第4章 第2讲 导数与函数的单调性-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第2讲　导数与函数的单调性

能利用导数研究函数的单调性，对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．

1．函数的导数与单调性的关系

2.由导数求单调区间的一般步骤

第一步，确定函数的定义域；

第二步，求出导数f′(x)的零点；

第三步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．

　用充分、必要条件诠释可导函数与该函数单调性的关系　(1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充分不必要条件．

(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的必要不充分条件．

(3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间上都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)的充要条件．

 

1.(人教A选择性必修第二册复习参考题5 T3改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　)

答案：D

解析：由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以在(0，＋∞)上，f′(x)≤0，在(－∞，0)上，f′(x)≥0，观察四个图象可知选D.

2．(人教A选择性必修第二册5.3.1例1(2)改编)已知函数f(x)＝1＋x－sinx，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是(　　)

A．f(2)>f(3)>f(π)   B．f(3)>f(2)>f(π)

C．f(2)>f(π)>f(3)   D．f(π)>f(3)>f(2)

答案：D

解析：f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上单调递增，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.

3．函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是________．

答案：(－∞，－2)，

解析：由f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)>0，得x<－2或x>，故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，.

4．(人教A选择性必修第二册5.3.1例4改编)已知f(x)＝log3x，g(x)＝ln x．因为f′(x)________g′(x)，所以f(x)的图象比g(x)的图象更________(第一个空填“>”或“<”，第二个空填“陡峭”或“平缓”)．

答案：<　平缓

解析：因为f′(x)＝>0，g′(x)＝>0，且＝ln 3>ln e＝1，所以f′(x)<g′(x)，所以f(x)的图象比g(x)的图象更平缓．

5．已知函数f(x)＝x2(x－a)．

(1)若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是________________；

(2)若f(x)在(2，3)上不单调，则实数a的取值范围是________．

答案：(1)(－∞，3]∪　(2)

解析：由f(x)＝x3－ax2，得f′(x)＝3x2－2ax＝3x.

(1)若f(x)在(2，3)上单调递减，则有≥3，解得a≥；

若f(x)在(2，3)上单调递增，则有≤2，解得a≤3，

所以若f(x)在(2，3)上单调，则实数a的取值范围是(－∞，3]∪.

(2)若f(x)在(2，3)上不单调，则有

可得3<a<，即实数a的取值范围是.

考向一　利用导数研究不含参函数的单调性

(1)(2025·浙江Z20名校联考)函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的单调递增区间是________．

答案：

解析：函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的定义域为，且f′(x)＝－2x＋1＝＝，令f′(x)>0，解得<x<，所以f(x)的单调递增区间为.

(2)函数f(x)＝(x2＋x－5)e－x的单调递减区间是________．

答案：(－∞，－2)，(3，＋∞)

解析：∵f(x)＝(x2＋x－5)e－x，∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x＝－(x＋2)(x－3)e－x，则当x<－2或x>3时，f′(x)<0，故函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，(3，＋∞)．

　利用导数求不含参函数单调区间的方法

(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，与定义域求交集，求出单调区间．

(2)当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间上f′(x)的符号，从而确定单调区间．