第3章 第4讲 二次函数与幂函数-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第4讲二次函数与幂函数 课程标准通过具体实例，结合y=,y=x1,y=x之，y=xl2,y=x3的图象，理解它们 的变化规律，了解幂函数 基础知识整合 知识梳理 幂函数 (I)定义：函数s up1(01ly=x“叫做幂函数，其中x是自变量，4是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，十∞)上都有定义： ②当a心0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(O,0),且在(0，十∞)上单调递增： ③当a0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，十∞)上单谓递减. 知识拓展 1.幂函数图象的特征 (1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）， (2)在(1，+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 2.幂函数y=x“(a∈R)在第一象限内图象的画法 (I)当a<0时，其图象可类似y=x-1画出. (2)当0<a<1时，其图象可类似y=x12画出. (3)当心1时，其图象可类似y=x2画出， 3.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：fx)=a2+bx十c(a≠0). (2)顶点式：x)=a(r-m)2+n(a≠0). (3)两根式：fx)=a(x-)x一x2)(a≠0). 4.设)=ar2+bx+c(a>0),则二次函数在闭区间[m,n上的最大、最小值的分布情况 (1)若-b2a∈[m,n,则fxmr=maxm),fn)},x)nin=favs4 alcol(-yb2a) 1 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)若-b2ae[m,川j,则fx)m=maxfm),fn)},x)mn=min{fm,nm)}. 双基自测 1.(人教A必修第一册复习参考题3T5改编)已知幂函数)=x的图象经过点(2,4)，则f (-3)=( A.-9 B.9 C.3 D.-3 答案：B 解析：因为幂函数fx)=x“的图象经过点(2,4)，所以2a=4,a=2,所以x)=x2,所以f (-3)=(-3)2=9.故选B 2.若函数y=与y=一bx在(0，十∞)上都是减函数，则y=a2十bx在(0，+∞)上() A.是增函数 B.是减函数 C.先减再增 D.先增再减 答案：B 解析：，函数y=m与y=-bx在(0，十∞)上都是减函数，∴.a<0,b<0,则y=a2+bx的图 象开口向下，对称轴为直线x=一b2a<0,∴y=2+bx在(0，+∞)上是减函数. 3.函数gr=x2-2x(x∈[0,3D的值域是 答案：[-1,3] 解析：：g)=(c-1)2-1,.g()min=g1)=一1，gr)mw=g3)=3,.所求函数的值域为 [-1,31. 4.已知a∈-2，-1，-f(112),1,2,3.若幂函数f)=x“为奇函数，且在(0，十∞)上单 调递减，则a= 答案：一1 解析：，幂函数x)=xa为奇函数，∴.a可取一1,1,3，又fx)=x“在(0，十∞)上单调递减 ,∴.a<0,故a=-1 5.(人教B必修第二册4.4例1改编)比较下列各题中两个值的大小， (1)1.70.9 1809 -2) 2) (21a+3) 3 答案：(1)水(2)≤ 解析：(1)因为幂函数y=x0.9在0，十∞)上单调递增，且1.7<1.8，所以1.70.9<1.84.9 2咽为幂函数)=一12在0，十)止单调递减，且d+3≥3.所以0+3》2)≤32) 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 核心考向突破 考向一幂函数的图象与性质 例①（①若四个幂函数y=,y=,y=,y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所 示，则a,b,c,d的大小关系是( A.dob-a B.a-b>c-d C.dc-a-b D.ab-d-c 答案：B 解析：由幂函数的图象可知，在(O,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图 知a>b>c>d.故选B (22025河北衡水模拟)幂函数fx)=(0m2一3m一3在(0，+∞)上单调递减，则下列说法正 确的是() A.m=4 B.x)是减函数 C.x)是奇函数 D.x)是偶函数 答案：C 解析：因为函数x)=(m2-3m-3)am为幂函数，则m2-3m一3=1，解得m=4或m=一1， 当m=4时，)=x4在(0，十)上单调递增，不满足题意，当m=一1时，x)=x-1在(0， 十∞)上单调递减，满足题意，故m=一1，x)=x一1，故A错误；函数x)=x-1在(-∞， 0)和(O,十∞)上单调递减，但不是减函数，故B错误：因为函数定义域关于原点对称，且f (一)=1一x=一x),所以函数fx)是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选C (3)若(a+1)-2>(3-2a)-2,则a的取值范围是 答案：(-o,-1)Uavs4alco1(-1,y23U(4,+o) 解析：因为(a十1)一2>(3-2)-2，又x)=x-2为偶函数，且在0，十∞)上单调递减，所以 a十1<3-2a,a十1≠0,3-2a≠0，解得a<23且a≠-1或a>4,即a的取值范围为(- o∞，-1)Uavs4 alcol(-1,y23)U(4,+o). 【触类旁通】幂函数的性质与图象特征的关系 (I)幂函数的形式是y=x“(a∈R),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析 式 (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”）：在区间 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (1,+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. (3)当a>0时，幂函数y=x“在(0，十)上单调递增；当a<0时，幂函数y=x“在(0，十∞) 上单调递减。 目即时训练1.(2025四川南充模拟)已知函数x)的图象如图所示，则)的解析式可能是 () 2) -2) A.y=x B.y=x 3) C.y=x3 D.y=x 答案：D 2) -2) 解析：对于A,函数y=x=x的定义域为[O,十∞)，故A不符合题意：对于B,函数y=x =I的定义域为(0，+∞)，故B不符合题意：对于C,函数y=x3的定义域为R,又y= x3为奇函数，且y=x3的图象在0，十∞)上下凸递增，故C不符合题意：对于D,函数y= 3) 3) 3) x=3x的定义域为R,又y=x为奇函数，且y=x的图象在(0，+∞)上上凸递增，故D 符合题意，故选D 2) 4) 4) 2.a=lals4alicol(f(34)),b=lalvs4alcol(f(43),c=lalvs4alcol(f23)),a, b,c的大小关系是() A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a 答案：A 2) 4) 4) 解析：a=lavs4 alcol(f34)-=las4alco10y916)<1,b=avs4alco1f43)>1, g=as4aa1023》)=as4alao107827列D<1,且0<827<16<1，函数y=x4)在0 4) 4) 4) ) ，+o∞)上是增函数，所以as4 alcol(f827》<as4alco1f916),所以c<a.综上可 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 知，c<a<b故选A 考向二求二次函数的解析式 例2若二次函数x)满足2)=一1，(-1)=一1，且x)的最大值是8，则)的解析式为 答案：x)=-4x2+4r+7 解析：解法一（利用一般式：设fx)=ar2+br+c(a≠0.由题意得4a+2b十c=一1，a-b+c =-1,4ac-b24a)=8,解得a=-4,b=4,c=7,.f)的解析式为x)=-4r2+4x+7. 解法二（利用顶点式）：设=ac一m)2十na≠0).f2)=(一1)，.抛物线的对称轴为直线 x=2+(-1)2=12,∴.m=12.又根据题意函数x)有最大值8，.n=8,.x)=a avs4alco1-12)2+8..2)=-1,.aalvs-4alco1(2-12》2+8=-1,解得a=-4, ..fx)=-4awvs4allcol(x-y(12))2+8=-4x2+4x+7. 解法三（利用两根式）：由已知)+1=0的两根为x灯=2，龙=一1，故可设x)+1=a(c一2) (+1)(a≠0)，即x)=am2-a-2a-1.又函数fx)有最大值8，即4a(一2a-1)一a24a=8, 解得a=-4,x)的解析式为x)=一4r2+4r+7 1触类旁通】确定二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式，一殷用待定系数法，选择规律如下： 三个点坐标 宜选用一般式 顶点坐标 已知 对称轴 宜逃用顶点式 最大（小）值 与x轴两交点坐标 宜选用两根式 目即时训练已知函数9)=2+bx十c,且g)=)十2x为偶函数，再从条件①、条件②， 条件③中选择一个作为已知，求x)的解析式。 条件①：函数x)在区间[一2,2]上的最大值为5： 条件②：函数x)≤0的解集为1}： 条件③：方程fx)=0有两根1，x2,且x21十x22=10 解：函数r)=x2十br十c, 则g)=x)+2x=x2+(b+2x+c, 因为gx)为偶函数，所以g(一x)=gx), 即x2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2, 所以x)=x2一2x十c,图象开口向上，对称轴为直线x=1. 5 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 若选条件①，因为函数)在区间[一2,2]上的最大值为5， 所以-2)=4+4十c=5,解得c=-3 所以)的解析式为x)=x2-2x一3 若选条件②，由函数fx)≤0的解集为1}， 可得1)=0，即1一2+c=0,解得c=1, 所以f)的解析式为x)=x2-2x+1 若选条件③，方程x)=0有两根，2，且x21+x22=10 由根与系数的关系可得十x2=2,x2=c, 又(61+x)2=x21+x22+2x2, 所以4=10+2c,解得c=-3 所以的解析式为x)=x2一2x一3 考向三二次函数的图象与性质多角度探究突破 角度1二次函数图象的识别 例3（多选）二次函数f)=2十bx十c的图象如图所示，则下列结论中正确的是( A.b=-2a B.a+b+c<0 C.a-b+c>0 D.abe<0 答案：AD 解析：由图象可知a<0,fx)图象的对称轴为直线x=一b2a=1,则b=一2a,则b>0,又f (O)=c>0,∴.abc<0,由于-1)<0，则a-b+c<0,由于1)>0，则a+b+c>0.故选 AD. 触类旁通引 识别二次函数图象应学会“三看” 一看 看二次项系教的符号，它确定二次函效图象 符号 的开口方向 二看 看对称轴和最值，它确定了二次函数图象 对称轴 的具体位置 三看 看函数图象上的一些特殊点，如函数图象 特殊点 与y轴的交点、与x轴的交点、函数图象的最 高点或最低点等 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.2ZXXk.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 目即时训练 ”一次函数y=a十b(a≠0)与二次函数y=2+bx十c在同一坐标系中的图象 可能是() 答案：C 解析：若a>0,则一次函数y=m十b为增函数，二次函数y=2+bx十c的图象开口向上， 故可排除A;若a<0,一次函数y=a十b为减函数，二次函数y=a2+bx十c的图象开口向 下，故可排除D;对于B,看直线可知a>0,b>0,从而-b2a<0,而二次函数图象的对称 轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C 角度2二次函数的单调性 例④(Q)己知函数)=x+1在R上单调递减，则函数g)=a(x2-4x+3)的单调递增区间 为) A.(-2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞，2) D.(-∞，-2) 答案：C 解析：由函数x)=+1在R上单调递减，可知a<0,g(x)=a(ax2一4x+3)的图象开口向下 ,对称轴为直线x=2,∴.函数gx)的单调递增区间为（一∞，2）.故选C (2)若二次函数x)=2+bx十c(a<0)满足1)=3)，则下列不等式成立的是() A.1)4)2) B.4)术1)2) C.4)2)1) D.2)4)1) 答案：B 解析：因为1)=3)，所以二次函数x)=a2+bx十c图象的对称轴为直线x=2,又因为a <0,所以x)在[2，+∞)上单调递减，所以4)3)2)，又1)=3)，所以4)1)2).故 选B 1触类旁通 1.决定二次函数单调性的两个关键因素 开口 二次函数的图象是批物线， 方向 二次项系数大于0时开口向上 二次项系数小于0时开口向下 抛物线是轴对称图形，对称轴两侧单调 对称 性相反，开口向上时左减右增，开口向 物 下时左增右减 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 2.利用二次函数单调性比较大小的两个常用方法 (1)利用对称轴一侧的单调性比较大小 确定二次函致图象的对称轴和开口方向 判断自变量在对称轴同侧或异侧 在同侧，根据增减性直接得到西数值的大小 关系：在并侧，利用对称性化“异”为“同“ (②)利用图象中对应点的高低关系比较大小 当抛物线开口向上时，离对称轴越远（或越近）的点，位置越高（或越低），这个点的纵坐标越大 (或越小)：当抛物线开口向下时，离对称轴越远（或越近）的点，位置越低（或越高），这个点的 纵坐标越小（或越大）， 目即时训练（多选）定义在R上的函数)=一x3+m与函数g)=)十3+2-a在[一1 ,1]上具有相同的单调性，则k的取值可以是() A.1 B.32 C.2 D.3 答案：CD 解析：易知x)=一x3十m在R上单调递减.依题设，函数g)=x2一a十m在[一1,1]上单 调递减，所以函数gx)图象的对称轴为直线x=2≥1，则k≥2.故k的取值可以是2,3 角度3二次函数的最值问题 例5设a为实数，函数f)=2x2+(c-a)一a (1)若0)≥1，求a的取值范围： (2)求)的最小值 解：(1)若f0)≥l,则-d-a≥1， 显然a0,则-a(-a≥1，即a2≥1， 解得a≤一1， 所以a的取值范围为（一∞，一1] (2)当x≥a时，fx)=22+(x-a2=3x2-2am+a2, 此时f)的图象开口向上，对称轴为直线x=a3, (i)当a3≤a,即a≥0时，fx)在a,+o)上单调递增，此时fx)mm=fa)=2a2 (i)当a3>a,即a<0时，x)在a,fa3)上单调递减，在fa3,十o上单调递增，此时f (x)min-favys4 alcol(fa3))=3aws4allco1(f(a3))2-2a-a3+a2=23a2. 当x≤a时，x)=2r2-(x-a)2=x2+2a-a2, 此时x)的图象开口向上，对称轴为直线x=一a, 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ①当一a<a,即a>0时，fw)在(-o∞，一a上单调递减，在(-a,a上单调递增，此时xmm =-a）=-2a2; ②当一a=a,即a=0时，fx)=x2,x)在(-o,0]上单调递减，此时)min=0=0; 由①②得，当a≥0时，x)m=-2a2 ③当-a>a,即a0时，fx)在(-o,ad上单渊递减，此时xr)m=fa)=2a2 综上，当a≥0时，因为2a2≥-2a2, 所以fx)min=-2a2； 当a<0时，因为2a2>23a2, 所以jx)mm,=23a2 故x)min=-2a2,a20,23a2,a<0. 【触类旁通】二次函数最值问题的类型及求解策略 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定：③对称轴定、区间变动. (2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称 轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 目即时训练(2025江苏宿迁模拟)已知函数x)=42-4ax+a2-2a+2 (1)若a=2,求函数x)在区间（一1,2）上的值域 (2)若函数x)在区间[0,2]上有最小值3，求a的值 解：(1)若a=2,则x)=4x2-8x+2=4x一1)2-2，图象开口向上，对称轴为直线x=1, 函数x)在区间（一1,1）上单调递减，在(1,2)上单调递增， ∴.fx)m=1)=-2,fx)-1)=14。 .函数在区间（一1,2）上的值域为-2,14) (2)x)=4as4 alcolx-a2)2-2a+2,图象开口向上，对称轴为直线x=a2, ①当a2≤0，即a≤0时，函数f)在[0,2]上单调递增， .'.fx)min=f0)=a2-2a+2, 由a2-2a+2=3,得a=1±2， a≤0，.a=1-2 ②当0<a22,即0<a4时，fx)min=faws4 alcol(fa.2)=-2a+2, 由-2a十2=3，得a=-12在(0,4)，舍去. ③当a2≥2，即a≥4时，函数x)在[0,2]上单调递减， ∴.fx)am=f2)=a2-10a+18, 由a2-10a+18=3,得a=5±10， a≥4，.a=5+10. 综上所述，a=1-2或a=5+10 9 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 角度4与二次函数有关的恒成立问题 例6已知两函数)=82+16-k,g)=22+4x+4,其中k为实数. (I)对任意x∈[一3,3]，都有x)≤g(x),求k的取值范围： (2)存在x∈[一3,3]，使x)≤gx)成立，求k的取值范围 (3)对任意x1,∈[一3,3]，都有x)≤gx2),求k的取值范围. 解：(1)设x)=fx)-gx)=62+12x一4-k,问题转化为当x∈[-3,3]时，h)≤0恒成立， 故h(x)mx≤0 由二次函数的性质可知hx)mx=h(3)=86一k, 由86一k≤0，得k≥86，即k的取值范围为86，十∞) (2)由题意，存在x∈[一3,3]，使fx)≤gx)成立，即hx)=x)一gx)=6x2+12x-4-k≤0在 x∈[-3,3]上有解，故hx)mn≤0， 由二次函数的性质可知hxm=(一1)=一10一k, 由一10一k≤0，得k≥一10，即k的取值范围为一10，十∞). (3)对任意1，x∈[-3,3]，都有f)≤g2), 所以fx)m≤gx)mn'x∈[-3,3]. 由二次函数的性质可得f)mx=3)=120一k,gxmm=g(一1)=2 由120一k≤2，得k≥118，即k的取值范围为[118，十∞). 【触类旁通】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ()一般有两个解题思路：一是分离参数：二是构造新函数： (②)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否己分离.这 两个思路的依据是：a≥x)恒成立台a≥xm,a≤x)恒成立台a≤x)mm 目即时训练已知二次函数x)的最小值为3，且1)=3)=5 (1)求x)的解析式： (2)若y=x)的图象恒在直线y=2x十2m十1的上方，求实数m的取值范围. 解：(1)根据题意，得二次函数x)图象的项点坐标为(2,3)， 设fx)=ax-2)2+3,然后把点(3,5)代入得a=2, .fx)=2x-2)2+3=2x2-8x+11 (2y=f的图象恒在直线y=2x+2m+1的上方一fx)一(2x+2m+1)>0恒成立， 令gw)=22-8x+11-(2x+2m+1)=2r2-10x+10-2m, 若gx)=22-10x+10-2m0恒成立， 则☑=（一10）2-4×2×(10-2m)0,解得m<-54,即实数m的取值范围为avs4alc01(-o, -54》 10