第3章 第9讲 函数模型的应用-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第9讲　函数模型的应用

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义．

1．常见的函数模型

2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质

1．(人教A必修第一册3.1.2练习T1改编)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)

答案：D

解析：y为小王从出发到返回原地所经过的路程，而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B.故选D.

2．(人教B必修第一册3－3B T2改编)在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表：

则对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x   B．y＝x2－1

C．y＝2x－2   D．y＝log2x

答案：D

解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入各选项计算，可排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入其余各选项计算，可排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.

3．下列函数中，随着x的增大，y也增大，且增长速度最快的是(　　)

A．y＝0.001ex   B．y＝1000ln x

C．y＝x1000   D．y＝1000×2x

答案：A

解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B，C；指数函数中，当底数大于1时，底数越大，函数的增长速度就越快，系数的影响可忽略不计．故选A.

4．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，且销量等于产量，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)

A．100台   B．120台

C．150台   D．180台

答案：C

解析：设利润为f(x)万元，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000(0<x<240，x∈N*)．令f(x)≥0，得x≥150，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C.

5．(人教A必修第一册习题4.3 T8改编)若某地2024年的GDP比2014年翻一番，则此地GDP

平均每年的增长率是________．

答案：2－1

解析：设平均每年的增长率为x，所以(1＋x)10＝2，即1＋x＝2，则x＝2－1，所以平均每年的增长率是2－1.

6．(人教A必修第一册习题4.4 T5改编)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000米，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为x，研究中发现v＝0.5log3(x≥100)，在逆流而上的过程中，某两条鲑鱼的游速v1，v2满足v1＋v2＝4v1v2，则这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为________个单位．

答案：600

解析：由v＝0.5log3(x≥100)，可得x1＝100×32v1，x2＝100×32v2，由v1＋v2＝4v1v2可得＋＝4，v1＋v2＝(v1＋v2)·＝≥×(2＋2)＝1，当且仅当v1＝v2＝0.5时取等号，所以x1＋x2＝100×32v1＋100×32v2≥100×2≥200×3＝600，当且仅当v1＝v2＝0.5时取等号，所以这两条鲑鱼在该段逆流而上的过程中耗氧量之和最小为600个单位．

 

考向一　利用函数图象刻画实际问题

(多选)一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．