第3章 第9讲 函数模型的应用-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第9讲　函数模型的应用 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义． 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0，且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0，且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 1．(人教A必修第一册3.1.2练习T1改编)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 答案：D 解析：y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D. 2．(人教B必修第一册3－3B T2改编)在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 答案：D 解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D. 3．下列函数中，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是(　　) A．y＝0.001ex B．y＝1000ln x C．y＝x1000 D．y＝1000×2x 答案：A 解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A. 4．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，且销量等于产量，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 答案：C 解析：设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0<x<240，x∈N*)．令f(x)≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C. 5．(人教A必修第一册习题4.3 T8改编)若某地2024年的GDP比2014年翻一番，则此地GDP平均每年的增长率是________． 答案：2－1 解析：设平均每年的增长率为x，所以(1＋x)10＝2，即1＋x＝2，则x＝2－1，所以平均每年的增长率是2－1. 6．(人教A必修第一册习题4.4 T5改编)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000米，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为x，研究中发现v＝0.5log3(x≥100)，在逆流而上的过程中，某两条鲑鱼的游速v1，v2满足v1＋v2＝4v1v2，则这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为________个单位． 答案：600 解析：由v＝0.5log3(x≥100)，可得x1＝100×32v1，x2＝100×32v2，由v1＋v2＝4v1v2可得＋＝4，v1＋v2＝(v1＋v2)·＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当v1＝v2＝0.5时取等号，所以x1＋x2＝100×32v1＋100×32v2≥100×2≥200×3＝600，当且仅当v1＝v2＝0.5时取等号，所以这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为600个单位． 考向一　利用函数图象刻画实际问题 (多选)一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系． 根据图1，以下四个说法中正确的是(　　) A．在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加 B．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6 km C．大约在第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶 D．在图2的四条曲线(注：S为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹 答案：AD 解析：由题图1可知，在2.6 km到2.8 km之间，图象上升，故在第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为1.8 km到2.4 km之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6 km，故B不正确；最长直线路程应在1.4 km到1.8 km之间开始，故C不正确；由题图1可知，跑道应有3个弯道，且两长一短，故D正确．故选AD. 　用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可． 　如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y(见图中阴影部分)，则函数y＝f(t)的大致图象为(　　) 答案：D 解析：根据题意，可知点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(2，0)，所以直线OA的方程为y＝x，直线AB的方程为y＝－(x－2)．所以当0≤t≤1时，y＝f(t)＝×t×t＝；当1<t≤2时，y＝f(t)＝×2×－(2－t)×(2－t)＝－(2－t)2；当t>2时，y＝f(t)＝×2×＝.它的图象如D所示．故选D. 考向二　已知函数模型解决实际问题 (2025·江苏镇江模拟)自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanhx＝，经过某次测试得知tanhx0＝，则当把变量减半时，tanh＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：∵tanhx0＝＝，∴e2x0＝9，则ex0＝3，∴tanh＝＝＝.故选A. 　利用已知函数模型解决实际问题的步骤 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题． 　(2024·海南文昌中学模拟)荧光定量PCR是一种通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法．在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg Xn＝nlg (1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量，p为扩增效率．已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率p约为(参考数据：10≈2.154，10≈1.778)(　　) A．56.2% B．77.8% C．115.4% D．118.4% 答案：C 解析：由题意，可得lg (100X0)＝6lg (1＋p)＋lg X0，即lg 102＋lg X0＝6lg (1＋p)＋lg X0，所以2＋lg X0＝6lg (1＋p)＋lg X0，可得1＋p＝10≈2.154，解得p≈1.154＝115.4%.故选C. 考向三　构建函数模型解决实际问题 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元． (1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系； (2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？ 解：(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2. 由已知得f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝， 所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)设投资股票等风险型产品x万元，则投资债券等稳健型产品(20－x)万元． 依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝＋＝(0≤x≤20)． 所以当＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元． 故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元时获得最大收益，为3万元． 　构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 　1.“青年兴则国家兴，青年强则国家强”，作为当代青少年，我们要努力奋斗，不断进步．假设我们每天进步1%，则一年后的水平是原来的1.01365≈37.8倍，这说明每天多百分之一的努力，一年后的水平将成倍增长．如果将我们每天的“进步”率从目前的10%提高到20%，那么大约经过________天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg 11≈1.041)．(　　) A．82 B．84 C．86 D．88 答案：B 解析：设大约经过x天后，我们的水平是原来应达水平的1500倍，可得1.2x＝1.1x×1500，两边取对数，得xlg 1.2＝xlg 1.1＋lg 1500，x(lg 12－1)＝x(lg 11－1)＋lg 15＋2，x＝.又因为lg 15＝lg (3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋1－lg 2≈0.477＋1－0.301＝1.176，lg 12＝lg 3＋lg 4＝lg 3＋2lg 2≈0.477＋0.602＝1.079，所以x＝≈＝≈84.故选B. 2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________． 答案：5 解析：根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，∴年平均利润＝12－，∵x＋≥2＝10，当且仅当x＝5时等号成立，∴为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为5. 课时作业 一、单项选择题 1．有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘．假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x(单位：小时)，货船距石塘的距离为y(单位：千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是(　　) 答案：A 解析：由题意，得货船从石塘开始航行到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；随后y随x增大继续增大；当返回时，y随x增大而减小，直至为0，又顺流速度大于逆流速度，故选A. 2．双碳，即碳达峰与碳中和的简称.2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n＝log2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A时，放电时间为(　　) A．28 h B．28.5 h C．29 h D．29.5 h 答案：B 解析：根据题意可得C＝57·10n，则当I＝15 A时，57·10n＝15n·t，所以t＝57·＝57×log2＝57×log＝57×＝28.5 h，即当放电电流I＝15 A时，放电时间为28.5 h．故选B. 3．(2025·甘肃张掖模拟)在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL.某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位：mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位：h)近似满足关系式V(t)＝其中W为饮酒者的体重(单位：kg)，m为酒精摄入量(单位：mL)．根据上述关系式，已知某驾驶员体重75 kg，他快速饮用了含150 mL酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61)(　　) A．12小时后 B．24小时后 C．26小时后 D．28小时后 答案：B 解析：当0≤t<1时，V(t)＝×(－t2＋2t＋1)＝－[(t－1)2－2]，所以V(t)<V(1)＝＝200>20，当t≥1时，令V(t)＝×＝200×<20，即<，所以t－1>≈23，所以t>24.故选B. 4．化学平衡是指在一定条件下，可逆反应的正反应速率和逆反应速率相等时，体系所处的状态．根据计算系统的吉布斯自由能变化(ΔG)的热力学公式Gibbs－Helmholtz方程和Van't Hoff方程，可以得到温度(T)与可逆反应的平衡常数(K)的关系式：ΔH－TΔS＝ΔG＝－RTln K，式中ΔH为焓变(在一定温度变化范围内视为定值)，ΔS为熵变，R为气体常数．利用上述公式，我们可以处理不同温度下，有关多重可逆反应的平衡常数之间关系的计算．已知当温度为T1时，可逆反应的平衡常数为K1；当温度为T2时，可逆反应的平衡常数为K2，则ln ＝(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意，即则有ln ＝ln K1－ln K2＝－＝.故选A. 二、多项选择题 5．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位：天)之间的函数关系f(x)＝下列说法正确的是(　　) A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 答案：ABC 解析：由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；由图象可得B正确；当1<x≤30时，f(x)＝＋x－，则f(9)＝＋×9－＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f(26)＝＋×26－>，故D错误．故选ABC. 6．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0(1＋k)n(k>－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，则(　　) A．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈下降趋势 B．若k∈(－1，0)，则这期间人口数呈摆动变化 C．当k＝，Pn≥2P0时，n的最小值为3 D．当k＝－，Pn≤P0时，n的最小值为3 答案：AC 解析：当k∈(－1，0)时，P0>0，0<1＋k<1，由指数函数的性质可知，Pn＝P0(1＋k)n是关于n的减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；当k＝，Pn＝P0≥2P0，所以≥2，所以n≥log2(n∈N)，log2∈(2，3)，所以n的最小值为3，故C正确；当k＝－，Pn＝P0≤P0，所以≤，所以n≥log(n∈N)，log＝log2∈(1，2)，所以n的最小值为2，故D不正确．故选AC. 三、填空题 7．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________(用常数a表示)． 答案：a2 解析：令t＝(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－＋a2，∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值． 8．“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为________． (参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105) 答案：6 解析：设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.9n－1.由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6，则(n－1)ln 0.9<ln 0.6，即n－1>≈≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6. 四、解答题 9．某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，根据员工的销售额发放奖金(奖金和销售额单位都为十万元)，奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金f(x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%(即奖金f(x)≥5%·x)．经测算该企业决定采用函数模型f(x)＝－＋b(a>0，b>0)作为奖金发放方案． (1)若a＝b＝，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由； (2)若b＝，要使奖金发放方案满足条件，求实数a的取值范围． 解：(1)f(x)＝－＋， 因为y＝＋在[2，8]上单调递增，y＝－在[2，8]上单调递增， 所以f(x)＝－＋在[2，8]上单调递增，满足条件①. 对于②，f(x)＝－＋≥5%·x， 即－＋≥， 整理可得x2－2x＋2≤0， 而x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，则不满足条件②. 故a＝b＝，此奖金发放方案不满足条件． (2)当b＝时，函数f(x)＝－＋，因为a>0， 由(1)知f(x)在[2，8]上单调递增，奖金发放方案满足条件①. 由条件②可知f(x)≥，即＋≤在x∈[2，8]时恒成立， 所以a≤－x2＋x＝在x∈[2，8]时恒成立． 因为y＝在[2，8]上单调递增． 所以当x＝2时，y取得最小值，所以a≤， 所以要使奖金发放方案满足条件，实数a的取值范围为. 10．某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率(利润/成本)低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y(单位：百万元)与年投资成本x(单位：百万元)变化的一组数据： 年份 2021 2022 2023 2024 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下三个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； (2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型． 解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)， 得解得 ∴y＝x－. 当x＝9时，y＝4，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b>0，且b≠1)， 得解得 ∴y＝·()x＝2. 当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意； 将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)， 得解得 ∴y＝log2(x－1)． 当x＝9时，y＝log28＝3； 当x＝17时，y＝log216＝4. 故可用③来描述x，y之间的关系． (2)令log2(x－1)＝6，则x＝65. ∵年利润率为<10%， ∴该企业要考虑转型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$