第3章 第3讲 函数的奇偶性、周期性、对称性-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第3讲　函数的奇偶性、周期性、对称性

1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.3.能综合运用函数的奇偶性、周期性、对称性解决问题．

1．函数的奇偶性

2.函数的周期性

(1)周期函数

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1．函数奇偶性的重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数．

2．周期性的三个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)．

1．(多选)下列给出的函数是奇函数的是(　　)

A．f(x)＝   B．f(x)＝

C．f(x)＝x3＋1   D．f(x)＝sinx

答案：ABD

解析：对于A，B，D中的函数，定义域均关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，故均是奇函数；对于C，f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1≠－f(x)，故不是奇函数．故选ABD.

2．(人教B必修第一册习题3－1B T8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A．－   B.

C.   D．－

答案：B

解析：显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝.

3．(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．

答案：[－5，－2)∪(2，5]

解析：由题中图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]．

4．(人教A必修第一册习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．

答案：f(x)＝

解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝

5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2027)＝________．

答案：－1

解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2027)＝f(－1＋4×507)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.

 

考向一　函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝

(3)f(x)＝(x－1)；

(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；

(5)f(x)＝.

解：(1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．

又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，

所以f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)解法一(定义法)：易知f(x)的定义域为R.

当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝f(x)；

当x＝0时，f(0)＝－1，满足f(－x)＝f(x)；

当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1＝f(x)．

综上可知，∀x∈R，f(－x)＝f(x)，