第3章 第3讲 函数的奇偶性、周期性、对称性-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第3讲　函数的奇偶性、周期性、对称性 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.3.能综合运用函数的奇偶性、周期性、对称性解决问题． 1．函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 图象特点 关于原点对称 关于y轴对称 2.函数的周期性 (1)周期函数 设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数． 2．周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)． 1．(多选)下列给出的函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝sinx 答案：ABD 解析：对于A，B，D中的函数，定义域均关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，故均是奇函数；对于C，f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1≠－f(x)，故不是奇函数．故选ABD. 2．(人教B必修第一册习题3－1B T8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B. C. D．－ 答案：B 解析：显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝. 3．(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________． 答案：[－5，－2)∪(2，5] 解析：由题中图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]． 4．(人教A必修第一册习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝ 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝ 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2027)＝________． 答案：－1 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2027)＝f(－1＋4×507)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 考向一　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝(x－1)； (4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (5)f(x)＝. 解：(1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)解法一(定义法)：易知f(x)的定义域为R. 当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝f(x)； 当x＝0时，f(0)＝－1，满足f(－x)＝f(x)； 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1＝f(x)． 综上可知，∀x∈R，f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 解法二(图象法)： 作出函数f(x)的图象，由偶函数的图象关于y轴对称的特征知函数f(x)为偶函数． (3)令≥0，解得x≤－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (5)由1－x2≥0，得－1≤x≤1，所以x＋2>0， 所以f(x)＝，定义域为[－1，0)∪(0，1]． 所以f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 　1.已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 答案：C 解析：易知f(x)＝sinx是奇函数，g(x)＝ex＋e－x是偶函数，|f(x)|＝|sinx|，|g(x)|＝|ex＋e－x|都是偶函数，所以f(x)·g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，A，B错误，C正确；|f(x)g(x)|＝|sinx(ex＋e－x)|，|f(－x)·g(－x)|＝|sin(－x)(e－x＋ex)|＝|sinx(ex＋e－x)|＝|f(x)·g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，D错误．故选C. 2．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 答案：B 解析：解法一：因为f(x)＝＝－1＋，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B. 解法二：因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.对于A，令F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，其定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函数；对于B，令G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，其定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故G(x)为奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－1＝－，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B. 考向二　函数奇偶性的应用 (1)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：D 解析：因为函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，所以f＝－f＝－＝－.故选D. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案：B 解析：解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝xln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 解法二：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B. (3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________． 答案：－1　－2－x－2x＋1 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1. 　已知函数奇偶性可以解决的四个问题 求函数值 利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出 求参数 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数 画图象 利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题 　1.(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A．－2 B．2 C．1 D．－1 答案：A 解析：当x<0时，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋2(－x)2]＝x3－2x2，通过对比系数得a＝－2.故选A. 2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2×3x，则函数f(x)＝________． 答案：3x＋3－x 解析：因为f(x)＋g(x)＝2×3x，所以f(－x)＋g(－x)＝2×3－x，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2×3－x，则两式相加，得2f(x)＝2×3x＋2×3－x，所以f(x)＝3x＋3－x. 3．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 答案：2 解析：显然函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 考向三　函数的周期性 (2022·新高考Ⅱ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1. (1)证明：函数f(x)为周期函数； (2)求f(k)． 解：(1)证明：令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可得f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数． (2)令x＝y＝1，可得f(2)＝[f(1)]2－f(0)＝1－2＝－1，令x＝2，y＝1，可得f(3)＝f(2)·f(1)－f(1)＝－1×1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. 　函数周期性的判断与应用 　1.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝且f(0)＝2，则f(2026)＝________． 答案： 解析：因为f(x＋2)＝，所以f(2)＝＝，因为f(x＋4)＝＝＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝. 2．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则函数f(x)在[1，3]上的解析式为____________________． 答案：f(x)＝x2－4x＋5，x∈[1，3] 解析：根据题意，设x∈[1，3]，则x－2∈[－1，1]，又当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(x－2)＝(x－2)2＋1＝x2－4x＋5，又f(x)是周期为2的函数，所以f(x)＝f(x－2)＝x2－4x＋5，x∈[1，3]． 考向四　函数图象的对称性 (1)已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝3对称 D．f(x)的图象关于点(3，1)对称 答案：D 解析：由f(－x)＝，易知A，B不正确；由题意得f(2)＝，f(4)＝，故f(2)≠f(4)，故C不正确；f(x)＝，故f(6－x)＋f(x)＝＋＝＝2，故f(x)的图象关于点(3，1)对称，故D正确．故选D. (2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．4为f(x)的周期 D．y＝f(x＋4)为偶函数 答案：ACD 解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4为f(x)的周期，故C正确；∵4为f(x)的周期且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD. 　函数图象自身对称的常用结论 (1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)或f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，即f(x)＋f(2a－x)＝2b，则f(x)的图象关于点(a，b)对称． 提醒：函数图象自身对称性满足的等式与函数周期性容易混淆，区别是前者和为常数，后者差为常数． 　1.已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 答案：A 解析：设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A. 2．(2025·湖南郴州期末)已知函数f(x)＝的图象关于直线x＝b对称，则b－a＝________． 答案：3 解析：由f(x)＝，知2x－2≠0，所以x≠1，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．又因为函数f(x)＝的图象关于直线x＝b对称，所以b＝1，且f(x)＝f(2－x)恒成立，即＝＝，所以2x－a＝2－a·2x－1，整理，得(a＋2)·(2x－1－1)＝0，所以a＝－2，故b－a＝1＋2＝3. 课时作业 一、单项选择题 1．下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝lg x B．y＝ C．y＝＋ D．y＝ 答案：C 解析：函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，故A不符合题意；函数y＝的定义域为R，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，故该函数为奇函数，故B不符合题意；函数y＝＋的定义域为R，则f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，故该函数为偶函数，故C符合题意；函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数，故D不符合题意．故选C. 2．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为3，f(－1)＝2，则f(2026)＝(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 答案：C 解析：依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为3，且f(－1)＝2，则f(2026)＝f(1＋675×3)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.故选C. 3．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝(　　) A．1 B．2 C．0 D．－2 答案：B 解析：函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.故选B. 4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：C 解析：解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b为偶函数，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1.故选C. 解法二：由y＝f(x＋1)为偶函数，知y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，而y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x)＝x(x－a)＋b图象的对称轴方程为x＝＝1，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，故b＝1.故选C. 5．已知函数f(x)＝sinx＋x3＋＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 答案：D 解析：函数f(x)＝sinx＋x3＋＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－＋3＋sinx＋x3＋＋3＝－sinx－x3－＋sinx＋x3＋＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D. 6．已知函数f(x)＝2x－(x∈R)，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝2对称 B．关于点(2，0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 答案：B 解析：f(x)＝2x－24－x，则f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．故选B. 7．已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则函数f(x)的最小值为(　　) A．e B．2 C．2 D．2e 答案：B 解析：因为函数y＝f(x)＋ex是偶函数，则f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x　②，联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2.故选B. 8．(2025·山东青岛模拟)∀x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，则f(2024)的值为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 答案：B 解析：由题意知，∀x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，令x＝－1，则f(－1)＋f(2)＝1－f(－1)f(2)，所以f(2)＝1，显然当f(x)＝－1时，－1＋f(x＋3)＝1＋f(x＋3)不成立，故f(x)≠－1，故f(x＋3)＝，则f(x＋6)＝＝f(x)，即6为函数f(x)的周期，则f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝1.故选B. 二、多项选择题 9．已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以是(　　) A．g(x)＝lg B．g(x)＝3x－3－x C．g(x)＝＋ D．g(x)＝ln (＋x) 答案：BD 解析：因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．对于A，函数定义域为(－1，1)，A不符合题意；对于B，函数定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，B符合题意；对于C，函数定义域为R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，C不符合题意；对于D，函数定义域为R，g(－x)＝ln (－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln (－x)＋ln (＋x)＝0，D符合题意．故选BD. 10．已知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝x＋ B．f(x)＝ex－3＋e3－x C．f(x)＝x4－18x2 D．f(x)＝|x2－6x| 答案：BD 解析：若函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则f(6－x)＝f(x)．对于A，f(6－x)＝6－x＋≠f(x)，A不符合题意；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，B符合题意；对于C，∵f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648，∴f(0)≠f(6)，即f(6－x)＝f(x)不恒成立，C不符合题意；对于D，f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x)，D符合题意．故选BD. 11．定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2024；x不为整数时，f(x)＝0，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．∀x∈R，f(f(x))＝2024 D．f(x)的最小正周期为1 答案：BCD 解析：对于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误；对于B，若x为整数，则－x也是整数，则有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不为整数，则－x也不为整数，则有f(x)＝f(－x)＝0，综上可得f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数，B正确；对于C，若x为整数，f(x)＝2024，若x不为整数，f(x)＝0，总之f(x)是整数，则f(f(x))＝2024，C正确；对于D，若x为整数，则x＋1也为整数，若x不为整数，则x＋1也不为整数，总之有f(x＋1)＝f(x)，f(x)的周期为1，若t(0＜t＜1)也是f(x)的周期，而x和x＋t可能一个是整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x＋t)，故f(x)的最小正周期为1，D正确．故选BCD. 三、填空题 12．(2024·浙江金华一中质检)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈(－1，1]时，f(x)＝其中m∈R.若f＝f，则m的值是________． 答案：1 解析：由题意得，f＝f＝＋2×＋m＝－＋m，f＝＝，所以＝－＋m，解得m＝1. 13．(2025·浙江杭州模拟)若函数f(x)＝是R上的偶函数，则a＋b＝________． 答案：1 解析：若函数f(x)是R上的偶函数，则有即解得当时，f(x)＝f(0)＝0，当x>0时，－x<0，f(－x)＝x3＋2x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x3－2x＝f(x)，所以函数f(x)是R上的偶函数，符合题意，则a＋b＝2－1＝1. 14．已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则函数g(x)图象的对称中心坐标为________，y1＋y2＋…＋y6＝________． 答案：(0，2)　12 解析：∵函数y＝f(x)－2为奇函数，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0，2)对称，又g(x)＝＝＋2，其图象也关于点(0，2)对称，∴两函数图象的交点关于点(0，2)对称，则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12. 四、解答题 15．已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝－2x. (1)求f(x)的解析式； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0. 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝－2－x， 又函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝＋2－x. 综上所述，f(x)＝ (2)因为f(x)为R上的单调函数，且f(－1)＝＞f(0)＝0， 所以函数f(x)在R上单调递减． 因为f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0， 所以f(t2－2t)＜－f(2t2－k)． 因为函数f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)＜f(k－2t2)． 又f(x)在R上单调递减， 所以t2－2t＞k－2t2对任意的t∈R恒成立， 所以3t2－2t－k＞0对任意的t∈R恒成立， 所以Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－， 所以实数k的取值范围为. 16．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 又f(x)为奇函数， 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)． 故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点中心对称，则f(x)的图象如图所示． 当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4. 15 学科网（北京）股份有限公司 $$