第3章 第4讲 二次函数与幂函数-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第4讲　二次函数与幂函数

通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．

　幂函数

(1)定义：函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

1．幂函数图象的特征

(1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)．

(2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．

2．幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限内图象的画法

(1)当α<0时，其图象可类似y＝x－1画出．

(2)当0<α<1时，其图象可类似y＝x画出．

(3)当α>1时，其图象可类似y＝x2画出．

3．二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况

(1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f.

(2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．

1．(人教A必修第一册复习参考题3 T5改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝(　　)

A．－9   B．9 

C．3   D．－3

答案：B

解析：因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，所以2α＝4，α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－3)＝(－3)2＝9.故选B.

2．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上(　　)

A．是增函数   B．是减函数

C．先减再增   D．先增再减

答案：B

解析：∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，则y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数．

3．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．

答案：[－1，3]

解析：∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3，∴所求函数的值域为[－1，3]．

4．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________．

答案：－1

解析：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α<0，故α＝－1.

5．(人教B必修第二册4.4例1改编)比较下列各题中两个值的大小．

(1)1.70.9________1.80.9；

(2)(|a|＋3)－________3－.

答案：(1)<　(2)≤

解析：(1)因为幂函数y＝x0.9在[0，＋∞)上单调递增，且1.7<1.8，所以1.70.9<1.80.9.

(2)因为幂函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，且|a|＋3≥3，所以(|a|＋3)－≤3－.

 

考向一　幂函数的图象与性质

(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)

A．d>c>b>a   B．a>b>c>d

C．d>c>a>b   D．a>b>d>c

答案：B

解析：由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B.

(2)(2025·河北衡水模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　)

A．m＝4   B．f(x)是减函数

C．f(x)是奇函数   D．f(x)是偶函数

答案：C

解析：因为函数f(x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1，当m＝4时，f(x)＝x4在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意，当m＝－1时，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，满足题意，故m＝－1，f(x)＝x－1，故A错误；函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，故B错误；因为函数定义域关于原点对称，且f(－x)＝