第3章 素能培优（二） 函数性质的综合问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

学科网书城围 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 素能培优（二） 函数性质的综合问题 考情分析/函数的单调性、奇偶性、周期性及函数图象的对称性是必考点，通常会综合 考查，出现在选填题中 考点 难度 I卷T6 单调性 中 2024 1卷Tg 抽象函数的性质 难 Ⅱ卷T6 奇偶性、图象 中 I卷T4 单调性 易 2023 Ⅱ卷Ta 奇偶性 易 I卷T2 奇偶性、对称性 难 2022 IⅡ卷Tg 奇偶性、周期性 难 核心考向 考向一函数的奇偶性与单调性 例①Q)2025湖南师大附中模拟)已知函数)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上单 调递减，3)=0，则不等式(2x一5)x一1)<0的解集为() A.(-o,-2)U alvs4lalicol((52),4) B.(4,+∞) C.lalvs4lallcol(-2,V(52))(4,+o) D.(-∞，-2) 答案：C 解析：依题意，函数的大致图象如图.因为)是定义在R上的偶函数，且在[O,十∞)上单 调递减，f3)=0,所以x)在（一∞，0]上单调递增，且一3）=0，则当x>3或x<一3时，f <0:当-3<x<3时，>0，不等式(2x-5)x-1)<0化为2x-5>0,f(x-1)<0)或 2x-5<0,f(x-1)>0,)所以2x-5>0,x-1>3)或2x-5>0,x-1<-3)或2x-5<0, 一3<x一1<3，)解得x>4或x∈0或-2<x<52,即一2<x<52或x>4,所以原不等式的 解集为1ahs4 alcol(-2,52U(4,+eo).故选C (2)(多选)2025湖北四市联考)已知x)是定义在R上的偶函数，gx)是定义在R上的奇函数， 且fx),gx)在（一∞，0]上单调递减，则(） 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 A.1)2)》 B.g(1)g2) C.g1)g(2)》 D.g(g(1))g(g(2)) 答案：BD 解析：因为x)与gx)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在（一∞，O]上均单调 递减，所以x)在[O,+∞)上单调递增，gx)在[0，十∞)上单调递减，即g()在R上单调递 减，所以1)2)，g(2)g1)g(0)=0,所以g(1)g2),g1)P8优2)，8g1)gg2), 故B,D正确，C不正确：若1)2)0，则1)>2)，故A不正确.故选BD 【答题启示】①)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性和反、奇函数在关于原点对称的 区间上单调性相同，实现不等式的等价转化. (2)注意偶函数的性质x)=)的应用. 目对点训练1的为定义在R上的偶函数，对任意的xx≥0，都有fa2)-f(x1)x2x >2,且2)=4，则不等式x)>2的解集为() A.(-∞，2) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(-∞，-2)U(2,十∞) 答案：D 解析：对任意的1≥0，都有f(x2)一f(x1)x2-x1>2,则f(x2)一∫(x1)x2一x-2 = [f(x2)-2x2]-f(x1)一2x1]x2-x1>0,令g)=fx)-2x,则gx)=fx)-2r在[0，+∞) 上单调递增，因为x)为定义在R上的偶函数，所以g(一x)=(一x)一2一=x)一2x=gx), 即g9)=fx)-2x为偶函数，又g(2)=f2)-2×2=0,由xP2r,可得g)=f)-2xp0, 即g>g(2),所以p2,所以不等式x)>2的解集为(-∞，一2)U(2,十∞).故选D 2.已知函数x)满足x十一x)=0,且在(0，+∞)上单调递减，2)=0，则 f(x)-f(一x)x≥0的解集是 答案：[-2,0)U(0,2] 解析：因为函数x)满足x)十一x)=0,所以x)是奇函数，则f(x)一f(一x)x=2f(x) x.当x>0时，x)在(0，十∞)上单调递减，且2)=0，所以f(x)一f(一x)x=2f(x)x≥0 的解集为(0,2引：当x<0时，x)在(-∞，0)上单调递减，且(-2)=一2)=0，所以(x) 一f(一x)x=2f(x)x≥0的解集为[-2,0).综上，f(x)一f(一x)x≥0的解集是[一2， 0)U(0,21. 考向二函数的奇偶性与对称性 例2（①）已知y=-2)+1是定义在R上的奇函数，则() 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 A.0)=0 B.f2)=0 C.0)=-1 D.-2)=-1 答案：D 解析：由题意知y=一2)十1的图象关于(0,0)中心对称，将y=x一2)十1的图象向下平移 1个单位长度，得y=x一2)的图象，其关于(0，一1)中心对称，再向左平移2个单位长度， 得y=)的图象，其关于（一2，一1）中心对称，所以(-2)=一1故选D (22025·江淮十校联考)定义在R上的函数x)满足f2+2)+(2x)=0,且y=(2一x)为偶函 数，则下列说法正确的是( A.函数x的周期为2 B.函数x)的图象关于直线x=1对称 C.函数)为偶函数 D.函数x)的图象关于直线x=3对称 答案：C 解析：由2x+2)+2x)=0可知，x+4)=一fx十2)=x),则函数x)的周期为4，A错误： y=2一x)为偶函数，则2一x)=2十x),可知一x)=(4十x)=),函数fx)为偶函数，故 C正确：因为2一x)=2十x)=一fx),即函数x)的图象关于直线x=2对称，也关于点(1， O)对称，所以fx)的图象不关于直线x=1对称，B错误：若函数x)的图象关于直线x=3对 称，已知函数图象关于直线x=2对称，则函数的周期为2，结合A项分析知，D错误，故选 C 【答题启示】函数奇偶性与对称性的关系 (I)若函数y=x十a)为偶函数，则函数y=fx)的图象关于直线x=a对称 (2)若函数y=x十b)为奇函数，则函数y=fx)的图象关于点(b,0)对称. 目对点训练1(2025湖北十摇模拟)已知函数十1)是偶函数，且)在(1，+∞)上单调 递增，设a=fa1vs4alco1(-f12),b=2),c=3),则a,b,c的大小关系为() A.b<asc B.c<b<a C.b<c<a D.asb<c 答案：A 解析：由题意知x十1)的图象关于y轴对称，所以函数fx)的图象关于直线x=1对称，所以 a=fawvsalcol(-(12))=faws4 allcol(1-V(32))=fawvs4alcol(1+V32))= favs4 alcol0f52,因为函数fx)在(1，+oo)上单调递增，且3>52>2>1，所以f (2)favs4alco1(523),即b<a<c.故选A 2.(2025·江西鹰潭模拟)已知偶函数x的图象关于点(1,0)中心对称，当x∈0,1)时，x) =x,则fas41alco1452》=() 3 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 A.2)2 B.12 C.-202 D.-12 答案：C 解析：偶函数x)的图象关于点(1,0)中心对称，则1一x)=一1十x),且)=一x),故f (-x)=一2十x)=x),所以4十x)=一x十2)=x),故函数x)是周期为4的周期函数，所 fawvs4alcol(f(452))=fals4alcol(24-V(32))=falvs4alcol(-32))=f alvs4allcol((32))=-falvs4lalcol(f(12))=-12)=-2)2.C. 考向三函数的奇偶性与周期性 例3Q)(2025山东济宁模拟)设函数x)的定义域为R,2x-1)为奇函数，-2)为偶函数 ，当x∈[0,1]时，x)=x2-1,则2027-2028)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 答案：C 解析：因为函数x)的定义域为R,2x一1)为奇函数，所以2x一1)=一尤-2x一1)，所以函 数x)的图象关于点（一1,0）对称，且一1)=0，因为x-2)为偶函数，所以-2)=-x一2) ，所以函数x)的图象关于直线x=一2对称，又因为x)=一（一2一x)=一-2十x)=-[一1 (-4+x)],所以函数x)的周期为4，因为当xe[0,1]时，x=x2-1,所以2027)=(4×507-1) =-1)=0,2028)=4×507=f0)=-1,所以2027)-f2028)=1.故选C (2)已知函数fx)的定义域为R,且x十1)+x一1)=2，x+2)为偶函数，若0)=0，∑"k=/ (份=111，则n的值为() A.107 B.118 C.109 D.110 答案：D 解析：对任意的x∈R,由x十1)+x-1)=2可得r+3)+x+1)=2,所以+3)=r一1) ,则x)=x十4)，所以函数x)为周期函数，且周期为4，因为x十2)为偶函数，所以f (2一x)=2十x),所以函数x)的图象关于直线x=2对称，则1)=3)，因为1)十3)=2， 则1)=3)=1，因为0)+2)=2且0)=0，则2)=2，所以1)+2)=3，因为1)+1 (2)+3)+4)=4,且111=4×27+3，因为∑=术)=27×[1)+2)+3)+4]+1)+f (2)=111,故n=4×27+2=110.故选D ■答题启示】利用函数的奇偶性和周期性把所求的函敏值转化为已知函数解析式的区间上 的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质， 目对点训练已知函数的定义域为R,x十1)是奇函数，x十3)=1一，O=一2， 4 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 则∑2027=9= 答案：2 解析：因为x+1)是奇函数，所以+1)=一1一x),又x十3)=1一x),可得x十3)= x十1)，所以x十2)=一x),所以x十4)=一x十2)=x,所以x)是周期为4的周期函数 ,因为x+2)=一x),所以2)+4=0,1)+3)=0，所以Σ2027=k=507×[1)+/ (2)+3)+4】-2028)=-f0)=2 考向四函数的周期性与对称性 例④(Q①2025浙江绍兴模拟)已知定义在R上的奇函数x)满足x)=a一x),则对所有这 样的函数x),由下列条件一定能得到1)=3)=9)的是() A.a=2 B.a=3 C.a=4 D.a=5 答案：C 解析：由题设（一x)=一fx)=一a-x),即x=一x十a)=x十2a),所以x)是周期为2a 的奇函数，且直线x=a2是x)图象的一条对称轴，当a=2时，1)=一1+2)=一f3),f (1)=1+2×4)=9),不符合题意；当a=3时，1)=1+6m)且n∈Z,不符合题意：当a =4时，1)=4-1)=3)，1)=1+2×4)=9)，故1)=f3)=9),符合题意：当a=5 时，1)=f1十10m)且n∈Z,不符合题意.故选C (2(多选2025·广东百校联考)已知函数x)的定义域为R,且x一1)十x十1)=0,1一x)=f (c+5),若favs4 alcol(f52)=1,则() A.x)是周期为4的周期函数 B.x)的图象关于直线x=1对称 C.x)是偶函数 D.fawvs4al col(f(12))+2falvs4alcol(f32))+3falvs4alcol(f(52))++30f las4allcol(f592))=-31 答案：ABD 解析：对于A,因为x-1)+x十1)=0，所以x十1)+x+3)=0,所以x-1)=x+3), 即fx)=fx十4)，所以x)是周期为4的周期函数，故A正确：对于B,因为1一x)=x十5) ,所以1一x)=x十1)，所以x)的图象关于直线x=1对称，故B正确：对于C,因为f aws4alco1052》=1,所以favs4 al col(-f32=1,令x=32,得favs4 alcol(f12)+f avs4 allcol(f52》=0,则fas4 alcol(f12=-1,因为fx)的图象关于直线x=1对称， 所以faivs.4alco1f32)=favs4 alcol0f12)=-1,则fas4alco1(f32)≠f avs4alco1(一3八，从而fx)不是偶函数，故C错误；对于D,由xw)的对称性与周期性可 faws4alcol(f(12))=faws4alcol(f32))=-1,falvs4alcol(y(52))=fals4alicol(f(72)) 5 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 1,faws4alcol(f12))+(f(32))+3falys4alcol(f(52))+...+30f aws4alco1(f592)=7×(-1-2+3+4)-29-30=-31,故D正确.故选ABD ■答题启示】函数x)满足的关系a十)=仍一)表明的是函数图象的对称性，函数：满足 的关系a十x)=b十x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆 目对点训练1（多选2024新疆乌鲁木齐一模）若函数f)的定义域为R,且+)十/ c-y)=2xy),2)=-1,则( A.0)=0 B.x)为偶函数 C.x)的图象关于点(1,0)对称 D.Σ30，=0=-1 答案：BCD 解析：对于A,令x=2,y=0,则22)=22)0)，因为2)=-1，所以-2=-20)，则f1 (O=1,故A错误；对于B,令x=0,y=x,则x)+一x)=20)x)=2x),则x)=一x) ,x)为偶函数，故B正确：对于C,令x=y=1,得2)十0)=2[1)？=0，所以1)=0， 令x=1,y=x,得1+x)+1一x)=21优)=0，则)的图象关于点(1,0)对称，故C正确： 对于D,由1十x)+1-)=0,得x)=一2-x),又x)=(一x),所以-x)=一2-x), 则x)=一2+x),2+x)=一4十x),所以x)=4+x,则函数f)的周期为4，又1)=0 ,2)=-1,则3)=-3)=1)=0,4)=0)=1，则1)+2)+f3)+(4=0,所以Σ0 =)=1)+2)+7×0=-1,故D正确.故选BCD 2.(多选)已知函数fx)的定义域为R,函数x)的图象关于点(1,0)对称，且满足x十3)=/ (1一x),则下列结论正确的是() A.函数x+1)是奇函数 B.函数x)的图象关于y轴对称 C.函数x是最小正周期为2的周期函数 D.若函数gx)满足g)+fx十3)=2，则∑2028k=g(k)=4056 答案：ABD 解析：因为函数x)的图象关于点(1,0)对称，所以x十1)=一1一x),所以函数x十1)是奇 函数，故A正确：因为x十1)=一1一x),所以x十2)=一（一x),又x十3）=1一x),所 以x十3)=一x十1)，所以x+2)=-x),所以一x)=x),所以函数x)为偶函数，故B 正确：因为x十4)=一x十2)=x),故C错误：因为x十2)=一x),所以1)十3)=0，f (0)+2)=0,因为gx)++3)=2,所以g0+g(1)+g(2)+g3)=2-3)+2-4)+2-5) +2一6=8-3)+4)+5)+6]=8-3)+0)+1)+2]=8，所以Σ2028=g9=507 ×[gO+g(1)+g2)+g3)]=4056,故D正确.故选ABD 6