第3章 第2讲 函数的单调性与最值-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案全书Word（提升版）

第2讲　函数的单调性与最值

借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．

1．函数的单调性

(1)定义

(2)单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

1．函数单调性的两个等价结论

设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则

>(<)0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>(<)0)⇔f(x)在D上单调递增(减)．

2．函数单调性的常用结论

(1)若f(x)，g(x)均在区间D上单调递增(减)，则f(x)＋g(x)也在区间D上单调递增(减)．

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．

(3)函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝在公共定义域内的单调性相反．

(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝在公共定义域内的单调性相同．

(5)复合函数单调性的判断方法：若两个基本初等函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个基本初等函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．

3．对勾函数

1.(多选)(人教A必修第一册习题3.2 T1改编)如图是函数y＝f(x)，x∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)在[－4，－1]上单调递减

B．f(x)在[－1，3]上单调递增

C．f(x)的单调递减区间是[－4，－1]∪[1，3]

D．f(x)的最小值为－2，最大值为3

答案：AD

解析：结合函数图象易知，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，f(x)min＝f(－1)＝－2，f(x)max＝f(1)＝3，故A，D正确，B错误；f(x)的单调递减区间是[－4，－1]和[1，3]，故C错误．故选AD.

2．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝－   B．y＝x

C．y＝2－x   D．y＝log(x＋1)

答案：AB

解析：对于A，y＝－在(－1，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B，y＝x在R上单调递增，符合题意；对于C，y＝2－x＝在R上单调递减，不符合题意；对于D，y＝log(x＋1)在(－1，＋∞)上单调递减，不符合题意．故选AB.

3．若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(　　)

A．f(m)<f(1)   B．f(m)>f(1)

C．f(m)≤f(1)   D．f(m)＝f(1)

答案：B

解析：因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1<0，得m<1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)>f(1)．故选B.

4．(人教A必修第一册3.2.1例5改编)已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．

答案：－　－2

解析：可判断函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max＝f(6)＝－.