第3章 第6讲 对数与对数函数-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第6讲 对数与对数函数 课程标准1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数2.了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象 探索并了解对数函数的单调性与特殊点3.知道对数函数v一logx与指数函数v一a互为反函 数(a>0,且a1). 基础知识整合 知识梳理 1. 对数的定义 如果ar=N(a>o,且a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作spl(0l)x=logN,其中 a叫做对数的底数,N叫做真数。 2. 对数的运算法则 如果a>0,且a1,M>0,N>0,那么 (1)log.(MN)-spI(02)logM+log.N (2)log.MN-spI(03llog.M-logN (3)log.-nlogM(nER). 3. 对数函数的定义 函数sapl(04)y一logx(a>0,且a字1)叫做对数函数,其中x是自变量 4. 对数函数的图象与性质 l 0al _log _1 图象 (0 0 /1.0) -0 _=og 定义域 supl(05)(0,十o) 值域 R 定点 过定点spl(06)(1,0) 单调性 sp(07)增函数 supI(08)减函数 当x>1时,y<0;当0~x<1时 函数值的变化 当x>1时,v>0:当0<x<1时,<0 ,0 5.反函数 指数函数y=r(a>0,且a≠1)与对数函数y-sapl(09)logx(a>0,且a字1)互为反函数,它 们的图象关于直线spI(10)y一x对称 _ 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 知识拓展 1. 对数的性质(a>0,且a去1) (1)log.1-0.(2)log.a=1.(3)logav-N 2. 换底公式及其推论 (1)logb=logcblogca(a,c均大于0且不等于1,b>0) (2)log b·log a=1,即logb=llogba(a,b均大于0且不等于1) (3)log.b· log c· log d-log.d (4)logb-nmlog.b 3. 对数函数的图象与底数大小的比较 lng. l 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0 <c<a<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 双基自测 1.(人教A必修第一册习题4.3T;改编)设alog4-2,则4-a-( ~ A./16 B.10 C.18 D.16 答案:B 解析:由alog4-2可得log4-2,所以4a=9,所以4-a-19.故选B$ 2. 设a=log0.3,b=log12)0.4,c=0.403,则a,b,c的大小关系为( ) A.a<c B. b<ac C.bca D.c< 答案:D 解析:因为log0.3-log1=0,所以a<0.因为logl2)0.4>log12)12=1,所以b>1.因为0 0.403c0.40-1,所以0<c-1,所以a<cb 3. 函数/(x)=log(x+2)-2(a>0,且.a关1)的图象过定点 答案:(一1,一2) 解析:由log1=0a>0,且a1)知,f-1)=log(-1+2)-2=0-2=-2,所以函数fx)的 图象过定点(一1,-2). 4. (人教B必修第二册4.22练习BT;改编)求值:lg5×lg20+(lg2)2- 答案:1 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析:原式=l5xlg(22x5)+(g 2)=lg5x(2lg2+lg5)+(lg2)=(lg 5)}+2lg 2xl5+(lg -(lg5+lg2)2-|lg(5×2)]=1 5.(人教A必修第一册习题44Ta改编)函数=23)log(wldo90(2x-1)的定义域是 答案:alvs4lallcol0f(12),1) 解析:由log23)(2x-1)=0,得log23)(2x-1)>log23)1,所以0<2-1<1,解得12<<1故 函数y=23)logsldo90(2x-I)的定义域为alvs4lallcol(f(12),1 核心考向突破 考向一 对数的化简与求值 (1)下列运算正确的是( ) A. 2log15)10+log15)0.25-2 B. log27×log58×log5-80 C. lg2+lg50-10 D. log2+(2-3)-(og22)2--54 答案:D 解析:对于A,2log15)10+log15)0.25=log15)(102×0.25)-log15)52--2,A错误;对于B. l $27tlog258xlog5-lg 33lg22xlg23lg 52xlg5lg 32-3x32x2x2-98,B错误;对于C. lg 2+lg 50=lg 100=2,C错误;对于D,log+(2-3)-(log2)=-1- alvs4allcoI(f(12)2--54,D正确 (2)(2025四用宜宾模拟)设函数f(x)-12)log(2-x),x<1,3x+1,x>l,)则f-2)+fflog8 一( ) A.8 B.9 C.22 D.26 答案:C 解析:f-2)=log12)[2-(-2)]=-2,因为log;8>1,所以floga8)-3log;8+1-3log;$8+log$3= 3ls324-24,所以/(-2)+flog;8)--2+24-22.故选C (③)(多选)已知a-lg2,b-lg3,则( A. 102+-7 B. 2a+b-lg12 C.la+2-logsl0 D. loge5-1-a2a+2b 答案:BCD 解析:因 $a=l2 ,$=l3,所以$0=2, $0=3,所以 102a+$-($10)$$10$=4$3-$ $ A错误;2 a+b=lg4+lg3-l12,B正确;la+2b=llg2+2lg3=ll18=logisl0,C正确; l$ 5=lg5lg (4x9)=1-lg22lg2+2lg3-1-a2a+2b,D正确.故选BCD rn 学科网书城 0 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 I触类旁通 对数运算的策略 在对数运算中,先利用攀的运算把底 数或真数进行变形,化成分数指数展 的形式,使暴的底数最简,然后运用 对数运算法则化简合并 先将对数式化为同底数对数的和、差 倍数运算,然后运用对数的运算法则。 转化为同底对数真数的积、商、嚣运算 a=V→b=log.(ao.且a*1)是解 决有关指数、对数问题的有效方法 在运算中应注意互化 即时训练。 1.(2025福建萧田模拟)已知函数fx)一alnx十bb,其中a,b均为正数,若/ -a) (8)-f(3)-2,则e 答案:23 -a) 解析:f(8b)-f(3b)=aln9-aln4-2,故a=2ln9-ln4=294,故e -23 2.(2025八省联考)已知函数fx)=ar(a→0,a≠1),若f(ln2)f(ln4)=8,则a=__. 答案:e 解析:由fln2)fln4)=8,可得ah2·h4-8,即aln2+ln4=3ln2-8,也即(ah23=23,:a >0且a≠1,'.ah2-2,两边取对数得ln2·lna=ln2,解得a=e. 3.(2024全国甲卷)已知a1,llog8a-lloga4=-52,则a= 答案:64 解析:由llog8a-lloga4=3log2a-12logza=-52,整理得(loga)2-5loga-6=0,解得loga =-1或loga=6,又a1,所以loga=6=log26,故a=26=64 考向二 对数函数的图象及其应用 2(1)若函数j(x)=(k-1)ar-a-*(a→0,且az1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(q) -log(x十)的图象是( ) 学科网书城 0 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com. 您身边的互联网+教辅专家 ##4 {# 答案:A 解析:由于fx)是R上的奇函数,所以f0)=k-1-1-0,k-2,因为fx)=a-lax为减函 数,所以0<a<l,所以g(x)=log(x+2),x-2,g(x)为(-2,+co)上的减函数,g-1)=0 排除B,C,D,故选A (2)若方程4=logx在avs4allcol(0,f12)内有解,则实数a的取值范围为 答案:alvs4lalicoI(0,V(r(2)2) 解析:构造函数/f(x)-4和g(x)-logx当a1时不满足条件,当0<a1时,画出两个函数的 大致图象,如图所示。可知,只需两图象在alvs4lallcol(0,f(12)上有交点即可,则f alvs4allcol((12)三glavs4lallcol(f(12),即2三log.12,则0<a三2)2,所以实数a的取值范 围为avs4lallcoI(0,jr(2)2) g) I触类旁通 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型图象的函数,在求解其单调性(单调区间)、值 域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合思想求解。 即时训练1.函数(x)=log.lx+1(0<a<1)的图象大致为( _r ### 学科网书城 0 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 #### 答案:A 解析:由函数fx)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称,设gx)一loglx,先 画出x0时g(x)的图象,然后根据g()的图象关于y轴对称,画出x0时g(x)的图象,最后 由函数g)的图象向上整体平移1个单位长度即得/fx的图象,结合图象知选A 2. 设x,x,x均为实数,且e-1=lnx,e2=ln(x+1),e-3=lgx,则( ,~ A.x<x2 B. C.x21 D.x 答案:D 解析:画出函数y=avs4lallcol(ffle),y=lnx,y=ln(x+1),y=lgx的图象,如图所示, 由图象知x =) _,_n(+) -nr _1_-g 考向三) 对数函数的性质及其应用多角度探究突破 角度1 比较对数值的大小 3(1)(2025-安徽合肥模拟)已知a=logo&2,b=log-0.6,c=0.62,则( _ A.a>>c B. bc>a C.c>a D.ca>b 答案:C 解析:c=0.62>0,b=log$0.6<0,且 b=log-0.6>log-0.5=-1,即bE(-1,0).a=logoé = llog20.6-1bE(-o,-1),所以c>b>a故选C (2)(多选)若实数a,b,c满足log2~log2~log2,则下列关系中可能成立的是( ~ A.ac B. bc C.ca D.a<c- 答案:BCD 解析:由log。2<log2-log2的大小关系,可知a,b,c有如下四种可能:①l~c<b<a;②0 <al<c;③0<<a-l<c;④0<c<a<l.作出函数的图象(如图所示). 学科网书城 0 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com. 您身边的互联网+教辅专家 =lng.: 一y-log -,=lngx leechca ocaclcech #4 =log.x ocbca<lce okc<h<a<l ③ 由图象可知B,C,D可能成立. I触类旁通 比较对数值大小的方法 同底数 利用对数函数的单调性比较 x小我 同真数- 利用图象法或转化为同底数 对数的倒数比较 引入中间量 -底数、真数均不同 (如-1,0,1等) 即时训练。 1.(2025湖北武汉模拟)下面四个数中,最大的是( ) A. ln3 B. n(ln3) C.1n3 D. (ln3)} 答案:D 解析:因为lne-ln3~lne2,即1~ln3<2,所以ln(ln3)-ln2<1,lln3<l,故B,C不满足题 意;又(ln3)-ln3=(ln3-1)ln3>0,所以(ln3)}>ln3故选D 2. (2025安徽江淮十校第一次联考)若a=lnl0,b-ln2xln5,c-ln4e,则a,b,c的大小 关系是( ) A. c<a-h B.~<c C.c<a D.b<ac 答案:D 解析:c-ln4e-ln4e2>ln102-ln10-,而a-lnl10=n102-ln2+ln52=ln2$xln 5-b,所 以bac故选D 角度2 解对数不等式 4 (1)(2025福建泉州模拟)已知/fx)是定义在R上的奇函数,且在[0,十c)上单调递增 若/lgx)~0,则x的取值范围是( ) , 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.(0,1) B.(1,10) C.(1,+) D.(10,+o) 答案:A 解析:根据奇函数的性质可知fx)在R上单调递增,且/(0)一0,因此不等式flgx)~0可化为 /0gx)(0),即lgx<0,解得01.所以x的取值范围是(,1).故选A (②)设函数/f(x)=12)log2x,x>0,loglsdo90(-x),x<0)若f(a)f-a),则实数a的取值范围 是 A.(-1,0)U(0,1) B.(-o,-)U(1,+~) C.(-1,0)U(1,+o) D.(-,-1)U(0,1) 答案:C 解析:由题意可得12)a>0,log2a>loga)或12)a<0,log(-a)>log2(-a),)解得-1 a或a1故选C I触类旁通 对数不等式的类型及其解法 形如log.x>log的不等式,借助y=log.x 的单调性求解,如果a的取值不确定, 需分a>1与0<a<I两种情况讨论 形如logx>6的不等式,需先将b化为以 a为底的对数式的形式,再转化为类型 一求解 即时训练 1.(2025贵阳模拟)已知集合A=(x{2-2x-3<0,xERj,B=(xlogx1,a 0,且a关1,若A0B一②,则a的取值范围是 答案:[3,十) 解析:由已知可得A=({x-1x3},若 l,则B=({xlx>a,由AB=,得a>3:若0 <al,则B=fx0xa},此时AOB=B,不符合题意,综上可得,a的取值范围是[3 士). 2. 若log(a2+1)<log2a<0,则a的取值范围是 答案:alvs4lallcol0f(12),1) 解析:由题意得a>0,且a1,故必有a2+1>2a,又log(a②十1)-log2a<0,所以0<a1,同 时2a1,所以a12.综上,a的取值范围是alvs4lallcol6f(12),1 角度3 对数函数性质的综合应用 5(1)(2025深圳红岭教育集团统考)已知函数fi)=log。[x(a-x)](a>0,且a≠1)在(1,2)上 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 单调递增,则a的取值范围为( ,~ A.(1,2] B.(1,4 C.[2,+o) D.[4,十) 答案:D 解析:若0<a<1,则x(a-x)<0在(1,2)上恒成立,不符合条件;若a→l,由fx)在(1,2)上单 调递增,得a>I,a2)2,解得a三4.综上,a的取值范围为[4,+).故选D (②2)已知函数/fx=3+logx,xE[1,16],若函数g()=[(x]+2/x},则函数g(×的最大值 答案:39 解析:函数g(x)=[f(x]2+2fx2})满足1xl6.1sx2<l6,)解得1<x<4,即函数g(的定义域 为[1,4.gx)=[f[x)]+2x})=(③+logx)+6+2logx2=(logx)}+10logx+15=(logx+5$ 2-10,因为xE[l,4],所以logxE[o,2],所以当logx-2时,g(x)取得最大值39 II触类旁通I| 解对数函数综合问题的三个关注点 (1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论 (2)底数与1的大小关系。 (3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,另外,解题时要注意数形结合。 分类讨论、转化与化归思想的使用。 1即时训练1.(多选)已知函数fx)=ln2x+12x-1,则下列说法正确的是( ~ A. fx)为奇函数 B. fx)为偶函数 C. f[x)在alvs4allcol(f(12),+o)上单调递减 D. f)的值域为(一,0)U(0,+o) 答案:ACD 解析:fx)=ln2x+12x-1,令2x+12x-1>0,解得x>12或x<-12,..fx)的定义域 als4allcol(-o,-f(12)Uavs4lalcol(f(12),+co),又f-x)=ln-2x+1-2x-1=ln 2x-12x+1=lnavs4allcol(f(2x+12x-1)-1=-ln2x+12x-I=-fx),..fx)为奇函数, 故A正确,B错误;又fx)=ln2x+12x-I=ln avs4lallcol(1+f(22x-l),令t=1+22x-l ,t0且t1,.'.y=lnt,又t-1+22x-I在ialvs4lallcol(f(l2),+o)上单调递减,且y=lr t为增函数,..fx)在avs4lallcolf12),+o)上单调递减,故C正确;fx)的值域是(- 0)U(0,+),故D正确. 2. 已知函数fx)-lnx一a+a(a>0)在[1,e2]上的最小值为1,则a的值为 答案:1 解析:由题意得lnxe[0,2,当a2时,fx)=2a-lnx在[l,e2]上单调递减,..f(x)的最小 学科网书城 _ 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxkcom_ 您身边的互联网+教辅专家 值为ffe)=2a-2=1,a=32<2,不符合题意;当0<a<2时,fx)=2a-lnx,xe/l,ea),lnx, xElea,e2,)fx)在[l,e]上单调递减,在[e,e]上单调递增,./x)的最小值为ffe}-a=1 ,符合题意,综上,a-1. 课时作业 一、单项选择题 1. 已知x:v为正实数,则( _。 A. lg(2y)-(lgx)2+lgy B. lg(xy)-lgx+I2lgy C.eh:+lny-x+y D.ehx-hy-xy 答案:B 解析:x,y为正实数,lg(r2y)=lg x2+lgy=2lgx+lgy,故A错误;lg(xy)=lgx+lgy=lgx +12lgy,故B正确;ehnx+lny-ehx·ehy-xy,故C,D错误.故选B 2.已知/()-lgx,则f2)-( ) A. lg2 B. lg32 C.lg132 D.15lg2 答案:D 3.(②025山东泰安模拟)在同一直角坐标系中,函数y=lax,y=loglalvs4allcol(x十 f72)(a0,且a1)的图象可能是( ) #### D 答案:B 解析:函数y=Iax,y=log。alvs4lallcol(t十f(12))的图象过的定点分别是(0,1), als4allcol0f(12),0),当a1时,由复合函数单调性可知y=Iax,y=log)ays4lallcol(x+ f(12))分别单调递减、单调递增;当0<a<l时,由复合函数单调性可知y=lax,y-log alvs4allcol(x十ff12)分别单调递增、单调递减,对比选项可知,只有B符合题意,故选B 4. 若log23<1(a>0,且a字1),则实数a的取值范围是( A.lalvs4lallcol(0, j(23) B.aivs4lalcol(0f(23), +o_ C.alvs4lalcol(f(23),1)U(1,+~) D.alvs4allcol(0,23)U(1,+o) 10