可得， 所以直线的方程为，将其与椭圆的方程联立， 消去得，则有，， 所以 . ，，即，，故. 故答案为：；. 题型03 向量中的隐圆 【技巧通法·提分快招】 活用隐圆的定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。 解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。 1．已知圆的半径为3，弦，是圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，则，, 所以 ， 因为，所以. 2．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简向量等式得到，然后数形结合，找到向量的终点轨迹，由圆上的点到直线的最短距离即可求得结果. 【详解】由分解因式得，则， 如图取，则，则， 以为直径作圆，则的终点在圆上， 作，则在射线上，的起点在射线，终点在圆上， 要求的最小值，即求圆上的点到直线的距离. 过点作线段于点，交圆于点， 即的最小值为. 3．若，且，，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知3个向量终点都在半径为2的圆上运动，由结合极化恒等式知点在以为直径的圆上和内部，即点只能在劣弧上运动，而表示，求的取值范围即可. 【详解】如图，由知3个向量终点都在半径为2的圆上运动， 设，，，由得， 由即结合极化恒等式知点在以为直径的圆上和内部， 即点只能在劣弧上运动， 而表示，所以， 故选：D 4．已知为单位向量，，满足，则的最小值为_____. 【答案】2 【分析】根据数量积和向量相减模的几何意义，构造图形，并建立坐标系，转化为两点间距离的最小值问题. 【详解】设，，，， ，得点在直线上， ，所以点在以点为圆心，1为半径的圆上， , 所以的最小值为2. 5．已知向量满足，，则的最大值等于_____ 【答案】4 【分析】设向量起点为，终点分别为，利用向量的几何意义，将条件转化为几何图形，即点C在以O为圆心半径为1的圆上，且 .并将补成矩形，求解的最大值转化为求的最大值，再进行求解即可. 【详解】设向量起点为，终点分别为， 易知点在以为圆心半径为1的圆上，则. 将补成矩形， 则由矩形恒等式可得，， 即，所以CD. 而， 即的最大值为4. 6．在中，已知，，.点在平面内运动，且满足.则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】通过建立平面直角坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为三角函数的最值. 【详解】因为在中，，，，所以. 不妨以为原点，以、为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，则，. 又，所以在以原点为圆心，1为半径的圆上，设，其中, 则，， 所以，其中， 因为，所以，所以.    7．已知都是平面向量，且，若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】设，则，结合两点间线段最短进行即可求解． 【详解】如图设， 点在以为圆心，半径为的圆上， 点在以为圆心，半径为1的圆上，， 所以在射线上， 所以， 作点关于射线的对称点，则，且， 所以，（当且仅当共线时取等号）， 的最小值为． 故答案为：． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出点M，点N是两个圆的公共点，所以将两圆直接作差即可得到公共弦所在直线方程. 【详解】由题得，，设，∵，∴点M在圆：上． ∵，∴，整理得， ∴点M也在圆：上，同理点N也在这两个圆上， ∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为， 故选：A． 2．法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆，称这个圆为该椭圆的蒙日圆，其圆心为椭圆的中心，半径为椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．在圆上存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据蒙日圆的定义得到点P在上，从而得到圆与圆有交点，然后列不等式求解即可. 【详解】因为过点P的椭圆两条切线相互垂直， 所以两切线的交点P在该椭圆的蒙日圆上， 由题意得椭圆的蒙日圆方程为． 因为点P在圆上，则圆与圆有交点， 即两圆相切或相交， 则，解得． 故选：B． 3．（24-25高三上·安徽黄山·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据为锐角可知直线与蒙日圆相离，根据直线与圆位置关系可求得范围，进而得到离心率的取值范围. 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 直线，与椭圆都相切， ，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角， 点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：， 又，； 椭圆离心率，，. 故选：B. 4．（2026·重庆·模拟预测）在坐标系中，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得,取，由向量的线性运算，可得,将问题转化为求的最大值，由,可得，从而得点在以点为圆心， 为半径的圆上，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为， 所以在圆上， 在中，由余弦定理可得， 又因为，所以， 即, 取， 则, 即， 同理可知， 所以 ， 所以点在以点为圆心， 为半径的圆上， 所以点在的延长线与圆的交点位置时，最大， 此时, 且, 所以, 即的最大值为. 5．（多选题）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最大值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】AD 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B错误； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：AD. 6．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．在曲线上存在点，使得到点的距离为 C．在曲线上存在点，使得 D．曲线上的点到直线的最小距离为 【答案】ABD 【分析】根据已知求曲线的方程，由已知点到圆心距离判断点的存在性，两点距离求的轨迹，点线距离判断圆上点到直线距离的最值判断各项正误. 【详解】令，则， 整理得，所以，A对； 由上，曲线是以为圆心，4为半径的圆， 则点到的距离， 所以该圆上点到距离范围为， 显然3在上述范围内，B对； 令，由，则， 所以，显然轨迹为为圆心，为半径的圆， 而，即轨迹M在曲线C内，即两圆为内含关系，C错； 由到直线的距离， 所以曲线上的点到直线的最小距离为，D对. 故选：ABD 7．（多选题）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】AD 【分析】设，由点满足，求得曲线的轨迹方程为，结合圆的性质，直线与圆的位置关系和圆的切线长公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，因为，且点满足， 可得，即， 可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 对于B，由曲线的方程为，可得其圆心，半径为， 设过点的直线的斜率为，则其直线方程为，即， 若直线与圆有公共点，则满足圆心到直线的距离小于等于半径，即， 可得，解得，即直线的斜率范围是，所以B错误； 对于C，由圆心到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的最小距离为，所以C不正确； 对于D，由圆心到点的距离为， 根据圆的切线长公式，可得切线长为，所以D正确. 8．（多选题）在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，且半径为.已知长方形的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆E的离心率为 B．椭圆E的“蒙日圆”的方程为 C．长方形的面积的最大值为 D．若椭圆的上下顶点分别为，则其蒙日圆上存在两个点满足 【答案】BCD 【分析】对于A，根据椭圆方程求离心率；对于B，根据蒙日圆的定义求方程；对于C，根据蒙日圆的定义及对称性，将长方形的面积转化为面积的四倍，再利用三角形的面积公式及的最大值，得到当时面积最大，然后求面积即可；对于D，利用直接法得到点的轨迹为圆，通过比较圆与椭圆的蒙日圆的圆心距和两圆半径的和差关系得到两圆相交， 即可判断. 【详解】对于A：由题可知，，则，则离心率，故A错误； 对于B：由题可知，椭圆E的“蒙日圆”的圆心在原点，且半径，故椭圆E的“蒙日圆”的方程为，故B正确； 对于C：根据“蒙日圆”的定义及对称性可知，长方形的顶点均在该椭圆的蒙日圆上，且点与点，点与点，均关于点成中心对称，设，则， 当时（即时），面积最大，面积为， 此时位于蒙日圆与坐标轴的四个交点上，故C正确； 对于D：由题意得，设，则 ，两边平方得 整理得，即点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 圆与蒙日圆的圆心距，因为， 所以点的轨迹与蒙日圆相交，有两个交点，即蒙日圆上存在两个点满足，故D正确. 故选：BCD. 9．（多选题）（24-25高三上·安徽宿州·期末）在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（    ） A．若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为 B．若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为 C．的最小值为 D．若为的中点，则的离心率的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A，根据题意建立的方程组求解；对B，由，可得，利用基本不等式求出得解；对C，由结合得解；对D，根据题意，结合C选项可得，化简结合离心率公式求解. 【详解】对于A，若点在上，则有，又因为，联立解 得，故A正确； 对于B，由 ， 当且仅当等号成立，所以的蒙日圆的面积，故B错误； 对于C，由，当且仅当为双曲线的左，右顶点时取到等号，故C正确； 对于D，若为线段的中点，此时，由C选项的结论可得，， 解得，又，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是结合C选项得到，进而得到的不等关系得解. 10．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】先求出给定椭圆的蒙日圆方程；再根据题目条件可得出直线与该蒙日圆相离，建立不等式即可求解. 【详解】显然直线，都与椭圆相切. 因为直线，所围成矩形的外接圆为 所以圆即为椭圆的蒙日圆. 因为点A、B为椭圆上任意两个动点，动点满足恒为锐角， 所以点在圆外. 又因为动点在直线上， 所以直线与圆相离， 则，解得. 故答案为： 11．已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最小值为______． 【答案】2 【详解】由，与的夹角为，设， 由，即点在直线上， 由，可知点在以为圆心，以为半径的圆上， 所以直线上的点到圆上的点的最短距离为. 12．椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形的四条边均与椭圆相切，则的蒙日圆方程为_______________；的面积的最大值为_________________． 【答案】 18 【分析】设两条互相垂直的切线的交点为，分为两切线存在斜率为0和斜率不为0两种情况讨论，斜率不为0时，设切线方程为.联立，利用整理成关于的一元二次方程，利用两直线垂直斜率之积为，化简整理即可求解的蒙日圆方程；要使圆的内接四边形面积最大，即四边形为正方形时，结合面积公式即可求解. 【详解】设两条互相垂直的切线的交点为， 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点的坐标是，或. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点的坐标是且， 所以可设曲线的过点的切线方程是. 由，得， 由其判别式的值为0，得， 因为（为过点互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于的一元二次方程的两个根， 所以， 由此，得， 即的蒙日圆方程为：； 因为蒙日圆为长方形的外接圆，设，， 则矩形面积公式为，显然， 即矩形四条边都相等，为正方形时，. 故答案为：；. 13．（24-25高三下·重庆·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为3的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点. （1）若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为______； （2）若E是靠近D的三等分点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______. 【答案】 【分析】以D为坐标原点，为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，由已知可得所形成的阿氏圆；由题意可得，所以点P的轨迹为的一部分，当P在上时，三棱锥的体积最大，进而可求体积的最大值. 【详解】以D为坐标原点，为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，因为，所以， 整理得，故点P所形成的阿氏圆的半径为； 因为平面平面，所以， 所以，又，则， 因为E是靠近D的三等分点，所以， 由（1）可知，点P的轨迹为的一部分， 则当P在上时，三棱锥的体积最大，设此时P为， 所以， 则三棱锥体积的最大值是. 14．（2025·黑龙江·二模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用直接法求出点的轨迹方程，根据结论圆外一点与圆上的动点的最小距离为圆外的点到圆心的距离与该圆的半径的差，求的最小值即可. 【详解】设，则，， 因为， 所以， 所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 圆的圆心为，半径为， 又点为上一动点， 所以， 当且仅当点为线段与圆的交点，点为线段与圆的交点时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 15．已知向量满足，且，则的最大值为__________. 【答案】5 【分析】求出向量的夹角及，设，取的中点，利用数量积运算可得点是以为圆心，2为半径的圆上的动点，结合圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】如图，记， 则，， 可得 则. 取的中点，则 ， 则， 则， 故是以为圆心，2为半径的圆上的动点， . 易得，所以. 所以的最大值为5. 16．已知平面向量满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】解法一：根据向量模公式得，再结合，解对应不等式即可得答案； 解法二：作，，，进而得在以点为圆心，5为半径的圆上，再结合矩形的性质得点D在以点C为圆心，7为半径的圆上，最后根据即可得答案. 【详解】解法一： ，其中为与的夹角． 因为,所以， 所以． 又因为， 所以，解得． 所以的取值范围为 解法二：如图，作，，， 因为，所以在以点为圆心，5为半径的圆上， 以为邻边作矩形． 由矩形的性质可知，，又， 所以，即点D在以点C为圆心，7为半径的圆上， 因此， 所以的取值范围为. 创新能力提升 1．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E为AB的四等分点（靠近点A），通过计算得出，通过计算可知为定值，故知点E在以O为圆心，以为半径的圆上，所以当点E在CO的延长线与圆的交点时，最长，即取最大值. 【详解】由已知，，， 在中，由余弦定理得 ，即向量与的夹角为. 取，所以， 所以. 同理可知，， 所以， 所以点E在以O为圆心，以为半径的圆上. 如图所示，所以点E在CO的延长线与圆的交点位置时，最大，此时， 易知，所以，即的最大值为. . 2．（多选题）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 【答案】ABD 【分析】由题意可知点在椭圆的外部，可判断A；由直线与蒙日圆有2个交点及直线与椭圆没有交点，求出的范围，即可判断B；结合B及离心率的定义，可判断C；由直线与圆相交的弦长公式可得,利用转化思想及函数的单调性，求出其范围后，即可判断D. 【详解】由过直线上任一点可作椭圆的两条切线， 可知点在椭圆的外部， 所以，A项正确； 椭圆（）对应的蒙日圆方程为， 由已知可得圆与直线有2个交点， 设圆心到直线的距离为， 则，则. 由题意可知直线与椭圆没有交点， 将与联立， 得没有实根， 所以，则有， 综上，B项正确； ， 由B知， 则，C项错误； 线段为蒙日圆的一条弦， 则， 所以, 令， 则, 易知单调递增， 所以，D项正确. 3．（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上.椭圆，且椭圆的离心率为.过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分，则（    ） A． B．的取值范围为 C．若，则 D．将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若，则外接圆的半径为 【答案】BCD 【分析】由离心率以及已知即可求解;设,由定比点差法得出与的关系,结合得出的范围,即可求解的范围;当时,求出,即可求;求出该阿波罗尼斯圆与直线的另一个交点的坐标,结合已知圆心在直线上,则为该圆的直径,即可求半径. 【详解】由,,解得,A错误; 椭圆, 设,,则,*, 由于在椭圆上,则, 得, 代入*式得, 则, 同理可得, 由于,则, 则, 解得, 则的取值范围为,B正确; 当时,,, 代入椭圆解得, 则,C正确; 由于平分， 则, 由于平分,则, 则为同一个阿波罗尼斯圆上的三点, 圆心在直线上, 设该圆与直线的另一个交点为,则,,, 若,由C得,, , 则, 由于圆心在直线上,则为该圆的直径,则半径为,D正确; 故选:BCD. 4．（2026·江西赣州·二模）为平面内一点，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由向量的关系得，进而得为直角三角形，再根据点在以为圆心，为半径的圆上，即可求得答案. 【详解】因为， 所以，，所以，，， 所以，在中，，，， 由余弦定理得，即， 所以为直角三角形， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示， 所以，即，所以的取值范围是 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，，，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】通过建系，设，，通过题意确定轨迹，再结合向量的加法、减法运算即可求解. 【详解】设，，，，满足，，， 又，即， 即到距离和为4， 则点C在线段上， 而，即，即， 则点D在以为圆心，半径为1的圆上，    又 所以， 则的最大值为． 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 阿波罗尼斯圆、蒙日圆、向量隐圆问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 5 题型01 阿波罗尼斯圆（阿氏圆）（★★★★★） 5 题型02 蒙日圆（★★★★★） 7 题型03 向量中的隐圆（★★★★） 9 03 实战检测·分层突破验成效 10 重难知识巩固 10 创新能力提升 13 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 阿波罗尼斯圆 （1）阿波罗尼斯圆的定义 在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） （2）阿波罗尼斯圆的证明 设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆． 证明：由及两点间距离公式，可得， 化简可得①， ①当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线； ②当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为： ，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆． 图① 图② 图③ （3）阿波罗尼斯圆的相关结论 【结论1】当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外． 【结论2】因，故是圆的一条切线．若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然． 【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为． 【结论4】过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线． 【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角． 证明：如图①，由已知可得（且），，又， 平分．由等角的余角相等可得，平分的外角． 【结论6】过点作圆不与重合的弦，则AB平分． 证明：如图③，连结，由已知（且），又，平分． 平分． 知识点02 蒙日圆 （1）蒙日圆的定义 在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1． 证明：设椭圆的方程为，则椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：．①当题设中的两条互相垂直的切线斜率均存在且不为时，可设（且），过的椭圆的切线方程为，由得， 由其判别式值为，得， 是这个关于的一元二次方程的两个根，， 由已知点的坐标满足方程． ②当题设中的两条互相垂直的切线有斜率不存在或斜率为时，可得点的坐标为或，此时点也在圆上． 综上所述：椭圆两条互相垂直的切线交点的轨迹是蒙日圆：． （2）蒙日圆的几何性质 【结论1】过圆上的动点作椭圆的两条切线，则． 证明：设点坐标，由，得 ，由其判别式的值为0， 得， ，是这个关于的一元二次方程的两个根，，，，． 【结论2】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，交椭圆于点为原点，则的斜率乘积为定值． 【结论3】设为蒙日圆O：上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的斜率乘积为定值，且的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）． 【结论4】过圆上的动点作椭圆的两条切线，O为原点，则平分椭圆的切点弦． 证明：点坐标，直线斜率，由切点弦公式得到方程，，，由点差法可知，平分，如图是中点． 【结论5】设为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则的斜率乘积为定值． 【结论6】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为为原点，则的最大值为，的最小值为． 【结论7】设为蒙日圆上任一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为的最小值为． 知识点03 向量隐圆 1、定值圆（由模长是构造圆）到定点的距离等于定长的圆 记A，B，C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆。有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式 2、到两定点距离的平方和为定值的圆 结论：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。 3、到两定点的数量积为定值的圆 结论：平面内，若为定点，且则的轨迹是以为圆心为半径的圆 4、对角互补的圆 对角互补的圆：内接四边形的对角互补；反之，若某四边形的对角和为180°，则该四边形的四个顶点共圆．在向量问题中，只需有三个向量，选取1个共同起点，加上3个终点，便可构成一个四边形，若该四边形满足上述条件，可以构造“隐圆”模型进行解题，四点共圆模型可以认为是外接圆模型的延伸． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 阿波罗尼斯圆（阿氏圆） 【技巧通法·提分快招】 一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线． 1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的值为  （     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上存在点，使得 D．上至少3个点到直线的距离等于1，则 3．平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆又被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于点的阿波罗尼斯圆，其方程为，为定点，且，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B．上的点到直线的最大距离为8 C．过点做直线与圆相切于两点，的正切值为 D．过A做直线与圆C交于两点，使的面积为的直线有4条. 5．（多选题）平面内到两个定点A，B的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”.已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是： B．点的轨迹关于直线对称的圆的方程为 C．已知点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则直线CD的方程为 D．已知点为坐标原点，若点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为E，F，则四边形OEMF面积的最小值是 6．阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知在中，，则的面积最大值为__________. 题型02 蒙日圆 【技巧通法·提分快招】 1、曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：． 2、双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆． 3、抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上． 1．（2025·青海西宁·二模）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25高三上·河南周口·期中）加斯帕尔一蒙日是18—19世纪法国著名的几何学家．他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．现有如图所示半径为的“蒙日圆”，其内接矩形与一椭圆相切（直线与椭圆有且只有一个公共点），且切点为矩形各边的中点，若该矩形的面积为，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长OP与的蒙日圆交于点，则（    ） A．|PQ|的最大值为 B．若为OQ的中点，则的离心率的最大值为 C．若点在上，则点可能在的蒙日圆上 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 4．（多选题）（24-25高三上·广西贵港·阶段检测）法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若点在椭圆上，且直线的斜率之和为0，则直线的斜率为 C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为 D．面积的最大值为 5．加斯帕尔•蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知椭圆的蒙日圆方程为，则______；若为椭圆的一个焦点，点P，Q是上关于原点对称的两点，则的最小值为______． 6．已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________. 7．画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其方程为.已知椭圆的离心率为，点，均在椭圆上，则动点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为________（用含的式子表示）；若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则的取值范围为________. 题型03 向量中的隐圆 【技巧通法·提分快招】 活用隐圆的定义来妙解压轴题，关键在于理解和运用圆的五种基本性质。这五种定义包括：到定点的距离等于定长（定义圆）、到两定点距离的平方和为定值、到两定点的夹角为90°、边与对角为定值且对角互补、到两定点距离之比为定值。 解题时，首先要识别题目中的关键条件，看是否符合隐圆的某一定义。一旦确定，就可以利用圆的性质来简化问题，如利用直径所对的圆周角是直角、同弦所对的圆周角相等或互补等性质。通过逆用这些性质，可以找到隐形圆，进而利用圆的几何特征求解。这种方法能有效转化复杂问题，使解题过程更加清晰明了。 1．已知圆的半径为3，弦，是圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 3．若，且，，则的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 4．已知为单位向量，，满足，则的最小值为_____. 5．已知向量满足，，则的最大值等于_____ 6．在中，已知，，.点在平面内运动，且满足.则的取值范围是__________. 7．已知都是平面向量，且，若，则的最小值为________． 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 2．法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆，称这个圆为该椭圆的蒙日圆，其圆心为椭圆的中心，半径为椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．在圆上存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·安徽黄山·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·模拟预测）在坐标系中，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A．的最大值为 B．若为的中点，则的离心率的最大值为 C．过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D．若点在上，则的蒙日圆面积最小为 6．（多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．在曲线上存在点，使得到点的距离为 C．在曲线上存在点，使得 D．曲线上的点到直线的最小距离为 7．（多选题）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 8．（多选题）在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，且半径为.已知长方形的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（    ） A．椭圆E的离心率为 B．椭圆E的“蒙日圆”的方程为 C．长方形的面积的最大值为 D．若椭圆的上下顶点分别为，则其蒙日圆上存在两个点满足 9．（多选题）（24-25高三上·安徽宿州·期末）在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（    ） A．若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为 B．若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为 C．的最小值为 D．若为的中点，则的离心率的最大值为 10．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆上任意两个动点，动点在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知实数的取值范围为______. 11．已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最小值为______． 12．椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形的四条边均与椭圆相切，则的蒙日圆方程为_______________；的面积的最大值为_________________． 13．（24-25高三下·重庆·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为3的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点. （1）若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为______； （2）若E是靠近D的三等分点，且满足，则三棱锥体积的最大值是______. 14．（2025·黑龙江·二模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为__________. 15．已知向量满足，且，则的最大值为__________. 16．已知平面向量满足，则的取值范围为______． 创新能力提升 1．（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系中，，，，则的最大值为（   ） A．5 B． C． D． 2．（多选题）（25-26高三下·辽宁·阶段检测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.点为椭圆的两焦点，过直线上任一点可作椭圆的两条切线，切点分别记为，且其中存在两点，使得，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．椭圆的离心率为，则的范围为 D． 3．（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上.椭圆，且椭圆的离心率为.过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分，则（    ） A． B．的取值范围为 C．若，则 D．将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若，则外接圆的半径为 4．（2026·江西赣州·二模）为平面内一点，，则的取值范围是______． 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知，，，，，则的最大值为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $