第3章 第8讲 函数零点与方程-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第8讲　函数零点与方程

1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于一般函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)三个等价关系

方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．

(3)函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

　有关函数零点的结论

(1)若图象连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．

(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

1．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的零点是2，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是(　　)

A．2   B．0和2

C．0   D．－2和0

答案：B

解析：由条件知f(2)＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x－2)的零点为0和2.故选B.

2．(人教B必修第一册习题3－2B T5改编)函数y＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　)

A.   B．(1，2)

C．(2，e)  D．(e，＋∞)

答案：C

解析：y＝f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，因为y＝ln x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 1－2＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－＝1－>0，所以f(2)f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零点．故选C.

3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)

A．(0，0.5)，f(0.125)   B．(0，0.5)，f(0.375)

C．(0.5，1)，f(0.75)   D．(0，0.5)，f(0.25)

答案：D

解析：因为f(0)f(0.5)<0，由函数零点存在定理知，零点x0∈(0，0.5)，根据二分法，第二次应计算f，即f(0.25)．故选D.

4．(人教A必修第一册习题4.5 T13改编)若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为________．

答案：0或1

解析：当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点；当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.综上，实数a的值为0或1.

5．若函数f(x)＝则函数y＝f(x)－1的零点是________．

答案：0和

解析：要求函数y＝f(x)－1的零点，则令y＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，①当x≤0时，f(x)＝ex，由ex＝1，解得x＝0；②当x＞0时，f(x)＝x2－1，由x2－1＝1，解得x＝(负值舍去)．综上可知，函数y＝f(x)－1的零点是0和.

考向一　函数零点所在区间的判断

(1)(2025·宁夏石嘴山模拟)函数f(x)＝ln x－的零点所在区间为(　　)

A．(0，1)   B．(1，2) 

C．(2，e)   D．(e，3)

答案：B

解析：因为f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，且y＝ln x，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，可知f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，又因为f(1)＝ln 1－＝－<0，f(2)＝ln 2－>ln －＝－>0，即f(1)f(2)<0，所以f(x)在(1，2)上存在唯一零点．故选B.

(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

答案：A

解析：函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)·(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．

　判断函数零点所在区间的常用方法

(1)定义法

利用函数零点存在定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(2)解方程法

当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．