第4章 第1讲 导数的概念及运算-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第1讲　导数的概念及运算 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.5.会使用导数公式表． 1．导数的概念 (1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，把比值＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． (2)瞬时变化率：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (3)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，即y′＝f′(x)＝. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 (1)c′＝0(c为常数)． (2)(xα)′＝αxα－1(α∈R，且α≠0)． (3)(sinx)′＝cosx． (4)(cosx)′＝－sinx． (5)(ax)′＝axln__a(a＞0，且a≠1)． (6)(ex)′＝ex． (7)(logax)′＝(a＞0，且a≠1)． (8)(ln x)′＝． 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 特别地：[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)． (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 2．两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点． (2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 1．(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．(sina)′＝cosa(a为常数) B．(log2x)′＝ C．(x2·2x)′＝2x·x(2＋xln 2) D.′＝ 答案：BC 解析：由a为常数知(sina)′＝0，A错误；(log2x)′＝，B正确；(x2·2x)′＝(x2)′·2x＋x2·(2x)′＝2x·2x＋x2·2xln 2＝2x·x(2＋xln 2)，C正确；′＝＝＝－，D错误．故选BC. 2．(人教A选择性必修第二册习题5.1 T1改编)某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为(　　) A．9.1米/秒 B．6.75米/秒 C．3.1米/秒 D．2.75米/秒 答案：C 解析：因为h′(t)＝－9.8t＋8，所以h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1，所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒． 3.(人教A选择性必修第二册习题5.1 T10改编)函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(　　) 答案：A 解析：由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＞0. 4．已知函数f(x)＝(x＋1)sinx，则 ＝________． 答案：1 解析：因为f′(x)＝sinx＋(x＋1)cosx，所以 ＝f′(0)＝1. 5．(人教A选择性必修第二册习题5.2 T11改编)设曲线y＝e－2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a的值为________． 答案：－1 解析：∵y＝e－2ax，∴y′＝e－2ax·(－2ax)′＝－2a·e－2ax，∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝－2a·e0＝－2a，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，∴－2a·＝－1，∴a＝－1. 考向一　导数的运算 求下列函数的导数： (1)y＝tanx；(2)y＝x； (3)y＝； (4)y＝xsincos. 解：(1)y′＝′ ＝＝. (2)因为y＝x3＋＋1，所以y′＝3x2－. (3)y′＝[(3x＋1)]′＝(3x＋1)－·(3x＋1)′＝(3x＋1) －·3＝(3x＋1) －. (4)因为y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，所以y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x. 　 　1.(2025·山东临沂联考)已知函数f(x)＝ex－f′(1)x，则(　　) A．f(1)＝－ B．f(2)＝e2－e C．f′(1)＝－ D．f′(2)＝e2－e 答案：B 解析：因为f(x)＝ex－f′(1)x，所以f′(x)＝ex－f′(1)，则f′(1)＝e－f′(1)，所以f′(1)＝，则f(x)＝ex－x，所以f(1)＝，f′(2)＝e2－，f(2)＝e2－e. 2．(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．[log3(5x)]′＝ B.′＝ C．[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2 D．(2x＋cosx)′＝2xln 2－sinx 答案：ABD 解析：对于A，[log3(5x)]′＝(log35＋log3x)′＝，A正确；对于B，′＝ ＝，B正确；对于C，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2·3＝9(3x＋5)2，C不正确；对于D，(2x＋cosx)′＝2xln 2－sinx，D正确．故选ABD. 考向二　导数的几何意义 角度1　求切点的坐标 (2025·湖南名校联考)过点(3，0)作曲线f(x)＝xex的两条切线，切点分别为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，则x1＋x2＝(　　) A．－3 B．－ C. D．3 答案：D 解析：因为f(x)＝xex，所以f′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为(x0，x0ex0)，所以f′(x0)＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)e x0·(x－x0)，所以－x0e x0＝(x0＋1)e x0(3－x0)，即(－x＋3x0＋3)e x0＝0，依题意关于x0的方程(－x＋3x0＋3)e x0＝0有两个不同的解x1，x2，即关于x0的方程－x＋3x0＋3＝0有两个不同的解x1，x2，所以x1＋x2＝3.故选D. 　求切点坐标的一般步骤 　若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________． 答案：(e，e) 解析：设点P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，∴曲线y＝xln x在点P处的切线斜率k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，y0＝eln e＝e，∴点P的坐标为(e，e)． 角度2　求切线的方程 (1)(2024·全国甲卷)曲线f(x)＝x6＋3x－1在(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　　) A. B. C. D．－ 答案：A 解析：f′(x)＝6x5＋3，所以f′(0)＝3，故切线方程为y＝3(x－0)－1＝3x－1，故切线的横截距为，纵截距为－1，故切线与坐标轴围成的面积为×1×＝.故选A. (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 答案：y＝x　y＝－x 解析：当x＞0时，y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，所以y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x；当x＜0时，y＝ln (－x)，设切点为(x1，ln (－x1))，由y′＝，所以y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln (－x1)＝(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝(x＋e)，即y＝－x. 　求曲线的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时，解题步骤如下： 提醒：“在点P处的切线”一定是以点P为切点；“过点P的切线”，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点． 　1.函数y＝f(x)＝sin2x＋cosx的图象在点(0，1)处的切线方程为________． 答案：2x－y＋1＝0 解析：f′(x)＝2cos2x－sinx，故f′(0)＝2，故函数f(x)的图象在点(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. 2．过点作曲线y＝x3的切线，写出一条切线方程：________________． 答案：y＝0或y＝3x＋2(写出一条即可) 解析：由y＝x3可得y′＝3x2，设过点作曲线y＝x3的切线的切点为(x0，y0)，则y0＝x，则该切线方程为y－y0＝3x(x－x0)，将点代入得－x＝3x，解得x0＝0或x0＝－1，故切点坐标为(0，0)或(－1，－1)，故切线方程为y＝0或y＝3x＋2. 角度3　求参数的值或取值范围 (1)(2025·安徽A10联盟摸底)已知直线y＝ax与曲线f(x)＝ln (x＋b)相切于点(0，f(0))，则a＋b的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由题意，得直线y＝ax与曲线f(x)＝ln (x＋b)相切于点(0，f(0))，即切点为(0，0)，所以ln b＝0，解得b＝1，所以f(x)＝ln (x＋1)，则f′(x)＝，可得f′(0)＝1，即切线的斜率为k＝1，所以a＝1，所以a＋b＝2.故选B. (2)(2025·河南九师联盟开学考试)已知函数f(x)＝g(x)＝kx－1，若关于x的方程f(x)＝g(x)有2个不相等的实数解，则实数k的取值范围是(　　) A．{e} B．[e，＋∞) C.∪{e} D.∪{e} 答案：C 解析：由题意，关于x的方程f(x)＝g(x)有2个不相等的实数解，即y＝f(x)与y＝kx－1的图象有2个交点，如图所示，当k＝0时，直线y＝－1与y＝的图象交于点(－2，－1)，又当x≥0时，ex－1≥0，故直线y＝－1与y＝ex－1(x≥0)的图象无公共点，故当k＝0时，y＝f(x)与y＝kx－1的图象只有一个交点，不符合题意；当k>0时，若直线y＝kx－1与曲线y＝ex－1(x≥0)相切，则y＝f(x)与y＝kx－1的图象有2个交点，设切点为P(x0，ex0－1)，则k＝y′|x＝x0＝ex0，又直线y＝kx－1过点(0，－1)，所以＝ex0，解得x0＝1，所以k＝e；当k<0时，若＝kx－1，则kx2－x－2＝0，由Δ＝1＋8k＝0，可得k＝－，所以当k＝－时，直线y＝kx－1与y＝的图象相切，由图得当－<k<0时，直线y＝kx－1与y＝f(x)的图象有2个交点．综上所述，实数k的取值范围是∪{e}．故选C. 　处理与切线有关的参数问题的策略 (1)依据：曲线、切线、切点的三个关系 ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点坐标满足切线方程； ③切点坐标满足曲线方程． (2)方法：列出关于参数的方程(组)或不等式(组)并解出参数． 提醒：注意曲线上点的横坐标的取值范围． 　1.(2025·湖北武汉模拟)已知曲线f(x)＝ln x＋在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则a的值为________． 答案：＋1 解析：曲线f(x)＝ln x＋的导数f′(x)＝＋，∵曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为，∴f′(1)＝1＋＝，∴＝－1，∴a＝＋1. 2．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 角度4　两曲线的公切线问题 (2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 答案：ln 2 解析：设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.设g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. 　一般地，求曲线C1：y＝f(x)与C2：y＝g(x)的公切线l的方程有以下三种方法： (1)设切点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，公切线l：y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)， 则 研究方程组解的情况． (2)设切点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，公切线l的方程为y＝kx＋b，则研究方程组解的情况． (3)设切点分别为A(x1，f(x1))，B(x2，g(x2))，f′(x1)＝g′(x2)＝(x1≠x2)．研究方程组解的情况，解的情况对应着公切线的情况．但要注意，求解方程时，一般可转化为研究函数的零点问题． 　已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的图象的公切线的条数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案：A 解析：设公切线与f(x)和g(x)的图象分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，又f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x－2，则g′(n)＝f′(m)＝，得m＝－＋2，代入化简，得8n3－8n2＋1＝0，构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1，则h′(x)＝8x(3x－2)，故函数h(x)在(－∞，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又极大值h(0)>0，极小值h<0，故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有3个解，故切线有3条．故选A. 课时作业 一、单项选择题 1．若f(x)＝cos2x，则f′＝(　　) A．－1 B．1 C. D. 答案：A 解析：因为f(x)＝cos2x＝，所以f′(x)＝′＝×(－sin2x)×(2x)′＝－sin2x，所以f′＝－sin＝－1. 2.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)－f(1)＝(　　) A．0 B．2 C．－2 D．－1 答案：C 解析：设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝kx＋b，则解得所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x＋2，所以f′(1)＝1，f(1)＝1＋2＝3，因此f′(1)－f(1)＝1－3＝－2.故选C. 3．(2025·江苏宿迁模拟)我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ＝ ＝ ＝1，则 ＝(　　) A．0 B. C．1 D．2 答案：D 解析： ＝ ＝ ＝2.故选D. 4．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(－1，3)或(1，1) D．(－1，3)或(1，3) 答案：D 解析：设切点P(x0，y0)，由f′(x)＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－1，所以3x－1＝2，解得x0＝±1，当x0＝1时，可得f(1)＝3，此时P(1，3)；当x0＝－1时，可得f(－1)＝3，此时P(－1，3)． 5．若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由题意知，y′＝＋2x≥2，当且仅当x＝时，等号成立．因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，则＝2，解得a＝. 6．过点P(1，2)作曲线C：y＝的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x＋y－6＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x＋2y－5＝0 答案：A 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝，得y′＝－，∴曲线C在A点处的切线方程为y－y1＝－(x－x1)，把P(1，2)代入切线方程，得2－y1＝－(1－x1)，化简得2x1＋y1－8＝0，同理可得曲线C在B点处的切线方程为2x2＋y2－8＝0，∵A，B都满足直线2x＋y－8＝0，∴直线AB的方程为2x＋y－8＝0.故选A. 7.(2025·江西抚州模拟)如图1，现有一个底面直径为10 cm，高为25 cm的圆锥容器，以2 cm3/s的速度向该容器内注入溶液，随着时间t(单位：s)的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当t＝π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为(　　) A. cm/s B. cm/s C. cm/s D. cm/s 答案：A 解析：设注入溶液的时间为t s时，液体的高度为h cm，液面半径为r cm，作圆锥轴截面，如图所示，图中SO1为液体高度，则SO1＝h，BO1＝r，又SO＝25，AO＝5，由图可得，△SO1B∽△SOA，则＝，即＝，即r＝h，则由π··h＝2t，解得h＝，h′＝，当t＝π时，h′＝＝，即当t＝π时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为 cm/s.故选A. 8．已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：的最小值可转化为函数y＝ln x－x＋2图象上的点与直线x＋2y－4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值，由y＝ln x－x＋2，可得y′＝－1，与直线x＋2y－4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－，令－1＝－，得x＝2，所以切点的坐标为(2，ln 2)，切点到直线x＋2y－4－2ln 2＝0的距离d＝＝.故选B. 二、多项选择题 9．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　) A．y＝cosx B．y＝ln x C．y＝ex D．y＝x2 答案：AD 解析：由题意y＝f(x)具有T性质，则存在x1，x2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A，f′(x)＝－sinx，存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于B，f′(x)＝＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；对于C，f′(x)＝ex＞0，不存在x1，x2，使得f′(x1)·f′(x2)＝－1；对于D，f′(x)＝2x，存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1.故选AD. 10．若直线y＝3x＋m是曲线y＝x3(x＞0)与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)的公切线，则(　　) A．m＝－2 B．m＝－1 C．n＝6 D．n＝7 答案：AD 解析：设直线y＝3x＋m与曲线y＝x3(x＞0)相切于点(a，a3)，对于函数y＝x3(x＞0)，y′＝3x2，则3a2＝3(a＞0)，解得a＝1，所以13＝3＋m，即m＝－2；设直线y＝3x－2与曲线y＝－x2＋nx－6(x＞0)相切于点(b，3b－2)，对于函数y＝－x2＋nx－6(x＞0)，y′＝－2x＋n，则－2b＋n＝3(b＞0)，又－b2＋nb－6＝3b－2，所以－b2＋b(3＋2b)－6＝3b－2，又b＞0，所以b＝2，n＝7.故选AD. 11．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f，g(2＋x)均为偶函数，则(　　) A．f(0)＝0 B．g＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2) 答案：BC 解析：因为f为偶函数，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f＝f，即f(－1)＝f(4)，故C正确；因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)＝f(3－x)，所以f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＝－g(3－x)，所以g(x)的图象关于点对称，所以g＝0，g(1)＝－g(2)，又g(2＋x)为偶函数，所以g(2＋x)＝g(2－x)，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(x)的周期T＝4×＝2，所以g＝g＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；不妨取f(x)＝1(x∈R)，经验证满足题意，但f(0)＝1，故A错误．故选BC. 三、填空题 12．(2025·山东济南摸底)曲线y＝ln在点(0，0)处的切线方程为________． 答案：y＝2x 解析：易知函数的定义域为(－1，1)，因为y＝ln ＝ln (1＋x)－ln (1－x)，所以y′＝＋，当x＝0时，y′＝1＋1＝2，又当x＝0时，y＝0，所以曲线y＝ln 在点(0，0)处的切线方程为y＝2x. 13．(2025·重庆南开中学二检)已知直线y＝kx－2与曲线y＝x－相切，则k＝________． 答案：2 解析：y＝x－，则y′＝1＋，设切点的横坐标为x0，则曲线y＝x－在x0处的切线方程为l：y－＝·(x－x0)，将x＝0，y＝－2代入，得－2－＝(－x0)，解得x0＝1，则k＝1＋＝2. 14．(2024·广东省四校联考)对于二元函数z＝f(x，y)，若 存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，记为f′x(x0，y0)；若 存在，则称 为f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为f′y(x0，y0)．已知二元函数z＝f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x>0，y>0)，则f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值为________． 答案：－ 解析：根据偏导数的定义，在求对x的偏导数时，f(x，y)中y可作为常数，即函数可看作是x的一元函数求导，同理在求对y的偏导数时，f(x，y)中x可作为常数，即函数可看作是y的一元函数求导，所以f′x(x，y)＝2x－2y，f′y(x，y)＝－2x＋3y2，f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)＝2x0－2y0－2x0＋3y＝3y－2y0＝3－，所以f′x(x0，y0)＋f′y(x0，y0)的最小值是－. 四、解答题 15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝，又f′(x)＝a＋， ∴解得 ∴f(x)＝x－. (2)设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点， 由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0)． 令x＝0，得y＝－， ∴切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， ∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0)． ∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x0|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. 16．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求实数a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程． 解：(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f′(1)＝1－＝0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－. 设切点为(x0，y0)， 因为f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，① f′(x0)＝1－＝k，② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解， 所以x0＝－1，k＝1－e，所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1. 17．已知曲线C1：y＝x2＋2x和C2：y＝－x2＋a，如果直线l同时是C1和C2的切线，则称l是C1和C2的公切线，则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程． 解：由y＝x2＋2x，得y′＝2x＋2， 由y＝－x2＋a，得y′＝－2x， 设l与C1相切于点A(x1，x＋2x1)，与C2相切于点B(x2，－x＋a)， ∴l的方程为y－(x＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)或y－(－x＋a)＝－2x2(x－x2)， 即l的方程为y＝(2x1＋2)x－x或y＝－2x2x＋x＋a， ∴则2x＋2x1＋1＋a＝0，∴Δ＝4－8(1＋a)＝0，解得a＝－， 此时x1＝－，切线方程为y＝x－. 综上所述，当a＝－时，C1和C2有且仅有一条公切线，公切线的方程为y＝x－. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$