第4章 第1讲 导数的概念及运算-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第1讲　导数的概念及运算

1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.5.会使用导数公式表．

1．导数的概念

(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，把比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．

(2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .

(3)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，即y′＝f′(x)＝.

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．基本初等函数的导数公式

(1)c′＝0(c为常数)．

(2)(xα)′＝αxα－1(α∈R，且α≠0)．

(3)(sinx)′＝cosx．

(4)(cosx)′＝－sinx．

(5)(ax)′＝axln__a(a＞0，且a≠1)．

(6)(ex)′＝ex．

(7)(logax)′＝(a＞0，且a≠1)．

(8)(ln x)′＝．

4．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

特别地：[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)．

(3)′＝(g(x)≠0)．

5．复合函数的导数

一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．

2．两类切线问题的区别

(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．

(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．

1．(多选)下列求导运算正确的是(　　)

A．(sina)′＝cosa(a为常数)

B．(log2x)′＝

C．(x2·2x)′＝2x·x(2＋xln 2)

D.′＝

答案：BC

解析：由a为常数知(sina)′＝0，A错误；(log2x)′＝，B正确；(x2·2x)′＝(x2)′·2x＋x2·(2x)′＝2x·2x＋x2·2xln 2＝2x·x(2＋xln 2)，C正确；′＝＝＝－，D错误．故选BC.

2．(人教A选择性必修第二册习题5.1 T1改编)某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　)

A．9.1米/秒   B．6.75米/秒

C．3.1米/秒   D．2.75米/秒

答案：C

解析：因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒．

3.(人教A选择性必修第二册习题5.1 T10改编)函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(　　)

答案：A

解析：由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＞0.

4．已知函数f(x)＝(x＋1)sinx，则 ＝________．

答案：1