第3章 第6讲 对数与对数函数-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第6讲　对数与对数函数

1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)．

1．对数的定义

如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的运算法则

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

3．对数函数的定义

函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量．

4．对数函数的图象与性质

 

5.反函数

指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．对数的性质(a＞0，且a≠1)

(1)loga1＝0.(2)logaa＝1.(3)alogaN＝N.

2．换底公式及其推论

(1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

(2)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)．

(3)logab·logbc·logcd＝logad.

(4)logambn＝logab.

3．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

1．(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设alog34＝2，则4－a＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案：B

解析：由alog34＝2可得log34a＝2，所以4a＝9，所以4－a＝.故选B.

2．设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．b<a<c

C．b<c<a   D．a<c<b

答案：D

解析：因为log20.3<log21＝0，所以a<0.因为log0.4>log＝1，所以b>1.因为0<0.40.3<0.40＝1，所以0<c<1，所以a<c<b.

3．函数f(x)＝loga(x＋2)－2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．

答案：(－1，－2)

解析：由loga1＝0(a>0，且a≠1)知，f(－1)＝loga(－1＋2)－2＝0－2＝－2，所以函数f(x)的图象过定点(－1，－2)．

4．(人教B必修第二册4.2.2练习B T3改编)求值：lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝________．

答案：1

解析：原式＝lg 5×lg (22×5)＋(lg 2)2＝lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝(lg 5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝[lg (5×2)]2＝1.

5．(人教A必修第一册习题4.4 T1(2)改编)函数y＝的定义域是________．

答案：

解析：由log(2x－1)≥0，得log(2x－1)≥log1，所以0<2x－1≤1，解得<x≤1.故函数y＝的定义域为.

考向一　对数的化简与求值

(1)下列运算正确的是(　　)