第3章 第5讲 指数与指数函数-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第5讲 指数与指数函数 n) 课程标准/1通过对有理数指数幂a(a>0,且a≠1：m,n为整数，且m>0)、实数指数 幂a(a>0,且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质2 了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念3能用描点法或借助计算工具画出具体指数 函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点， 基础知识整合 知识梳理 1.根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果sup1(01=a,那么x叫做a的n次方 n>l,且n∈N 根 当n为奇数时，正数的n次方根是一个】 sp102正数，负数的n次方根是一个 na 零的n次方根是零 sp1103)负数 当n为偶数时，正数的n次方根有spl04)两 ±na(a>0) 负数没有偶次方根 个，它们互为spl05)相反数 2.分数指数幂 0a”=n106nmo>0,m,n∈N,m>1). -n) (2)a =slupl(07)la=suupl(08)1"am(a>0,m,nEN',n>1). (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3.有理数指数幂的运算性质 (1)a'a=supl(09)aa-0,r,sEQ). (2(a)=supluoa"(a0,r,seQ). (3)(aby=isupl(lla'b"(a-0,b>0,rEQ). 4.指数函数的概念 函数spl12y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R,a是 底数 说明：形如y=k,y=a+气k∈R,且k≠0,0，且a≠1)的函数叫做指数型函数， 5.指数函数的图象和性质 学科网书城围 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 底数 a>1 0<a<l 图象 = 0 定义域 R 值域 supl(130,+o∞】 定点 过定点swpl140,1D,即x=0时，y=1 性质 函数值的 当x>0时，y>l;当x<0时，0 当x0时，0y<1;当x0时，y 变化 y<1 >1 单调性 splL5)增函数 sp116)减函数 对称性 y=a与y=aws4 allcol(1ax的图象关于y轴对称 知识拓展 1.(nay=a(n∈N*且n>1). 2.nam=a,n为奇数且n>1,avs4 alcol(a,a≥0，-a,a<0,)n为偶数且n>1 3.底数对函数y=a(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2a>a),不论是a>1,还是0 <a<1,在第一象限内底数越大，函数图象越高。 底数 双基自测 1.(人教A必修第一册习题4.1T1改编)化简416c840,y0)得() A.2xy B.2xy C.4x2y D.-22y 答案：D 解析：因为x0,y0,所以416r84=424(x2)4y4=|22=一2xy 2) 2.(人教A必修第一册习题41T改编)已知5m=10,5=2,则5=(） A.210 B.310 C.20 D.510 答案：D 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ) 解析：5 =53m52n)=(5m)3(5n)2)=10322)=52×10=510. 3.(人教A必修第一册习题4.2T6改编)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大 小关系为( A.ca-b B.cb-a C.a-b-c D.b-a-c 答案：D 解析：因为指数函数y=1.01是增函数，又0.60.5，所以1.010.61.0105，故b>a.因为幂函数 y=x0.5是增函数，又1.01>0.6，所以1.01050.605，故a>c所以b>a>c故选D 4.函数)=c-2026+2026(a>0,且a≠1)的图象过定点A,则点A的坐标为 答案：(2026,2027) 解析：令x一2026=0，得x=2026,又(2026)=2027，故点A的坐标为(2026,2027) 5.已知函数x)=a(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2,则a的值为 答案：12或32 解析：当0<a<1时，a-a2=a2,∴.a=12:当a>1时，a2-a=a2,∴a=32.综上所述，a =12或32. 核心考向突破 考向一 指数幂的运算 例①求值与化简： 3) 2) -4) (1)8×100 ×lavs4 alcol0f14)-3×iaws4 allcol(1681) 3)2)2)3) (2 (ab-1)-a-b5ab.5(a0,b>0): 2) (3)3ara-3)÷33al3(a>0): 2).-2) (4已知a>0,a十a =3,求a2十a-2+1a十a-1+1的值. 解：0原式=2四3》×0网2)×2x到》0 bilcrcl -4) =22×10-1×26×1 alvs4 alcol(f(23))-3=4325. e原式-3)22)36)6g-ba-ba=a3)-2)-6,2+3)-0=1a 3 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 2)-2)3)-3)3)2) 3) (3)原式=(aa)÷(aa)=(a÷(a2 2 =a÷a=1 2).-2) (4)将a+a =3两边平方，得a+a-1+2=9,所以a十a1=7 将a+a1=7两边平方，得2+a2+2=49, 所以a2+a-2=47, 所以a2+a-2+1a+a-1+1=47+17+1=6 【触类旁通】指数幂运算的一殷原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算， (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (③)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数。 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. (⑤)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一， 目即时训练y1.avs4 alco10r(36a9j4alvs4alco1(r(63a叨4= 答案：d 6)3)3)6) 解析：原式=[(a)]HI(a)4=a2·a2=a4 2.已知3a+2b=1,则9a3动3a)= 答案：3 解桥：因为3a+2b=1,所以a+b=12,所以原式=2》(32)06(30)=3+6-2。-32) a+6=32 =3 3) 2) 3.计算：0.027 -lalvs4lallcol(f17))-2+lalvs4allcol(29(79))-(2-1)0. -3) 解：原式=(0.33) -7p+as4alco10f259)-1=103-49+53-1=-45. 4)2)3)3) 4.化简： a3b2 r(3ab2)(ab)4a-b(a-0,b-0). 解：原式=33)2)3)3) (a3b2ab)ab2a-b =g2060-1+3》.6*3)-13》=b-1=ab 9 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 考向二指数函数的图象及其应用 例21)（多选）已知实数a,b满足等式20250=2026，则下列关系式有可能成立的是( A.0b<a B.a<b<0 C.O<a<b D.a=b 答案：ABD 解析：在同一坐标系下画出y=2025与y=2026的大致图象，结合图象可知A,B,D可能 成立.故选ABD 3=2026 1=2025 (2)若直线y=2a与函数y=ar一1I(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 答案：aws4alco1(0,y12) 解析：①当0<a<1时，y=|d一1川的图象如图1.因为y=2a与y=a一1川的图象有两个交点， 所以02a<1,所以0<a<12;②当a>1时，y=|a-1的图象如图2，而此时直线y=2a不可 能与y=la一1的图象有两个交点.综上，a的取值范围是avs4acol(0,fl2) 【触类旁通！处理指数图象问题的策略 (①)抓住特殊点 指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1)，与直线x=1的交点坐标为1，a). (2)巧用图象变换 常见的变换有：①函数y=r+(a>0,且a≠1)的图象可由指数函数y=a'(a>0,且a≠1)的图 象向左(b>0)或向右b<0)平移b个单位长度得到： ②函数y=a+b的图象可由指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b0)平移 b个单位长度得到： ③函数y=d的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y=a(a>0,且a≠1)在 [0,+∞)上的图象相同：当x0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称 目即时训练1.(2025吉林长春模拟)已知函数)=(c一ac一b)a>b)的图象如图所示，则 函数gx)=十b的图象是(】 学科网书城围 品牌书店·知名教辅·正版资源 15.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 答案：A 解析：由图象可知，b<一1,0<a<1,所以函数gx)=m十b是减函数，g(0)=1十b<0,所 以A符合，故选A 2.定义区间[，)的长度为，一已知函数y=2的定义域为，b],值域为[1,2]， 则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为() A12 B.1 C.32 D.2 答案：B 解析：如图是函数y=2在值域为1,2]上的图象.使函数y=2的值域为[1,2]的定义域区 间中，长度最小的区间为一1,0]或[0,1，长度最大的区间为一1,1]，从而由定义可知区 间[a,b的长度的最大值与最小值的差为2一1=1.故选B. 考向三 指数函数的性质及其应用多角废探究突破 角度1比较指数式的大小 3) .5) 例30)已知a=2,b=4 3) ,c=25,则() A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 答案：A 解析：因为a=2 》-4》45》=b.=25》=3》43》=a所以 (22025·辽宁沈阳模拟)若p:0<a<b:9:4e-4<5-a-5-6,则p是g的() 6 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：设)=4华-5一￥，则函数)为增函数，则由4如一45-a-5一b,即44-5a<4中-5一b 可得a<b,所以0<a<b是40一4的<5-4一5-b的充分不必要条件.故选A 【触类旁通】比较指数式大小的方法 比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指. ()当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小. (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小，或构造同一幂函数， 然后利用幂函数的性质比较大小， (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较 目即时训练1.下列各式比较大小正确的是( 3)。-3) A.1.725>1.73 B.alvs4lalcol(f(12))<2 4) C.1.70.30.931 D.awvs4alcol(f(23)) <avs4alcol(f34 答案：D 解析：=17为增函数，1717乃，故A不正碗：23 3) =laws4lalicol(f12)),y 3) 3)-3) =aws4 alcol0f12x为减函数，∴.avs4 alcol(f(12)>avs4 al colff12)=2 故 B不正确：，1.703>1，而0.93.1∈(0,1)，.1.70.3>0.931，故C不正确y=1 4) 3) x为减函数，.∴alvs4 al col0f23)<avs4 alcol(f23) 3) ,+o∞)上单调递增，∴.aws4 alcol0f23) <alvs4alcol(f(34)) 3) 4) 3) 3) avs4 alcol23)<aivs4 alcol/23)<aws4 alcol0y34),故D正确. 2.设12<aws4aco1f12b<aiws4 alcol(f12a<l,那么() A.acab ba B.acbacab 7 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.ab<acba D.ab baca 答案：C 解析：，12<avs4 alcol0f12)b<iavs4 alcol(f12/a<1且y=alvs4alco1(f12x在R上是 减函数，0<a<b<1,∴.指数函数y=心在R上是减函数，aP<,∴.幂函数y=x在R上 是增函数，∴.a<b,∴.<<b故选C 角度2解简单的指数方程或不等式 例4Q若x满足不等式22+1≤1avs4acol014r一2，则函数y=2x的值域是() A.f18),2) B.f18),2) C.\aws4alcol(-o,f(18)) D.[2,+∞) 答案：B 解析：将22+1≤avs4 alcolt014x-2化为x2+1≤-2x-2),即x2+2xr-3≤0，解得x ∈[一3,1】，所以2-3≤2≤21，所以函数y=2的值域是18)，2. (2)已知实数a≠1，函数x=4在，x≥0,2a一x,x<0,)若1-a0=fa-1),则a的值为 答案：12 解析：①当a<1时，由1-a)=fa-1),得41-a=2a-a-),即22-2a=2,所以2-2a=1, 解得a=12;②当a>1时，由f1-a)=fa-1),得29-1-a)=49-1,即22a-1=22a-2,所以2a-1 =2a-2,无解.综上可知，a=12 【触类旁通 1.解指数方程的依据 a)=aea>0,且a≠1)台x)=gx). 2.解指数不等式的思路方法 对于形如a>a(a>0,且a≠1)的不等式，需借助函数y=产的单调性求解，如果a的取值不 确定，则需分a>1与0a<1两种情况讨论：而对于形如>b的不等式，需先将b转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y=:的单调性求解。 目即时训练1.(2025广东惠州联考)已知集合A={W=一x2+1},B={x9<3},则AnB =() A.0 B.xlblcinalvs4 alcol在<-f2 C.xble(aivs4allcol>-(12))))D.xblcll(alvs4alcol(-(12)<xs1))) 答案：D 解析：因为x2≥0，所以一x2+1≤1，所以A=y≤1}，又因为9-<3→3-23台-2 <I→x>-12,所以B=xb1lc(avs4 alcol(x>-f12,所以AnB=xbllclnalvs4 alcol(-\ f12<x≤I).故选D 2.方程4+1-2=11的解为 8 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 答案：x=log23 解析：当x≥0时，原方程化为4+2-12=0，即(22+2-12=0，.(2一3(2+4)=0， 2=3,即x=1og23;当x<0时，原方程化为4一2-10=0，令1=2，则2-1-10=0 (0<1<1),由求根公式，得1=41)2，均不符合题意，故当x<0时，方程无解.综上，原方程的 解为x=log23 角度3指数函数性质的综合应用 例5Q(多选)2025山东临沂模拟)已知函数f)=22x-1+a(a∈R),则(） A.x)的定义域为（一，0）U(0,十∞) B.x)的值域为R C.当a=1时，fx)为奇函数 D.当a=2时，-)十)=2 答案：ACD 解析：对于函数x)=22x一1+a(a∈R),令2一1≠0，解得x≠0，所以x)的定义域为（一四 ,0)U(0,+∞)，故A正确；因为20，当2-1>0时，22x-1>0,所以22x-1十a>a,当 -1<2x-10时，22x-1<-2,所以22x一1+a<-2+a.综上可得，x)的值域为（一o,-2 +a)U(a,+∞)，故B错误；当a=1时，x)=22x一1+1=2+12x-1,则一x)=2一x+ I2一x一1=一2x十12x一1=一fx),所以fx)=22x一1+1为奇函数，故C正确：当a=2时， f)=22x-1+2=2x+12x-1+1,则f-x)+fx)=2x+12x-1+1+2-x+12-x-1+1=2, 故D正确，故选ACD (2)已知函数fx)=avs4 alcol013)a2-十3(aeR).若a=一1，则函数x)的单谓递增 区间为 ；若的值域是(0，十∞)，则a=一： 答案：【-2，十∞)0 解析：当a=-1时，fx)=avs4 allcol(f(13)-x2-+3,令gx)=-xr2-4r+3,由于gr) 在（一∞，一2]上单调递增，在(-2，+o)上单调递减，而y=avs4 allcol(03t在R上单 调递减，所以x)在（一∞，一2]上单调递减，在[一2，十∞）上单调递增，即函数x)的单调 递增区间是[一2，+∞).令hx)=a2-4x十3，xw)=aws4 alcol(f13)h(x),由指数函数 的性质知，要使f)=aws4alco10f13)h(x)的值域为(O,+co),应使hx)=2一4x+3 的值域为R,因此只能a=O(因为若a≠O,则x)为二次函数，其值域不可能为R),故x) 的值域为O,十o时，a的值为0 【触类旁通】指数函数综合问题的处理策略 ()涉及最值（或值域）的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值。 (2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助 “同增异减”这一性质分析判断。 9 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.2ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 目即时训练>1.2023新课标I卷)设函数9=24-在区间(0，)上单调递减，则a的取 值范围是( A.(-∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 答案：D 解析：函数y=2在R上单调递增，而函数fx)=2一@在区间(0,1)上单调递减，则函数y =xx-a)=avs4alco1k一fa22-a24在区间0,1)上单调递减，因此a2≥1，解得a≥2， 所以a的取值范围是[2，十∞).故选D 2.已知函数x)=4-2+2-1,x∈[0,3]，则其值域为 答案：[-5,31] 解析：令t=2,,x∈[0,3]，.1≤t≤8，…g(0=2-4t-1=(t-2)2-5,1∈[1,8，又y g0的图象关于直线t=2对称，开口向上，∴g(0在[1,2)上单调递减，在(2,8)上单调递增， 且8一22-1川，∴.当=2时，函数取得最小值，即g(0,=一5，当=8时，函数取得最大 值，即g()=31,fx)的值域为-5,31] 课时作业 一、单项选择题 1.化简2c3a81a5b216c4(a0,c0)的结果为) A.±4ab2 B.-4ab2 C.-ab2 D.ab2 答案：B 4) 4) 解析：原式=2c3aavs4acol0f81a5b216c4) =2c3aavs4 allcol(f(34a5b224c4))=2c3a 4) 3a(ab2)一2c=-4ab2.故选B 2.(2025陕西商洛模拟)已知集合A=1<2-1<2},B={y=一x2+3x-2},则AUB=() A.{x1≤x≤2} B.xblcl(aivs4alcol(Is:<(32)))) C.xb el(avs4allcol(f(32)<x32)))D.xble(avs4allcol(1<x<32)))) 答案：A 解析：因为A=xibilc(alvs4 al col(0x一1<fI2)=xbucll(aws-4 alcol1<x<32,B= x-x2+3x-2≥0}=x1≤x≤2}，所以AUB=x1≤x≤2}.故选A 3.函数y=rcx的图象大致是() 10