第3章 第8讲 函数零点与方程-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第8讲　函数零点与方程 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 　有关函数零点的结论 (1)若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根． (5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(　　) A．2 B．0和2 C．0 D．－2和0 答案：B 解析：由条件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零点为0和2.故选B. 2．(人教B必修第一册习题3－2B T5改编)函数y＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A. B．(1，2) C．(2，e) D．(e，＋∞) 答案：C 解析：y＝f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，因为y＝ln x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 1－2＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－＝1－>0，所以f(2)f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零点．故选C. 3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　) A．(0，0.5)，f(0.125) B．(0，0.5)，f(0.375) C．(0.5，1)，f(0.75) D．(0，0.5)，f(0.25) 答案：D 解析：因为f(0)f(0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x0∈(0，0.5)，根据二分法，第二次应计算f，即f(0.25)．故选D. 4．(人教A必修第一册习题4.5 T13改编)若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为________． 答案：0或1 解析：当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点；当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上，实数a的值为0或1. 5．若函数f(x)＝则函数y＝f(x)－1的零点是________． 答案：0和 解析：要求函数y＝f(x)－1的零点，则令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①当x≤0时，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②当x＞0时，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝(负值舍去)．综上可知，函数y＝f(x)－1的零点是0和. 考向一　函数零点所在区间的判断 (1)(2025·宁夏石嘴山模拟)函数f(x)＝ln x－的零点所在区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3) 答案：B 解析：因为f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，且y＝ln x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，可知f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，又因为f(1)＝ln 1－＝－<0，f(2)＝ln 2－>ln －＝－>0，即f(1)f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上存在唯一零点．故选B. (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 答案：A 解析：函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点． 　判断函数零点所在区间的常用方法 (1)定义法 利用函数零点存在定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)解方程法 当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上． (3)数形结合法 画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断． 　1.已知x0是函数f(x)＝＋log2(x＋1)－4的零点，则(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)的值(　　) A．为正数 B．为负数 C．等于0 D．无法确定正负 答案：B 解析：由题意可知f(x)单调递增且f(3)＝＋log24－4<0，f(4)＝2＋log25－4>0，则x0∈(3，4)，所以x0－1>0，x0－2>0，x0－3>0，x0－4<0，所以(x0－1)(x0－2)(x0－3)(x0－4)<0.故选B. 2．已知函数f(x)＝20×3－x－x的零点x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________． 答案：2 解析：因为函数y＝3－x为R上的减函数，故函数f(x)＝20×3－x－x为R上的减函数，又f(2)＝20×3－2－2＝－2＝>0，f(3)＝20×3－3－3＝－3＝－<0，所以f(2)f(3)<0，故f(x)＝20×3－x－x在(2，3)上有唯一零点，结合题意可知k＝2. 考向二　函数零点或方程根的个数的判定 (1)函数f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：A 解析：求函数f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数，转化为求方程(x2－x)ln |2x－3|＝0在区间[－2，2]上的根的个数．由(x2－x)ln |2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln |2x－3|＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f(x)＝(x2－x)ln |2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为3.故选A. (2)(2025·浙江温州模拟)已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)＝ax＋2的根的个数不可能是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数，由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点，所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点．故选C. 　判定函数零点个数的方法及思路 (1)解方程法 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)函数零点存在定理法 利用定理不仅要求函数f(x)的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所满足的条件． (3)数形结合法 转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 　1.函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：由2x|log0.5x|－1＝0，得|log0.5x|＝，作出y＝|log0.5x|和y＝的图象，如图所示，则两个函数图象有2个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点． 2．函数f(x)＝·cosx的零点个数为________． 答案：6 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，∴f(x)的定义域为[－6，6]．令f(x)＝0，得36－x2＝0或cosx＝0，由36－x2＝0，得x＝±6，由cosx＝0，得x＝＋kπ，k∈Z，又x∈[－6，6]，∴x为－，－，，.综上，f(x)共有6个零点． 考向三　函数零点的应用 角度1　与零点有关的比较大小问题 已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－logx，h(x)＝log2x－(0<x<10)的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为(　　) A．x1>x2>x3 B．x2>x1>x3 C．x1>x3>x2 D．x3>x2>x1 答案：D 解析：由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－logx＝0，h(x)＝log2x－＝0，得2x＝－x，x＝logx，log2x＝，在平面直角坐标系中分别作出y＝2x与y＝－x的图象，y＝x与y＝logx的图象，y＝log2x与y＝的图象，由图可知，－1<x1<0，0<x2<1，x3>1，所以x3>x2>x1. 　在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较． 　已知a，b，c均大于1，且满足＝2＋log2a，＝3＋log3b，＝4＋log4c，则下列不等式成立的是(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．a<c<b D．c<a<b 答案：B 解析：∵＝2＋log2a⇒＝log2a，＝3＋log3b⇒＝log3b，＝4＋log4c⇒＝log4c，∴考虑y＝和y＝logmx的图象相交，根据图象可知a<b<c.故选B. 角度2　由函数零点存在情况或个数求参数范围 (1)(2025·广东珠海模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)在R上没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪{0} B．(－∞，－1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案：A 解析：设g(x)＝则作出g(x)的图象如图所示，问题转化为函数g(x)的图象与直线y＝－a没有交点，所以－a＝0或－a>1，解得a＝0或a<－1.故选A. (2)(多选)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－a，则下列结论正确的是(　　) A．若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2) B．若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1) C．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3＋x4＝4 D．若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，则x3x4的取值范围是 答案：BCD 解析：令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a，所以g(x)的零点个数为函数y＝f(x)与y＝a图象的交点个数，作出函数y＝f(x)的图象如图，由图可知，若g(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2)∪{0}，故A错误；若g(x)有4个不同的零点，则a的取值范围是(0，1)，故B正确；若g(x)有4个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，此时x3，x4关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，故C正确；由C项可知，x3＝4－x4，所以x3x4＝(4－x4)x4＝－x＋4x4，由于g(x)有4个不同的零点，a的取值范围是(0，1)，故0<－4x＋16x4－13<1，所以<－x＋4x4<，故D正确．故选BCD. 　已知函数零点求参数范围的常用方法 　高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，其中的一个成果是：设x∈R，则y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非负纯小数，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则正实数k的取值范围为________． 答案： 解析：根据题意可得函数y＝{x}在x轴正半轴的部分图象如图所示，函数y＝1－kx的图象为过定点P(0，1)的直线，所以要使方程{x}＝1－kx有且仅有4个实数根，则直线y＝1－kx应在PA，PB之间或恰好在PA处，所以－≤－k<－，即正实数k的取值范围为. 课时作业 一、单项选择题 1．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0∈(　　) A．(－4，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，4) 答案：B 解析：因为y＝2x与y＝在R上均为增函数，所以f(x)＝2x＋在R上为增函数，又因为f(0)＝1＞0，f(－1)＝－＝>0，f(－2)＝－＝－<0，因为f(－2)f(－1)<0，所以f(x)＝2x＋的零点在区间(－2，－1)内．故选B. 2．函数f(x)＝的零点是(　　) A．(－1，0)，(9，0) B．－1，9 C．(9，0) D．9 答案：B 解析：当x≤0时，f(x)＝－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝log3x－2＝0，解得x＝9，所以函数f(x)的零点为－1，9.故选B. 3．已知实数x0是函数f(x)＝－的一个零点．若0＜x1＜x0＜x2，则(　　) A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0 C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0 答案：B 解析：函数f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，且f(x0)＝0，所以当0＜x1＜x0＜x2时，有f(x1)＜0，f(x2)＞0. 4．(2025·湖南岳阳模拟)设函数f(x)＝x＋log2x－m，则“函数f(x)在上存在零点”是“m∈(1，6)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：函数f(x)＝x＋log2x－m在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)在上存在零点，得f＝－－m＜0，f(4)＝6－m＞0，解得－＜m＜6，故“函数f(x)在上存在零点”是“m∈(1，6)”的必要不充分条件．故选B. 5．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x>0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2. 6．关于函数f(x)＝其中a，b∈R，给出下列四个结论： 甲：5是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点； 丙：该函数的所有零点之积为0； 丁：方程f(x)＝1有两个不等的实根． 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：B 解析：当x∈[3.5，＋∞)时，f(x)＝b－x为减函数，故5和4只有一个是函数的零点，即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确．由所有零点之积为0，结合分段函数的性质知，必有一个零点为0，则f(0)＝log22－a＝0，可得a＝1.①若甲正确，则f(5)＝b－5＝0，则b＝5，可得f(x)＝由f(x)＝1，可得或解得x＝2或x＝4，方程f(x)＝1有两个不等的实根，故丁正确；②若乙正确，则f(4)＝0，即b－4＝0，则b＝4，可得f(x)＝ 由f(x)＝1，可得或解得x＝2，方程f(x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意．综上，甲正确，乙错误．故选B. 7．(2025·江苏徐州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m仅有4个零点，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：当0≤x≤2时，f(x)＝x2，此时f(x)单调递增，当x>2时，f(x)＝＋1，此时f(x)单调递减，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数f(x)的图象，因为函数y＝f(x)－m仅有4个零点，所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝m有4个交点，根据图象可知，1<m<，即实数m的取值范围是.故选A. 8．(2025·福建漳州高三开学检测)x1，x2为函数f(x)＝|logax|－3的两个零点，其中x1<x2，则下列说法错误的是(　　) A．x1x2＝1 B．x1＋x2>2 C．x1＋4x2的最小值为4 D．4x1＋x2的最小值为4 答案：C 解析：函数f(x)＝|logax|－3的定义域为(0，＋∞)，a>0，且a≠1，由f(x)＝0，得|logax|＝3，因此直线y＝3与函数y＝|logax|的图象有两个公共点，其横坐标为x1，x2，a比1大还是小，对y＝|logax|的图象没有影响，可令a>1，而当0<x<1时，y＝－logax单调递减，当x>1时，y＝logax单调递增，于是0<x1<1<x2.对于A，由|logax1|＝|logax2|，得－logax1＝logax2，即x1x2＝1，A正确；对于B，x1＋x2＝＋x2，而函数y＝x＋在(1，＋∞)上单调递增，因此x1＋x2＝＋x2>2，B正确；对于C，x1＋4x2＝＋4x2，函数y＝4x＋在(1，＋∞)上单调递增，因此x1＋4x2＝＋4x2>5，C错误；对于D，4x1＋x2＝＋x2≥4，当且仅当x2＝2时取等号，D正确．故选C. 二、多项选择题 9．某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.5625)≈0.066 则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　) A．2.52 B．2.56 C．2.66 D．2.75 答案：AB 解析：由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的解在(2.5，2.5625)内，又|2.5625－2.5|＝0.0625<0.1，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合．故选AB. 10．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝ D．f(x)＝－x 答案：BCD 解析：根据定义可知，若f(x)为“不动点”函数，则f(x)＝x有解．对于A，令2x＋x＝x，得2x＝0，此时无解，故f(x)不是“不动点”函数；对于B，令x2－x－3＝x，得x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，得x＝－或x＝1，所以f(x)是“不动点”函数；对于D，令－x＝x，得x＝±，所以f(x)是“不动点”函数．故选BCD. 11．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝0有6个不同的实根，则实数a的可能取值是(　　) A．－ B. C. D．2 答案：BC 解析：当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，作出f(x)的图象，如图所示．[f(x)]2－(2a＋1)f(x)＋a2＋a＝[f(x)－a]·[f(x)－a－1]＝0，即f(x)＝a与f(x)＝a＋1共有6个不等实根，由图可知，若使f(x)＝a与f(x)＝a＋1共有6个不等实根，只需满足即0<a<1.故选BC. 三、填空题 12．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数为f(x)＝________． 答案：x3－x(答案不唯一) 解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，所以a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同的零点，所以b<0，所以f(x)＝x3－x满足题意． 13．设函数f(x)＝其中a>0. (1)若a＝3，则f(f(9))＝________； (2)若函数y＝f(x)－2有两个零点，则a的取值范围是________． 答案：(1)　(2)[4，9) 解析：(1)当a＝3时，f(x)＝则f(9)＝log39＝2，∴f(f(9))＝f(2)＝. (2)分别画出y＝f(x)与y＝2的图象，如图所示，函数y＝f(x)－2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9)． 14．(2025·河北秦皇岛模拟)已知奇函数f(x)的定义域为R，f(x＋3)＝－f(－x)，且f(2)＝0，则f(x)在[0，6]上的零点个数的最小值为________． 答案：9 解析：由f(x＋3)＝－f(－x)，可得f(x)的图象关于点对称，又f(x)是奇函数，所以f(x＋3)＝－f(－x)＝f(x)，则f(x)的周期为3，所以f(0)＝f(3)＝f(6)＝0，f(5)＝f(2)＝0，f(4)＝f(1)＝f(－2)＝－f(2)＝0，而f(1.5)＝－f(1.5)，则f(1.5)＝f(4.5)＝0.故f(x)在[0，6]上的零点个数的最小值为9. 四、解答题 15．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. (1)求b，c的值； (2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意得2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根， 所以得 (2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6， 所以g(x)＝x2＋(m－5)x＋6， 依题意得 解得－<m<0， 故实数m的取值范围是. 16．设函数f(x)＝ (1)若a＝1，求f(x)的最小值； (2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围． 解：(1)若a＝1， 则f(x)＝ 作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可得f(x)的最小值为－1. (2)当x<1时，f(x)∈(－a，2－a)， 所以当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足2－a≤0，即a≥2； 当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1. 综上所述，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$