第3章 素能培优（二） 函数性质的综合问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

函数的单调性、奇偶性、周期性及函数图象的对称性是必考点，通常会综合考查，出现在选填题中．

　          考向一　函数的奇偶性与单调性

(1)(2025·湖南师大附中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为(　　)

A．(－∞，－2)∪

B．(4，＋∞)

C.∪(4，＋∞)

D．(－∞，－2)

答案：C

解析：依题意，函数的大致图象如图．因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－3)＝0，则当x＞3或x＜－3时，f(x)＜0；当－3＜x＜3时，f(x)＞0，不等式(2x－5)f(x－1)＜0化为或所以或或解得x＞4或x∈∅或－2＜x＜，即－2＜x＜或x＞4，所以原不等式的解集为∪(4，＋∞)．故选C.

(2)(多选)(2025·湖北四市联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　)

A．f(f(1))<f(f(2)) B．f(g(1))<f(g(2))

C．g(f(1))<g(f(2)) D．g(g(1))<g(g(2))

答案：BD

解析：因为f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且两函数在(－∞，0]上均单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，即g(x)在R上单调递减，所以f(1)<f(2)，g(2)<g(1)<g(0)＝0，所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，故B，D正确，C不正确；若f(1)<f(2)<0，则f(f(1))>f(f(2))，故A不正确．故选BD.

　(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．

(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．

　1.f(x)为定义在R上的偶函数，对任意的x2>x1≥0，都有>2，且f(2)＝4，则不等式f(x)>2|x|的解集为(　　)

A．(－∞，2)

B．(2，＋∞)

C．(0，2)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案：D

解析：对任意的x2>x1≥0，都有>2，则－2＝

>0，令g(x)＝f(x)－2|x|，则g(x)＝f(x)－2|x|在[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)为定义在R上的偶函数，所以g(－x)＝f(－x)－2|－x|＝f(x)－2|x|＝g(x)，即g(x)＝f(x)－2|x|为偶函数，又g(2)＝f(2)－2×|2|＝0，由f(x)>2|x|，可得g(x)＝f(x)－2|x|>0，即g(|x|)>g(2)，所以|x|>2，所以不等式f(x)>2|x|的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D.

2．已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则

≥0的解集是________．

答案：[－2，0)∪(0，2]

解析：因为函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)是奇函数，则＝.当x＞0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，所以＝≥0的解集为(0，2]；当x＜0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(－2)＝－f(2)＝0，所以＝≥0的解集为[－2，0)．综上，≥0的解集是[－2，0)∪(0，2]．

考向二　函数的奇偶性与对称性

(1)已知y＝f(x－2)＋1是定义在R上的奇函数，则(　　)

A．f(0)＝0   B．f(2)＝0

C．f(0)＝－1   D．f(－2)＝－1

答案：D

解析：由题意知y＝f(x－2)＋1的图象关于(0，0)中心对称，将y＝f(x－2)＋1的图象向下平移1个单位长度，得y＝f(x－2)的图象，其关于(0，－1)中心对称，再向左平移2个单位长度，得y＝f(x)的图象，其关于(－2，－1)中心对称，所以f(－2)＝－1.故选D.

(2)(2025·江淮十校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(2x＋2)＋f(2x)＝0，且y＝f(2－x)为偶函数，则下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)的周期为2

B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称

C．函数f(x)为偶函数

D．函数f(x)的图象关于直线x＝3对称

答案：C

解析：由f(2x＋2)＋f(2x)＝0可知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，A错误；y＝f(2－x)为偶函数，则f(2－x)＝f(2＋x)，可知f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，函数f(x)为偶函数，故C正确；因为f(2－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，也关于点(1，0)对称，所以f(x)的图象不关于直线x＝1对称，B错误；若函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，已知函数图象关于直线x＝2对称，则函数的周期为2，结合A项分析知，D错误．故选C.

　函数奇偶性与对称性的关系